Utilisateur:Padex/Algèbres courbes

L'objectif est ici de retrouver quelques résultats élémentaires communs aux géométries sphérique, euclidienne et hyperbolique.

Pour cela, nous débuterons par une approche purement algébrique, avant d'aboutir à une interprétation plus géométrique des concepts entrevus.

Nous allons ainsi définir une algèbre, ou plutôt un ensemble d'algèbres en apparence identiques à un paramètre près. Ces algèbres contiennent toutes un sous-espace vectoriel tridimensionnel, à la manière des quaternions.

Par la suite, nous étudierons une surface dans ces espaces tridimensionnels, que nous appellerons sphère unité, et qui pourra s'interpréter tantôt comme une sphère, tantôt comme un plan, et tantôt comme un plan hyperbolique.

Nous tâcherons enfin de retrouver sur cette sphère unité quelques résultats de géométrie élémentaire, notamment de géométries du cercle ou du triangle (par exemple, les lois des cosinus et des sinus).

Algèbre des $\mathrm {K}$-Quaternions

$\mathrm {Table\ de\ multiplication}$$\mathrm {des\ } \mathrm {K} -\mathrm {quaternions}$

$\times$	$1$	$i$	$j$	$k$
$1$	$1$	$i$	$j$	$k$
$i$	$i$	$-\mathrm {K}$	$\mathrm {K} \ k$	$-j$
$j$	$j$	$-\mathrm {K} \ k$	$-\mathrm {K}$	$i$
$k$	$k$	$j$	$-i$	$-1$

Soit $\mathrm {K} \in \mathbb {R}$. On considère l'espace vectoriel $\mathbb {R} ^{3}$ muni de la forme quadratique $Q_{\mathrm {K} }$ définie par :

$Q_{\mathrm {K} }:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} \\(x,y,z)&\mapsto &\mathrm {K} \ x^{2}+\mathrm {K} \ y^{2}+z^{2}\end{array}}\right.$

L'algèbre de Clifford associée est engendrée par les éléments $i$, $j$ et $k$ vérifiant la table de multiplication ci-contre. Cette algèbre sera appelée algèbre des $\mathrm {K}$-quaternions, et sera notée $\mathbb {H} _{\mathrm {K} }$.

Il existe une injection canonique de $\mathbb {R} ^{3}$ dans $\mathbb {H} _{\mathrm {K} }$ :

$\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {H} _{\mathrm {K} }\\(x,y,z)&\mapsto &x\ i+y\ j+z\ k\end{array}}\right.$

Par la suite, on considèrera $\mathbb {R} ^{3}$ comme un simple sous-espace vectoriel de $\mathbb {H} _{\mathrm {K} }$. Aussi, on s'autorisera à ne pas écrire l'indice $_{\mathrm {K} }$ en l'absence d'ambiguïté.

Définitions associées

Tout élément de $\mathbb {H} _{\mathrm {K} }$ peut s'écrire sous la forme : $q=t+x\ i+y\ j+z\ k$. Pour un tel $\mathrm {K}$-quaternion, on définit ses parties réelle (ou scalaire) et imaginaire (ou vectorielle), respectivement notées $\operatorname {Re}$ et $\operatorname {Im}$ :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (q)&=t\\\operatorname {Im} (q)&=x\ i+y\ j+z\ k\end{aligned}}$

Propriétés de $\operatorname {Re}$ et $\operatorname {Im}$

$\operatorname {Re}$ et $\operatorname {Im}$ sont deux opérateurs linéaires offrant une décomposition orthogonale de $\mathbb {H} _{\mathrm {K} }$.

Ainsi, ces opérateurs vérifient :

$\operatorname {Re} +\operatorname {Im} =\mathrm {id}$

$\operatorname {Re} \circ \operatorname {Re} =\operatorname {Re}$

$\operatorname {Im} \circ \operatorname {Im} =\operatorname {Im}$

$\operatorname {Re} \circ \operatorname {Im} =\operatorname {Im} \circ \operatorname {Re} =0$

$\operatorname {Re} \circ {\big (}\operatorname {Re} \times \operatorname {Im} {\big )}=0$

$\operatorname {Im} \circ {\big (}\operatorname {Re} \times \operatorname {Im} {\big )}=\operatorname {Re} \times \operatorname {Im}$

 

On définit le conjugué de $q$, que nous noterons $q^{*}$, par :

$q^{*}=\operatorname {Re} (q)-\operatorname {Im} (q)$.

Propriétés du conjugué

On a : $(q_{0}q_{1})^{*}=q_{1}^{*}q_{0}^{*}$.

Ainsi, un scalaire est son propre conjugué, quand un vecteur est l'opposé du sien.

Si $u$ et $v$ sont deux vecteurs, alors $vu=(uv)^{*}$.

Démonstration

$(uv)^{*}=v^{*}u^{*}=(-v)(-u)=vu$

 

 

Nous pouvons alors définir le module-carré d'un $\mathrm {K}$-quaternion :

$|q|^{2}=qq^{*}\in \mathbb {R}$

Un $\mathrm {K}$-quaternion $q$ est dit unitaire si son module-carré vaut $1$.

Critère d'inversibilité

Un $\mathrm {K}$-quaternion $q$ est dit inversible si et seulement s'il existe un $\mathrm {K}$-quaternion, noté $q^{-1}$, tel que $qq^{-1}=q^{-1}q=1$.

L'inverse est unique s'il existe.

Démonstration

Soit $q\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} }$ et supposons $q_{0},\ q_{1}\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} }$ tels que $q_{0}q=qq_{0}=q_{1}q=qq_{1}=1$. Alors, nécessairement :

$q_{0}=q_{0}(qq_{1})=(q_{0}q)q_{1}=q_{1}$

 

Tout élément $q\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} }$ est inversible si et seulement si $|q|^{2}\neq 0$, auquel cas $q^{-1}={\frac {1}{|q|^{2}}}\ q^{*}$.

Démonstration

Montrons que si $|q|^{2}=0$, alors $q$ n'est pas inversible.

Par l'absurde, supposons $q'\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} }$ tel que $qq'=1$.

Posons : $t=\operatorname {Re} (q)$, $v=\operatorname {Im} (q)$, $t'=\operatorname {Re} (q')$ et $v'=\operatorname {Im} (q')$.

Comme $|q|^{2}=0$, on a $t^{2}=v^{2}=-|v|^{2}$.

Comme $qq'=1=tt'+vv'+tv'+t'v$, on a $tt'+\operatorname {Re} (vv')=1$.

$qq'=1$ donc, en particulier, $qq'q=q$. En développant :

${\begin{aligned}qq'q&=(t+v)(t'+v')(t+v)\\&=(tt'+vv'+tv'+t'v)(t+v)\\&=t^{2}t'+tvv'+t^{2}v'+tt'v+tt'v+vv'v+tv'v+t'v^{2}\\&=t^{2}(t'+v')+2t\operatorname {Re} (vv')+2tt'v+(vv^{*})v'+t'(t^{2})\\&=t^{2}(2t'+v')+2t\operatorname {Re} (vv')+2tt'v-t^{2}v'\\&=t^{2}(2t')+2t\operatorname {Re} (vv')+2tt'v\\&=2t{\Big (}tt'+\operatorname {Re} (vv')+t'v{\Big )}\\&=2t(1+t'v)\\\end{aligned}}$

Donc $qq'q=2t(1+t'v)=t+v=q$, en particulier $2t=t$ (c'est-à-dire $t=0$) et $v=2tt'v=0$.

$q$ vaudrait donc nécessairement $0$, qui n'est pas inversible. Il est donc impossible d'inverser $q$.

 

 

Produits entre deux vecteurs

On peut définir un produit bilinéaire semisymétrique, que nous appellerons produit complet :

$\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {H} _{\mathrm {K} }\\(u,v)&\mapsto &u.v=vu^{*}\end{array}}\right.$

Le produit usuel de deux nombres $a$ et $b$ sera noté $ab$ ou $a\cdot b$ ; il ne faudra donc pas le confondre avec le produit complet, noté $a.b$.

Ce produit est dit « semisymétrique » car, pour tous vecteurs $u$ et $v$, $v.u=(u.v)^{*}$.

Nous pouvons de même définir une forme bilinéaire symétrique, que nous appellerons produit réel :

$\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} \\(u,v)&\mapsto &\operatorname {Re} (u.v)\end{array}}\right.$

Le produit réel n'est donc que la partie réelle du produit complet. Il est analogue au produit scalaire, mais il n'en est un que si $\mathrm {K} >0$ (dans le cas général le produit réel n'est pas défini positif).

Deux vecteurs $u$ et $v$ de $\mathbb {R} ^{3}$ sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit réel est nul.

Nous pouvons enfin définir un produit bilinéaire antisymétrique que nous appellerons produit imaginaire :

$\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto &\operatorname {Im} (u.v)\end{array}}\right.$

Le produit imaginaire n'est donc que la partie imaginaire du produit complet. Il est analogue au produit vectoriel. Il est d'ailleurs identique au produit vectoriel classique dans le cas où $\mathrm {K} =1$.

Si le produit réel caractérise l'orthogonalité, le produit imaginaire caractérise lui la colinéarité.

Propriétés diverses

• Pour tous vecteurs $u$ et $v$, $\operatorname {Im} (vu^{*})$ est orthogonal à $u$ et $v$.

Démonstration

$\operatorname {Re} {\big (}\operatorname {Im} (vu^{*})u{\big )}=\operatorname {Re} {\big (}\operatorname {Re} (vu^{*})u+\operatorname {Im} (vu^{*})u{\big )}$

$\qquad \qquad \qquad =\operatorname {Re} {\big (}(vu^{*})u{\big )}$

$\qquad \qquad \qquad =|u|^{2}\ \operatorname {Re} (v)$

$\qquad \qquad \qquad =0$

 

• Soient $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$ trois vecteurs, et supposons $\mathrm {K} \neq 0$.

Alors : $v_{2}$ est orthogonal à $v_{0}$ et à $v_{1}$, si et seulement s'il est colinéaire au produit imaginaire de $v_{0}$ et de $v_{1}$.

Démonstration

($\Longleftarrow$)

Immédiat en utilisant l'orthogonalité du produit imaginaire démontrée ci-dessus.

($\Longrightarrow$)

Notons donc :

${\begin{aligned}v_{0}=&x_{0}\ i+y_{0}\ j+z_{0}\ k\\v_{1}=&x_{1}\ i+y_{1}\ j+z_{1}\ k\\v_{2}=&x_{2}\ i+y_{2}\ j+z_{2}\ k\\\end{aligned}}$

Comme $v_{2}$ est orthogonal à $v_{0}$ et à $v_{1}$, nous avons :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (v_{0}v_{2}^{*})&=\mathrm {K} \ x_{0}x_{2}+\mathrm {K} \ y_{0}y_{2}+z_{0}z_{2}=0\\\operatorname {Re} (v_{1}v_{2}^{*})&=\mathrm {K} \ x_{1}x_{2}+\mathrm {K} \ y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0\\\end{aligned}}$

$\mathrm {K}$ étant non-nul, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit imaginaire est nul.

Calculons donc $\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Im} (v_{1}v_{0}^{*})v_{2}^{*}{\big )}$ :

$\operatorname {Im} (v_{1}v_{0}^{*})=(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot i+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot j+\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot k$

${\begin{aligned}\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Im} (v_{1}v_{0}^{*})v_{2}^{*}{\big )}&={\big (}(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot z_{2}-\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot y_{2}{\big )}\cdot i\\&\quad +{\big (}\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot x_{2}-(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot z_{2}{\big )}\cdot j\\&\quad +{\big (}(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot y_{2}-(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot x_{2}{\big )}\cdot k\\&={\big (}z_{0}x_{1}z_{2}-x_{0}z_{1}z_{2}-\mathrm {K} \cdot x_{0}y_{1}y_{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}x_{1}y_{2}{\big )}\cdot i\\&\quad +{\big (}\mathrm {K} \cdot x_{0}y_{1}x_{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}x_{1}x_{2}-y_{0}z_{1}z_{2}+z_{0}y_{1}z_{2}{\big )}\cdot j\\&\quad +{\big (}y_{0}z_{1}y_{2}-z_{0}y_{1}y_{2}-z_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}z_{1}x_{2}{\big )}\cdot k\\&={\big (}(z_{0}z_{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{2})\cdot x_{1}-(z_{1}z_{2}+\mathrm {K} \cdot y_{1}y_{2})\cdot x_{0}{\big )}\cdot i\\&\quad +{\big (}(\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{2}+z_{0}z_{2})\cdot y_{1}-(\mathrm {K} \cdot x_{1}x_{2}+z_{1}z_{2})\cdot y_{0}{\big )}\cdot j\\&\quad +{\big (}(y_{0}y_{2}+x_{0}x_{2})\cdot z_{1}-(y_{1}y_{2}+x_{1}x_{2})\cdot z_{0}{\big )}\cdot k\\&={\big (}(-x_{0}x_{2})\cdot x_{1}-(-x_{1}x_{2})\cdot x_{0}{\big )}\cdot i\\&\quad +{\big (}(-y_{0}y_{2})\cdot y_{1}-(-y_{1}y_{2})\cdot y_{0}{\big )}\cdot j\\&\quad +{\big (}(-\mathrm {K} \cdot z_{0}z_{2})\cdot z_{1}-(-\mathrm {K} \cdot z_{1}z_{2})\cdot z_{0}{\big )}\cdot k\\&=0\end{aligned}}$

 

Remarque : le résultat ne s'applique pas si $\mathrm {K} =0$.

Contre-exemple

$\operatorname {Re} (jj^{*})=\mathrm {K} =0$

$\operatorname {Re} (kj^{*})=\operatorname {Re} (i)=0$

Donc $j$ est orthogonal à $j$ et $k$, pourtant $j$ n'est pas colinéaire à $\operatorname {Im} (kj^{*})=i$.

 

• $\forall \ u,\ v\in \mathbb {R} ^{3},$

$uv=-vu\iff \operatorname {Re} (vu^{*})=0$

Démonstration

$uv=\operatorname {Re} (uv)+\operatorname {Im} (uv)$

${\begin{aligned}vu&=\operatorname {Re} (vu)+\operatorname {Im} (vu)\\&=\operatorname {Re} (uv)-\operatorname {Im} (uv)\end{aligned}}$

Donc $uv=-vu\iff \operatorname {Re} (vu^{*})=-\operatorname {Re} (uv)=0$.

 

• $\forall \ u,\ v\in \mathbb {R} ^{3},\ uvu=|u|^{2}\ v$.

Démonstration

En utilisant les propriétés de symétrie et d'antisymétrie sus-mentionnées :

${\begin{aligned}uvu&=\operatorname {Re} (uvu)+\operatorname {Im} (uvu)\\&=\operatorname {Re} (u^{2}v)-\operatorname {Im} (u^{2}v)\\&=|u|^{2}\ {\big (}-\operatorname {Re} (v)+\operatorname {Im} (v){\big )}\\&=|u|^{2}\ \operatorname {Im} (v)\\&=|u|^{2}\ v\\\end{aligned}}$

 

Pour tout $u\in \mathbb {R} ^{3}$, notons $\mathrm {Col} (u)$ l'ensemble des vecteurs colinéaires à $u$, c'est-à-dire : ${\big \{}v\in \mathbb {R} ^{3}\ |\ \exists \ (\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\ \lambda u+\mu v=0{\big \}}$.

• Pour tout $\mathrm {K}$ non-nul, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement leur produit imaginaire est nul.

Démonstration

($\Longrightarrow$)

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs colinéaires, et soient $(\lambda ,\mu )\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ tels que $\lambda u+\mu v=0$.

Si $u=0$, alors $\operatorname {Im} (vu^{*})=\operatorname {Im} (0)=0$.

De même si $v=0$.

Si $u$ et $v$ sont non-nuls, alors, comme $(\lambda ,\mu )\neq (0,0)$, $\lambda \neq 0$.

Nous pouvons donc écrire : $\operatorname {Im} (vu^{*})=-{\frac {\mu }{\lambda }}\operatorname {Im} (vv^{*})=-{\frac {\mu }{\lambda }}\cdot 0=0$

($\Longleftarrow$)

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de produit imaginaire nul.

Si $u=0$, alors $u=0v$ donc $u$ et $v$ sont colinéaires.

De même si $v=0$.

Sinon, alors $u$ et $v$ sont non-nuls, posons :

${\begin{aligned}u&=x_{0}i+y_{0}j+z_{0}k\\v&=x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k\end{aligned}}$

Alors : $\operatorname {Im} (vu^{*})=(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot i+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot j+\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot k$.

On a :

${\begin{aligned}&\operatorname {Im} (vu^{*})=0\\\Longrightarrow \ &(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot i+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot j+\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot k=0\\\Longrightarrow \ &(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\ \land \ (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\ \land \ {\big (}\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})=0{\big )}\\\Longrightarrow \ &(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\ \land \ (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\ \land \ (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}=0)\\\end{aligned}}$

Comme $u\neq 0$, l'un au moins de ces trois cas est vrai :

• $x_{0}\neq 0$.

Posons $\lambda ={\frac {x_{1}}{x_{0}}}$. Alors :

$x_{1}=\lambda x_{0}$

$(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(y_{1}-\lambda y_{0})\cdot x_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (y_{1}=\lambda y_{0})$

$(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(\lambda z_{0}-z_{1})\cdot x_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (z_{1}=\lambda z_{0})$

Donc $v=\lambda u$.

• $y_{0}\neq 0$.

Posons $\lambda ={\frac {y_{1}}{y_{0}}}$. Alors :

$y_{1}=\lambda y_{0}$

$(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(z_{1}-\lambda z_{0})\cdot y_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (z_{1}=\lambda z_{0})$

$(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(\lambda x_{0}-x_{1})\cdot y_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (x_{1}=\lambda x_{0})$

Donc $v=\lambda u$.

• $z_{0}\neq 0$.

Posons $\lambda ={\frac {z_{1}}{z_{0}}}$. Alors :

$z_{1}=\lambda z_{0}$

$(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(x_{1}-\lambda x_{0})\cdot z_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (x_{1}=\lambda x_{0})$

$(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(\lambda y_{0}-y_{1})\cdot z_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (y_{1}=\lambda y_{0})$

Donc $v=\lambda u$.

 

Remarque : le résultat ne s'applique pas si $\mathrm {K} =0$.

Contre-exemple

Les vecteurs $i$ et $j$ ne sont pas colinéaires, pourtant $ji^{*}=\mathrm {K} \cdot k=0$.

 

Projection orthogonale :

Si $u\in \mathbb {R} ^{3}$ est un vecteur inversible, alors tout vecteur $v\in \mathbb {R} ^{3}$ est décomposable en :

$v=v_{\parallel }+v_{\perp }$

où :

• $v_{\parallel }$ est colinéaire à $u$ ;

• $v_{\perp }$ est orthogonal à $u$ ;

• donc $v_{\parallel }$ est orthogonal à $v_{\perp }$.

Démonstration

Posons :

$v_{\parallel }=\operatorname {Re} (vu^{*})\cdot (u^{*})^{-1}$

et

$v_{\perp }=\operatorname {Im} (vu^{*})\cdot (u^{*})^{-1}$.

L'égalité $v=v_{\parallel }+v_{\perp }$ est alors immédiate.

Par ailleurs, on calcule : $(u^{*})^{-1}={\frac {1}{|u|^{2}}}u$.

D'où :

• $v_{\parallel }=\lambda u$ en posant $\lambda ={\frac {\operatorname {Re} (vu^{*})}{|u|^{2}}}$
• $\operatorname {Re} (v_{\perp }u)=\operatorname {Re} {\big (}\operatorname {Im} (vu^{*})\cdot (u^{*})^{-1}u{\big )}=\operatorname {Re} {\big (}-\operatorname {Im} (vu^{*}){\big )}=0$

 

 

Produit mixte

On définit le produit mixte de trois vecteurs :

$\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} \\(u,v,w)&\mapsto &[u,v,w]=\operatorname {Re} {\big (}u.\operatorname {Im} (v.w){\big )}\end{array}}\right.$

Propriétés du produit mixte

$[u,v,w]=[v,w,u]=[w,u,v]=-[w,v,u]=-[v,u,w]=-[u,w,v]$

Démonstration

Notons :

${\begin{aligned}u&=x_{u}\ i+y_{u}\ j+z_{u}\ k\\v&=x_{v}\ i+y_{v}\ j+z_{v}\ k\\w&=x_{w}\ i+y_{w}\ j+z_{w}\ k\end{aligned}}$

Alors :

$\operatorname {Im} (wv^{*})=(y_{v}z_{w}-z_{v}y_{w})\ i+(z_{v}x_{w}-x_{v}z_{w})\ j+\mathrm {K} \ (x_{v}y_{w}-y_{v}x_{w})\ k$

Donc :

${\begin{aligned}{\big [}u,v,w{\big ]}&=\mathrm {K} \ (y_{v}z_{w}-z_{v}y_{w})\ x_{u}+\mathrm {K} \ (z_{v}x_{w}-x_{v}z_{w})\ y_{u}+\mathrm {K} \ (x_{v}y_{w}-y_{v}x_{w})\ z_{u}\\&=\mathrm {K} \ {\big [}(x_{u}y_{v}z_{w}+x_{v}y_{w}z_{u}+x_{w}y_{u}z_{v})-(x_{w}y_{v}z_{u}+x_{v}y_{u}z_{w}+x_{u}y_{w}z_{v}){\big ]}\\&={\big [}v,w,u{\big ]}\\&={\big [}w,u,v{\big ]}\\&=-{\big [}w,v,u{\big ]}\\&=-{\big [}v,u,w{\big ]}\\&=-{\big [}u,w,v{\big ]}\\\end{aligned}}$

par symétrie de l'expression.

 

 

Exponentielle et identité d'Euler

On définit la fonction exponentielle classiquement :

$\forall \ q\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} },\ e^{q}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}$

On définit également les fonctions trigonométriques suivantes :

$\cos _{|u|^{2}}:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\lambda &\mapsto &{\frac {e^{\lambda u}+e^{-\lambda u}}{2}}\end{array}}\right.$

$\sin _{|u|^{2}}:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\lambda &\mapsto &{\frac {e^{\lambda u}-e^{-\lambda u}}{2u}}\end{array}}\right.$

Justification des définitions

• Les définitions de $\cos _{|u|^{2}}$ et $\sin _{|u|^{2}}$ ne dépendent que de la valeur de $\kappa =|u|^{2}$, ce qui justifie la notation.

• La notation ${\frac {1}{u}}$ utilisée dans la définition du sinus peut paraître incorrecte car ambiguë, la multiplication n'étant pas commutative dans $\mathbb {H} _{\mathrm {K} }$. Comme le montre la propriété ci-dessous, ${\big (}e^{\lambda u}-e^{-\lambda u}{\big )}$ commute avec $u^{-1}$, ce qui justifie la notation.

Propriétés :

• deux vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $e^{\lambda u}\cdot v=v\cdot e^{\lambda u}$.

Démonstration

$\forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,$

${\begin{aligned}e^{\lambda u}\cdot v&=(\cos _{|u|^{2}}\lambda +\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot u)\cdot v\\&=\cos _{|u|^{2}}\lambda \cdot v+\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot uv\end{aligned}}$

${\begin{aligned}v\cdot e^{\lambda u}&=v\cdot (\cos _{|u|^{2}}\lambda +\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot u)\\&=\cos _{|u|^{2}}\lambda \cdot v+\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot vu\end{aligned}}$

Donc $e^{\lambda u}\cdot v=v\cdot e^{\lambda u}\iff \sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot (uv-vu)=2\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot \operatorname {Im} (uv)=0$.

Or $\sin _{|u|^{2}}\neq 0$ donc :

${\big (}\forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ e^{\lambda u}\cdot v=v\cdot e^{\lambda u}{\big )}\iff \operatorname {Im} (uv)=0$,

ce qui termine la preuve.

 

• deux vecteurs $u$ et $v$ sont orthogonaux si et seulement si, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $e^{\lambda u}\cdot v=v\cdot e^{-\lambda u}$.

Démonstration

$\forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,$

${\begin{aligned}e^{\lambda u}\cdot v&=(\cos _{|u|^{2}}\lambda +\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot u)\cdot v\\&=\cos _{|u|^{2}}\lambda \cdot v+\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot uv\end{aligned}}$

${\begin{aligned}v\cdot e^{-\lambda u}&=v\cdot (\cos _{|u|^{2}}\lambda -\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot u)\\&=\cos _{|u|^{2}}\lambda \cdot v-\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot vu\end{aligned}}$

Donc $e^{\lambda u}\cdot v=v\cdot e^{-\lambda u}\iff \sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot (uv+vu)=2\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot \operatorname {Re} (uv)=0$.

Or $\sin _{|u|^{2}}\neq 0$ donc :

${\big (}\forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ e^{\lambda u}\cdot v=v\cdot e^{-\lambda u}{\big )}\iff \operatorname {Re} (uv)=0$,

ce qui termine la preuve.

 

 

On obtient alors l'identité d'Euler :

$\forall \ u\in \mathbb {R} ^{3},\ \forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,$

$e^{\lambda u}=\cos _{|u|^{2}}\lambda +\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot u$

Démonstration

$\forall \ u\in \mathbb {R} ^{3},\ \forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,$

${\begin{aligned}e^{\lambda u}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\lambda u)^{n}}{n!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(\lambda u)^{2p}}{(2p)!}}+\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(\lambda u)^{2p+1}}{(2p+1)!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {{\big (}-|u|^{2}{\big )}^{p}}{(2p)!}}\cdot \lambda ^{2p}+\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {{\big (}-|u|^{2}{\big )}^{p}}{(2p+1)!}}\cdot \lambda ^{2p+1}\cdot u\\&=\cos _{|u|^{2}}\lambda +\sin _{|u|^{2}}\lambda \cdot u\end{aligned}}$

 

Propriétés des fonctions trigonométriques

• $\cos _{\kappa }$ est une fonction paire et $\sin _{\kappa }$ est une fonction impaire.

• Cas particuliers :

${\begin{array}{cl}&\quad &\cos _{1}&=&\cos ,&\sin _{1}&=&\sin \\&\quad &\cos _{-1}&=&\cosh ,&\sin _{-1}&=&\sinh \\&\quad &\cos _{0}&=&1,&\sin _{0}&=&\mathrm {id} \end{array}}$

• Bien que ce ne soit pas nécessaire, il peut être plus commode – notamment pour retrouver les formules de trigonométrie (voir ci-dessous) – d'exprimer $\cos _{\kappa }$ et $\sin _{\kappa }$ à partir des fonctions classiques de trigonométrie.

Ainsi, pour $\kappa \in \mathbb {R}$, prenons $r$ un point de la sphère de Riemann tel que $\kappa ={\frac {1}{r^{2}}}$.

$r$ peut-être un réel (si $\kappa >0$), un imaginaire pur ($\kappa <0$), ou le point à l'infini ($\kappa =0$).

On obtient alors les expressions suivantes :

${\begin{aligned}\cos _{\kappa }(x)&=\cos(x/r)\\\\\sin _{\kappa }(x)&=r\cdot \sin(x/r)\end{aligned}}$

Formulaire de trigonométrie

Identité remarquable : $(\cos _{\kappa })^{2}+\kappa \cdot (\sin _{\kappa })^{2}=1$

${\begin{aligned}\sin _{\kappa }(a+b)&=\sin _{\kappa }a\cdot \cos _{\kappa }b+\cos _{\kappa }a\cdot \sin _{\kappa }b\\\cos _{\kappa }(a+b)&=\cos _{\kappa }a\cdot \cos _{\kappa }b-\kappa \cdot \sin _{\kappa }a\cdot \sin _{\kappa }b\\\\\sin _{\kappa }(a-b)&=\sin _{\kappa }a\cdot \cos _{\kappa }b-\cos _{\kappa }a\cdot \sin _{\kappa }b\\\cos _{\kappa }(a-b)&=\cos _{\kappa }a\cdot \cos _{\kappa }b+\kappa \cdot \sin _{\kappa }a\cdot \sin _{\kappa }b\\\\\sin _{\kappa }(2a)&=2\cdot \sin _{\kappa }a\cdot \cos _{\kappa }a\\\cos _{\kappa }(2a)&=(\cos _{\kappa }a)^{2}-\kappa \cdot (\sin _{\kappa }a)^{2}\\&=2\cdot (\cos _{\kappa }a)^{2}-1\\&=1-2\cdot \kappa \cdot (\sin _{\kappa }a)^{2}\end{aligned}}$

Dérivées :

${\begin{aligned}\operatorname {d\sin _{\kappa }} &=\cos _{\kappa }\\\operatorname {d\cos _{\kappa }} &=-\kappa \cdot \sin _{\kappa }\\\operatorname {d\ e^{u\cdot }} &=u\cdot e^{u\cdot }\end{aligned}}$

Changement de base :

${\begin{aligned}\cos _{\mu ^{2}\kappa }\lambda &=\cos _{\kappa }(\mu \lambda )\\\sin _{\mu ^{2}\kappa }\lambda &={\frac {1}{\mu }}\sin _{\kappa }(\mu \lambda )\end{aligned}}$

Fonctions réciproques :

Primitives d'$\mathrm {arsin} _{\mathrm {K} }$ : $\lambda \mapsto \lambda \ \mathrm {arsin} _{\mathrm {K} }\lambda +{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\Big (}{\sqrt {1-\mathrm {K} \ \lambda ^{2}}}-1{\Big )}+\mathrm {constante}$

Dérivée d'$\mathrm {arsin} _{\mathrm {K} }$ : $\lambda \mapsto {\frac {1}{\sqrt {1-\mathrm {K} \ \lambda ^{2}}}}$

Dérivée d'$\mathrm {arcos} _{\mathrm {K} }$ : $\lambda \mapsto -{\frac {\mathrm {signe} (\mathrm {K} )}{\sqrt {\mathrm {K} \ (1-\lambda ^{2})}}}$

 

 

On introduit également la fonction corde :

$\operatorname {cr} _{\kappa }:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\lambda &\mapsto &2\ \sin _{\kappa }{\frac {\lambda }{2}}\end{array}}\right.$

Propriétés

$\operatorname {d\operatorname {cr} _{\kappa }} ^{2}=2\ \sin _{\kappa }$

$\operatorname {cr} _{0}=\mathrm {id}$

Nous noterons $\operatorname {cr} =\operatorname {cr} _{1}$.

 

Groupe spécial orthogonal

Le groupe spécial orthogonal de $Q$ est composé des transformations de la forme :

$\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} ^{3}\\u&\mapsto &quq^{-1}\end{array}}\right.$

où q est un $\mathrm {K}$-quaternion unitaire.

En particulier, si on se restreint aux quaternions polarisables, c'est l'ensemble des transformations :

$R_{w}:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} ^{3}\\u&\mapsto &e^{w/2}\cdot u\cdot e^{-w/2}\end{array}}\right.$

où $w$ est un vecteur quelconque de $\mathbb {R} ^{3}$.

Remarque : Pour tout $w\in \mathbb {R} ^{3}$, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $\lambda w$ est stable par $R_{w}$.

Morphisme

Pour tout $w\in \mathbb {R} ^{3}$, et pour tous réels $\lambda$ et $\mu$,

$R_{\lambda w}\circ R_{\mu w}=R_{\mu w}\circ R_{\lambda w}=R_{(\lambda +\mu )w}$.

Cas où $w$ est inversible

Si $w$ est inversible, alors on peut décomposer tout vecteur $u\in \mathbb {R} ^{3}$ comme somme d'un vecteur $u_{\parallel }$ colinéaire à $w$ et d'un vecteur $u_{\perp }$ orthogonal à $w$.

On peut alors obtenir une expression simple de $R_{\lambda w}(u)$ :

$R_{\lambda w}(u)=u_{\parallel }+e^{\lambda w}\cdot u_{\perp }$

Démonstration

${\begin{aligned}R_{\lambda w}(u)&=e^{{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot u\cdot e^{-{\frac {\lambda }{2}}w}\\&=e^{{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot (u_{\parallel }+u_{\perp })\cdot e^{-{\frac {\lambda }{2}}w}\\&=e^{{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot u_{\parallel }\cdot e^{-{\frac {\lambda }{2}}w}+e^{{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot u_{\perp }\cdot e^{-{\frac {\lambda }{2}}w}\\&=e^{{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot e^{-{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot u_{\parallel }+e^{{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot e^{+{\frac {\lambda }{2}}w}\cdot u_{\perp }\\&=u_{\parallel }+e^{\lambda w}\cdot u_{\perp }\end{aligned}}$

 

Cas général

$R_{\lambda w}(u)=\cos _{|w|^{2}}\lambda \cdot u+\sin _{|w|^{2}}\lambda \cdot \operatorname {Im} (w.u)$

Démonstration

${\begin{aligned}R_{\lambda w}(u)&={\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}+\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot w{\bigg )}\cdot u\cdot {\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}-\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot w{\bigg )}\\&={\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot u+\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot wu{\bigg )}\cdot {\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}-\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot w{\bigg )}\\&={\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\bigg )}^{2}\cdot u-{\bigg (}\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\bigg )}^{2}\cdot wuw+\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot \cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot wu-\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot \cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot uw\\&={\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\bigg )}^{2}\cdot u-{\bigg (}\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\bigg )}^{2}\cdot (|w|^{2})\cdot u+\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot \cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot (wu-uw)\\&={\Bigg (}{\bigg (}\cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\bigg )}^{2}-(|w|^{2})\cdot {\bigg (}\sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}{\bigg )}^{2}{\Bigg )}\cdot u+2\cdot \sin _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot \cos _{|w|^{2}}{\frac {\lambda }{2}}\cdot \operatorname {Im} (uw^{*})\\&=\cos _{|w|^{2}}\lambda \cdot u+\sin _{|w|^{2}}\lambda \cdot \operatorname {Im} (uw^{*})\end{aligned}}$

 

Remarque : comme vu précédemment, $\operatorname {Im} (w.u)$ est un vecteur orthogonal à $w$ et $u$.

Géométrie sur la sphère unité

Définition et visualisation

Ensemble des vecteurs unitaires

On s'intéresse pour commencer à l'ensemble des vecteurs unitaires $V_{1}$, que nous verrons comme un ensemble de points de l'espace.

Pour tout point $M\in \mathbb {R} ^{3}$, on écrira $M=x\ i+y\ j+z\ k$. Nous nous intéressons donc aux points tels que $\mathrm {K} \ x^{2}+\mathrm {K} \ y^{2}+z^{2}=1$.

Description visuelle de $V_{1}$

Pour visualiser les choses, on se représentera graphiquement le repère $(O,i,j,k)$ comme étant orthonormé au sens euclidien du terme. Il ne faudra cependant pas se méprendre et oublier qu'il ne s'agit là que d'une commodité pour visualiser $V_{1}$ ; l'espace tridimensionnel qui nous intéresse ici n'est, dans le cas général, absolument pas euclidien.

Remarquons d'abord que, quel que soit $\mathrm {K} \in \mathbb {R}$, les points $N=k$ et $N'=-k$ appartiennent à $V_{1}$.

Commençons par le cas le plus simple. Si $\mathrm {K} =1$, l'équation devient : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. C'est l'équation d'une sphère de rayon $1$ au sens classique du terme, dans un espace euclidien.

Si l'on conserve $\mathrm {K} >0$, on peut poser $R={\frac {1}{\sqrt {\mathrm {K} }}}$ et réécrire l'équation : ${\bigg (}{\frac {x}{R}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {y}{R}}{\bigg )}^{2}+z^{2}=1$. C'est l'équation d'un ellipsoïde de révolution autour de l'axe $(NN')$. Ses pôles sont donc toujours les points $N$ et $N'$, et son intersection avec le plan $(O,i,j)$ est un cercle de rayon $R$.

Ainsi, $V_{1}$ est un ellipsoïde de révolution allongé si $\mathrm {K} >1$ (et d'autant plus allongé que $\mathrm {K}$ est grand) ou aplati si $\mathrm {K} <1$ (et d'autant plus aplati que $\mathrm {K}$ est proche de $0$).

Si l'on fait tendre $\mathrm {K}$ vers $0$, $R$ tend vers $+\infty$ et notre ellipsoïde s'aplatit indéfiniment en « gonflant ».

Lorsque $\mathrm {K} =0$, l'équation devient $z^{2}=1$, qui admet pour solutions les plans $z=1$ et $z=-1$. Visuellement c'est comme si, à force de gonfler, notre ellipsoïde précédent avait « explosé » simultanément dans toutes les directions du plan $(O,i,j)$ ; et qu'à s'aplatir indéfiniment, il avait fini par devenir parfaitement plat.

Il se produit donc un changement majeur pour $V_{1}$ : l'ensemble perd la connexité qu'il possède tant que $\mathrm {K} >0$.

Lorsque $\mathrm {K} <0$, on peut poser $R={\frac {1}{\sqrt {-\mathrm {K} }}}$ et réécrire l'équation : $-{\bigg (}{\frac {x}{R}}{\bigg )}^{2}-{\bigg (}{\frac {y}{R}}{\bigg )}^{2}+z^{2}=1$. C'est l'équation d'un hyperboloïde de révolution à deux nappes autour de l'axe $(NN')$.

$V_{1}$ n'est donc connexe que si $\mathrm {K} >0$. Dans le cas contraire, $V_{1}$ est la réunion de deux sous-ensembles connexes : l'un situé dans le demi-espace des $z>0$, l'autre situé dans le demi-espace $z<0$.

Par rapport au cas $\mathrm {K} =0$ précédent, les deux plans se déforment de façon symétrique (symétrie orthogonale par rapport au plan $(O,i,j)$).

Plus $\mathrm {K}$ est faible, et moins l'hyperboloïde apparaît « évasé ».

Lorsque $\mathrm {K} =-1$, on retrouve le modèle de l'hyperboloïde dans un espace de Minkowski qui n'aurait que trois dimensions.

 

Sphère unité

On définit la sphère unité, notée $S$, comme la composante connexe du point $N=k$ dans l'ensemble des vecteurs unitaires.

D'après ce qui précède :

• si $\mathrm {K} >0$, c'est l'ensemble des vecteurs unitaires lui-même ;

• sinon, c'est le sous-ensemble des vecteurs unitaires situés dans le demi-espace $z>0$.

Directeur d'une géodésique

Pour tous points $M_{0},\ M_{1}\in S$, il existe un vecteur $m\in \mathbb {R} ^{3}$ et un scalaire $\mu \in \mathbb {R} _{+}$ tels que :

• $m$ est orthogonal à $M_{0}$ et à $M_{1}$ ;
• $|m|^{2}=\mathrm {K}$ ;
• $M_{1}M_{0}^{*}=e^{\mu m}$.

Pour un tel couple $(m,\mu )$ :

• le vecteur $\mu m$ est un directeur de la géodésique de $M_{0}$ à $M_{1}$ ;
• le vecteur $m$ est le normalisé de ce directeur ;
• le scalaire $\mu$ est la norme de ce directeur.

Autres noms carpas satisfait actuellement : argument-produit (ou argument du produit) de $M_{0}$ et $M_{1}$. norme de l'argument-produit ok. Vecteur directeur de l'argument produit ?

Démonstration

Un $\mathrm {K}$-quaternion $q$ est dit polarisable s'il existe $\lambda \in \mathbb {R}$, tel que $q=e^{\lambda \operatorname {Im} (q)}$.

• Premier théorème de polarisation

$\forall \ q\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} },$

${\Big (}\exists \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ \ q=e^{\lambda \operatorname {Im} (q)}{\Big )}\iff {\Big (}{\big (}|q|^{2}=1{\big )}\ \land \ {\big (}\operatorname {Re} (q)>-1{\big )}{\Big )}$

Démonstration

Posons $t=\operatorname {Re} (q)$ et $v=\operatorname {Im} (q)$.

Posons également $\kappa =|v|^{2}$.

Par unitarité de $q$, on a : $t^{2}+vv^{*}=t^{2}+\kappa =1$, c'est-à-dire $t^{2}=1+v^{2}=1-vv^{*}=1-\kappa$, ou $\kappa =1-t^{2}\leq 1$

Preuve par disjonction de cas.

• Si $\kappa >0$ ($0<\kappa \leq 1$) :

Comme écrit précédemment, $t^{2}=1-\kappa$, donc $|t|={\sqrt {1-\kappa }}<1$. En particulier, $t>-1$.

Soit $r={\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\in \mathbb {R} _{+}$ c'est-à-dire tel que $\kappa ={\frac {1}{r^{2}}}$.

D'après ce qui précède, $(t)^{2}+{\bigg (}{\frac {1}{r}}{\bigg )}^{2}=1$, donc il existe $\theta \in \mathbb {R}$ tel que :

$\cos \theta =t$

$\sin \theta ={\frac {1}{r}}$

Posons $\lambda =r\theta \in \mathbb {R}$, nous pouvons alors réécrire les égalités précédentes :

$\cos _{\kappa }\lambda =t$

$\sin _{\kappa }\lambda =1$

Mais encore :

$q=t+v=\cos _{vv^{*}}\lambda +\sin _{vv^{*}}\lambda \cdot v=e^{\lambda v}$

• Si $\kappa =0$ :

Alors $t^{2}=1$. Or, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $\cos _{0}\lambda =1$.

Il n'y a donc pas de solution possible si $t=-1$. En revanche, si $t=1$ (et donc, $t>-1$), alors :

$q=1+v=\cos _{0}1+\sin _{0}1\cdot v=\cos _{vv^{*}}1+\sin _{vv^{*}}1\cdot v=e^{v}$

• Si $\kappa <0$ :

Comme écrit précédemment, $t^{2}=1-\kappa$, donc $|t|={\sqrt {1-\kappa }}>1$. Or $\cosh \geq 1$ donc $\cos _{\kappa }\geq 1$.

Il n'y a donc pas de solution possible si $t<-1$.

En revanche, si $t>1$ (et donc, $t>-1$), posons $r={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}\in \mathbb {R} _{+}$ c'est-à-dire tel que $\kappa =-{\frac {1}{r^{2}}}$.

D'après ce qui précède, $(t)^{2}-{\bigg (}{\frac {1}{r}}{\bigg )}^{2}=1$ et comme $t>1$, il existe $x\in \mathbb {R}$ tel que :

$\cosh x=t$

$\sinh x={\frac {1}{r}}$

Posons $\lambda =rx\in \mathbb {R}$, nous pouvons alors réécrire les égalités précédentes :

$\cos _{\kappa }\lambda =t$

$\sin _{\kappa }\lambda =1$

Mais encore :

$q=t+v=\cos _{vv^{*}}\lambda +\sin _{vv^{*}}\lambda \cdot v=e^{\lambda v}$

Nous venons donc de prouver : $(|q|^{2}=1)\ \land \ {\big (}\operatorname {Re} (q)>-1{\big )}\Longrightarrow {\Big (}\exists \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ \ q=e^{\lambda \operatorname {Im} (q)}{\Big )}$.

La réciproque est facile, et procède de même par disjonction de cas pour montrer que : ${\Big (}\exists \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ \ q=e^{\lambda \operatorname {Im} (q)}{\Big )}\Longrightarrow {\big (}\operatorname {Re} (q)>-1{\big )}$.

 

Corollaire :

Si deux vecteurs $u,\ v\in \mathbb {R} ^{3}$ sont tels que $|u|^{2}|v|^{2}>0$ et tels que ${\frac {vu^{*}}{\sqrt {|u|^{2}|v|^{2}}}}$ est de partie réelle strictement supérieure à $-1$, alors il existe $\omega \in \mathbb {R} ^{3}$ tel que :

$vu^{*}={\sqrt {|u|^{2}|v|^{2}}}\cdot e^{\omega }$

On obtient aussi les expressions suivantes :

$\operatorname {Re} (vu^{*})={\sqrt {|u|^{2}|v|^{2}}}\cdot \cos _{\omega \omega ^{*}}1$

$\operatorname {Im} (vu^{*})={\sqrt {|u|^{2}|v|^{2}}}\cdot \sin _{\omega \omega ^{*}}1\cdot \omega$

• Second théorème de polarisation

Soient $M_{0},\ M_{1}\in \mathbb {R} ^{3}$ deux vecteurs unitaires, et posons :

$z_{0}=\operatorname {Re} (M_{0}k^{*})$ et $z_{1}=\operatorname {Re} (M_{1}k^{*})$.

On a alors : ${\big (}\exists \ m\in \mathbb {R} ^{3},\ m\perp M_{0},\ m\perp M_{1},\ M_{1}M_{0}^{*}=e^{m}{\big )}\iff {\big (}(\mathrm {K} >0)\ \lor \ (z_{0}z_{1}\geq 0){\big )}$.

Démonstration

Premier cas : $M_{0}=M_{1}$

Alors $z_{0}z_{1}=z_{0}^{2}\geq 0$ et $m=0$ convient, donc le théorème est vérifié.

---

Deuxième cas : $M_{0}=-M_{1}$

($\Longleftarrow$)

$\mathrm {K} >0$, montrons qu'il existe $m\in \mathbb {R} ^{3}$, non-nul et orthogonal à $M_{0}$ (et donc, à $M_{1}$).

Si $M_{0}$ est colinéaire à $k$, alors $m=i$ convient.

Sinon, alors $m=\operatorname {Im} (kM_{0}*)\cdot M_{0}$ convient. En effet, $\operatorname {Re} (mM_{0}^{*})=\operatorname {Re} {\big (}\operatorname {Im} (kM_{0}*){\big )}=0$, donc $m$ est orthogonal à $M_{0}$.

Par ailleurs, comme $M_{0}\neq 0$ et, comme $M_{0}$ et $k$ ne sont pas colinéaires, $\operatorname {Im} (kM_{0}*)\neq 0$.

Montrons que : si $\mathrm {K} >0$ alors, pour tous $u,\ v\in \mathbb {R} ^{3}$, $vu^{*}=0\Longrightarrow (u=0)\ \lor \ (v=0)$.

$(vu^{*}=0)\Longrightarrow {\big (}\operatorname {Im} (vu^{*})=0{\big )}\iff {\big (}v\in \mathrm {Col} (u){\big )}$

Si $v=0$, la proposition est donc vérifiée. Sinon, alors il existe $\mu \in \mathbb {R}$ tel que $u=\mu v$.

Si $\mu =0$, alors $u=0$ et la proposition est vérifiée. Sinon, $(vu^{*}=0)\Longrightarrow {\big (}\operatorname {Re} (vu^{*})=\mu |u|^{2}=0{\big )}\Longrightarrow |u|^{2}=0$.

Or $\mathrm {K} >0$ donc $|u|^{2}=0\iff u=0$.

Donc il existe $m$ non-nul et orthogonal à $M_{0}$ (et donc, à $M_{1}$).

Posons alors $\kappa =|m|^{2}>0$ (car $\mathrm {K} >0$), puis $r={\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}\in \mathbb {R}$.

Posons enfin $\lambda _{0}={\frac {1}{2}}(2\pi )\cdot r\neq 0$. Il est facile de vérifier l'égalité : $e^{\lambda _{0}m}=-1$.

En choisissant $m'=\lambda _{0}m$, nous avons donc trouvé un vecteur orthogonal à $M_{0}$ et à $M_{1}$, tel que $M_{1}M_{0}^{*}=e^{m'}$.

($\Longrightarrow$)

Notons :

$M_{0}=x_{0}\cdot i+y_{0}\cdot j+z_{0}\cdot k$

$m=x_{2}\cdot i+y_{2}\cdot j+z_{2}\cdot k$

Posons $\kappa =|m|^{2}$ et remarquons que, ${\big (}e^{m}=-1{\big )}\Longrightarrow {\big (}\cos _{\kappa }=-1{\big )}\Longrightarrow {\big (}\kappa >0{\big )}$.

Nous avons les égalités suivantes :

${\begin{aligned}&\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}+z_{0}^{2}&=1\\&\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{2}+z_{0}z_{2}&=0\\&\mathrm {K} \cdot x_{2}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&=\kappa \end{aligned}}$

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $(x_{0}x_{2}+y_{0}y_{2})^{2}\leq (x_{0}^{2}+y_{0}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})$, d'où :

${\begin{aligned}z_{0}^{2}z_{2}^{2}&={\big (}-\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{2}{\big )}^{2}\\&=\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}x_{2}+y_{0}y_{2})^{2}\\&\leq \mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}^{2}+y_{0}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})\\&\leq (\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2})(\mathrm {K} \cdot x_{2}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{2}^{2})\\z_{2}^{2}-(1-z_{0}^{2})\cdot z_{2}^{2}&\leq (1-z_{0}^{2})(\kappa -z_{2}^{2})\\\end{aligned}}$

D'où il vient que :

${\begin{aligned}z_{2}^{2}&\leq \kappa \cdot (1-z_{0}^{2})\\z_{2}^{2}&\leq \kappa \cdot (x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\cdot \mathrm {K} \\\end{aligned}}$

Donc $\mathrm {K} \geq 0$.

Or, $\mathrm {K} =0$ implique :

${\begin{aligned}&z_{0}^{2}&=&\ 1\\&z_{0}z_{2}&=&\ 0\\&z_{2}^{2}&=&\ \kappa \neq 0\end{aligned}}$

Ce qui est impossible. Donc $\mathrm {K} <0$.

---

Troisième cas : $M_{0}$ et $M_{1}$ ne sont pas colinéaires

Nous allons devoir distinguer deux sous-cas, selon que $\mathrm {K}$ est nul ou non.

Nous noterons :

$M_{0}=x_{0}\cdot i+y_{0}\cdot j+z_{0}\cdot k$

$M_{1}=x_{1}\cdot i+y_{1}\cdot j+z_{1}\cdot k$

$m_{\ }=x_{\ }\cdot i+y_{\ }\cdot j+z_{\ }\cdot k$

---

Premier sous-cas : $\mathrm {K} =0$

On a alors : $|M_{0}|^{2}=z_{0}^{2}=1=|M_{1}|^{2}=z_{1}^{2}$ et $\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}=z_{0}z_{1}\in \{-1,1\}$.

($\Longrightarrow$)

Par orthogonalité de $m$ :

$\operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=z_{0}z=0=\operatorname {Re} (M_{1}m^{*})=z_{1}z$

Comme $z_{0}$ et $z_{1}$ sont non-nuls, on en déduit que $|m|^{2}=z^{2}=0$.

D'où il vient : $z_{0}z_{1}=\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}=\operatorname {Re} (e^{m})=\cos _{0}1=1\geq 0$.

($\Longleftarrow$)

$\mathrm {K} \ngtr 0$ donc $z_{0}z_{1}\geq 0$. Comme $z_{0}z_{1}\in \{-1,1\}$, on en déduit $z_{0}z_{1}=1$.

Alors $m=\operatorname {Im} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}$ convient. En effet, nous avons déjà montré que $\operatorname {Im} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}$ est orthogonal à $M_{0}$ et à $M_{1}$, donc :

$\operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=z_{0}z=0=\operatorname {Re} (M_{1}m^{*})=z_{1}z$

Comme $z_{0}$ et $z_{1}$ sont non-nuls, on en déduit que $|m|^{2}=z^{2}=0$. D'où :

$e^{m}=1+m=\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}+\operatorname {Im} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}=M_{1}M_{0}^{*}$.

---

Second sous-cas : $\mathrm {K} \neq 0$

Nous avons alors l'équivalence : $m\perp M_{0},\ m\perp M_{1}\iff m\in \mathrm {Col} {\big (}\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*}){\big )}$, et comme nous supposons aussi que $M_{0}$ et $M_{1}$ ne sont pas colinéaires, nous savons que $\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})\neq 0$. D'où :

$m\in \mathrm {Col} {\big (}\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*}){\big )}\iff \exists \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ \ m=\lambda \operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})$.

Par application du premier théorème de polarisation, nous déduisons :

${\Big (}\exists \ m\in \mathbb {R} ^{3},\ m\perp M_{0},\ m\perp M_{1},\ M_{1}M_{0}^{*}=e^{m}{\Big )}\iff {\Big (}\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1{\Big )}$.

Il nous suffit donc de montrer l'équivalence :

$\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1\iff (\mathrm {K} >0)\ \lor \ (z_{0}z_{1}\geq 0)$

---

Montrons que : $\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1\iff (\mathrm {K} >0)\ \lor \ (z_{0}z_{1}\geq 0)$

($\Longrightarrow$)

Nous allons prouver sa contraposée :

$(\neg (K>0))\land \ (\neg (z_{0}z_{1}\geq 0))\Longrightarrow \neg {\big (}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})>-1{\big )}$

Que nous pouvons réécrire :

$\quad (K<0)\ \land \ (z_{0}z_{1}<0)\Longrightarrow \neg {\big (}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})>-1{\big )}$

Nous supposerons donc $K<0$ et $z_{0}z_{1}<0$ dans cette partie.

$\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}=\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}$ donc :

$\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1\iff \mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1}$.

Par l'absurde :

$(z_{0}z_{1}<0)\ \land \ (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1})$

$\iff \mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1}>0$

$\Longrightarrow (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1)^{2}>(-z_{0}z_{1})^{2}$

$\iff (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1)^{2}>(1-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2})(1-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2})$

$\iff \mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}y_{1}^{2}+1+2\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+2\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+2\mathrm {K} ^{2}x_{0}x_{1}y_{0}y_{1}$

$>1-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}x_{1}^{2}$

$\iff 2\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+2\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+2\mathrm {K} ^{2}x_{0}x_{1}y_{0}y_{1}>-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}x_{1}^{2}$

$\iff (\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+2\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2})+(\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}+2\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2})>\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}y_{1}^{2}-2\mathrm {K} ^{2}x_{0}x_{1}y_{0}y_{1}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}x_{1}^{2}$

$\iff \mathrm {K} \cdot (x_{0}+x_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (y_{0}+y_{1})^{2}>\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}$

$\iff 0>\mathrm {K} \cdot {\big [}(x_{0}+x_{1})^{2}+(y_{0}+y_{1})^{2}{\big ]}>\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}>0$ car $\mathrm {K} <0$, et $M_{0}$ et $M_{1}$ sont non-colinéaires.

Impossible.

($\Longleftarrow$)

• Si $\mathrm {K} >0$ :

Le produit réel est alors un produit euclidien.

Comme par ailleurs $M_{0}$ et $M_{1}$ ne sont pas colinéaires, l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous assure que :

$|\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})|<|M_{0}|^{2}|M_{1}|^{2}=1$.

Donc l'inégalité $\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1$ est bien vérifiée.

• Si $\mathrm {K} <0$ et $z_{0}z_{1}\geq 0$ :

$M_{0}\in S$ donc $|M_{0}|^{2}=\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=1$.

Ainsi, $z_{0}^{2}=1-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}$ et, de même, $z_{1}^{2}=1-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2}$.

Par ailleurs, $\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}=\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}$ donc :

$\operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1\iff \mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1}$.

Premier sous-cas $\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>0$ :

Alors, trivialement, $\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>0\geq -z_{0}z_{1}$ et l'inégalité voulue est respectée.

Second sous-cas $\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1\leq 0$ :

$0\geq \mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1}$

$\iff (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1)^{2}<(-z_{0}z_{1})^{2}$

$\iff \mathrm {K} \cdot {\big [}(x_{0}+x_{1})^{2}+(y_{0}+y_{1})^{2}{\big ]}<\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}$ en reprenant les calculs précédents.

Or $\mathrm {K} \cdot {\big [}(x_{0}+x_{1})^{2}+(y_{0}+y_{1})^{2}{\big ]}<0<\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}$ car $M_{0}$ et $M_{1}$ ne sont pas colinéaires, donc l'inégalité est respectée.

 

Pour tous $M_{0},\ M_{1}\in S$, et pour tout directeur $m$ de leur géodésique, $|m|^{2}$ est de même signe que $\mathrm {K}$.

Plus précisément :

• si $\mathrm {K} =0$ alors $|m|^{2}=0$ ;
• sinon, alors $\mathrm {K} \cdot |m|^{2}\geq 0$ et l'inégalité est même stricte si $M_{0}\neq M_{1}$.

Démonstration

Nous noterons :

$M_{0}=x_{0}\cdot i+y_{0}\cdot j+z_{0}\cdot k$

$M_{1}=x_{1}\cdot i+y_{1}\cdot j+z_{1}\cdot k$

$m_{\ }=x_{\ }\cdot i+y_{\ }\cdot j+z_{\ }\cdot k$

$\kappa =|m|^{2}$

---

• Si $\mathrm {K} >0$ :

Alors $\kappa =\mathrm {K} \cdot x^{2}+\mathrm {K} \cdot y^{2}+z^{2}\geq 0$.

L'inégalité est même stricte, sauf si $m=0$, c'est-à-dire si $M_{1}=M_{0}$.

---

• Si $\mathrm {K} =0$ :

Alors $|M_{0}|^{2}=z_{0}^{2}=1$ donc $z_{0}\neq 0$.

Or, par orthogonalité, $\operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=z_{0}z=0$, d'où $z=0$.

Nous en déduisons : $\kappa =z^{2}=0$.

---

• Si $\mathrm {K} <0$ :

Alors $|M_{0}|^{2}=\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}+z_{0}^{2}=1$ donc $z_{0}^{2}=1+|\mathrm {K} |\cdot (x_{0}^{2}+y_{0}^{2})>1$. De même, $z_{1}^{2}>1$.

Or, par orthogonalité,

$\operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=\mathrm {K} \cdot x_{0}x+\mathrm {K} \cdot y_{0}y+z_{0}z=0$

D'où : $z=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (x_{0}x+y_{0}y)$ et, de même, $z=-{\frac {1}{z_{1}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (x_{1}x+y_{1}y)$.

Ainsi, $z_{1}\cdot (x_{0}x+y_{0}y)=z_{0}\cdot (x_{1}x+y_{1}y)$ ce qu'on peut écrire :

$(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot x=(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot y$

Puis :

${\begin{aligned}(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot z&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot (x_{0}x+y_{0}y)\\&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot {\big (}(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot x_{0}+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot y_{0}{\big )}\cdot x\\&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{0}z_{1}-x_{0}z_{0}y_{1}+z_{0}x_{1}y_{0}-x_{0}z_{1}y_{0})\cdot x\\(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot z&=\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot x\end{aligned}}$

Ainsi :

${\begin{aligned}\kappa &=\mathrm {K} \cdot x^{2}+\mathrm {K} \cdot y^{2}+z^{2}\\(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}\cdot \kappa &={\big [}\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}{\big ]}\cdot x^{2}\end{aligned}}$

De même :

${\begin{aligned}(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot z&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot (x_{0}x+y_{0}y)\\&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot {\big (}(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot x_{0}+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot y_{0}{\big )}\cdot y\\&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{0}z_{1}-x_{0}z_{0}y_{1}+z_{0}x_{1}y_{0}-x_{0}z_{1}y_{0})\cdot y\\(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot z&=\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot y\end{aligned}}$

Ainsi :

${\begin{aligned}\kappa &=\mathrm {K} \cdot x^{2}+\mathrm {K} \cdot y^{2}+z^{2}\\(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}\cdot \kappa &={\big [}\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}{\big ]}\cdot y^{2}\end{aligned}}$

Si $(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\neq 0$ ou si $(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\neq 0$, alors nous venons d'établir que $\kappa$ est de même signe que $\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}$.

---

Remarque : si $(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})=(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})=0$, alors :

$(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot x={\frac {1}{\mathrm {K} }}\cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot z=0$

et

$(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot y={\frac {1}{\mathrm {K} }}\cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot z=0$

Ce qui peut se résumer en :

$x=y=0$ ou $(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})=(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})=(x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})=0$.

Le second cas peut se réécrire : $\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})=0$. $\mathrm {K}$ étant non-nul, cela revient à dire que $M_{0}$ et $M_{1}$ sont colinéaires. Et comme $\mathrm {K} <0$, c'est finalement équivalent à $M_{0}=M_{1}$.

Si $x=y=0$, alors :

$\operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=z_{0}z=0$ et $z_{0}\neq 0$

d'où $m=0$ et finalement :

${\begin{aligned}\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})&=\operatorname {Im} (e^{m})\\&=\operatorname {Im} (e^{0})\\&=\operatorname {Im} (1)\\&=0\end{aligned}}$

On retrouve à nouveau $M_{0}=M_{1}$.

---

Si $M_{0}\neq M_{1}$, alors nous venons d'établir que $\kappa$ est de même signe que $\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}$.

Or :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})&=\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}\\\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})&=(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot i+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot j+\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot k\\|M_{1}M_{0}^{*}|^{2}&=1\\&=\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})^{2}+|\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})|^{2}\\&=(\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1})^{2}+{\big (}\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}{\big )}\end{aligned}}$

Donc $\kappa$ est donc de même signe que :

$\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}=1-(\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1})^{2}$

Nous voulons prouver que $\kappa$ est de même signe que $\mathrm {K}$, c'est-à-dire négatif.

Cela revient donc à montrer que :

$|\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})|=|\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}|\geq 1$

Or, par application du premier théorème de polarisation, nous savons que $\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})>-1$, donc nous devons montrer que $\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})\geq 1$.

Par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

${\begin{aligned}|x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1}|&\leq {\sqrt {(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})}}\\|\mathrm {K} \cdot (x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1})|&\leq {\sqrt {(\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2})(\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2})}}\\|(\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})-z_{0}z_{1})|&\leq {\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\end{aligned}}$

En particulier :

${\begin{aligned}-{\big (}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})-z_{0}z_{1}{\big )}&\leq {\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\\\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})&\geq z_{0}z_{1}-{\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\end{aligned}}$

L'inégalité est même stricte sauf si $(x_{0},y_{0})$ et $(x_{1},y_{1})$ sont colinéaires.

Or :

${\begin{aligned}(z_{0}-z_{1})^{2}&\geq 0\\z_{0}^{2}-2\cdot z_{0}z_{1}+z_{1}^{2}&\geq 0\\z_{0}^{2}-2\cdot z_{0}z_{1}+z_{1}^{2}+1+z_{0}^{2}z_{1}^{2}&\geq 1+z_{0}^{2}z_{1}^{2}\\z_{0}^{2}z_{1}^{2}-2\cdot z_{0}z_{1}+1&\geq z_{0}^{2}z_{1}^{2}-z_{0}^{2}-z_{1}^{2}+1\\{\big (}z_{0}z_{1}-1{\big )}^{2}&\geq {\big (}z_{0}^{2}-1{\big )}{\big (}z_{1}^{2}-1{\big )}\\|z_{0}z_{1}-1|&\geq {\sqrt {{\big (}z_{0}^{2}-1{\big )}{\big (}z_{1}^{2}-1{\big )}}}\end{aligned}}$

Par ailleurs, $z_{0}^{2}>1$, $z_{1}^{2}>1$ et, par application du second théorème de polarisation, $z_{0}z_{1}\geq 0$, donc $z_{0}z_{1}>1$, c'est-à-dire $|z_{0}z_{1}-1|=z_{0}z_{1}-1$. D'où :

$z_{0}z_{1}-1\geq {\sqrt {{\big (}z_{0}^{2}-1{\big )}{\big (}z_{1}^{2}-1{\big )}}}$

L'inégalité est même stricte sauf si $z_{0}=z_{1}$.

Et enfin :

$\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})\geq z_{0}z_{1}-{\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\geq 1$

L'inégalité est même stricte sauf si $(x_{0},y_{0})$ et $(x_{1},y_{1})$ sont colinéaires et si $z_{0}=z_{1}$, ce qui n'est possible que si $M_{0}=M_{1}$.

Ce qui termine presque la preuve.

Ainsi, l'inégalité $\kappa \cdot \mathrm {K} \geq 0$ est même stricte sauf si $M_{0}=M_{1}$.

 

Il est toujours possible de normaliser un directeur.

Justifications

Normaliser un directeur $m$ ne pose donc pas de problème lorsque $|m|^{2}\neq 0$ (auquel cas, nécessairement $\mathrm {K} \neq 0$), il suffit de poser $\mu ={\sqrt {\frac {|m|^{2}}{\mathrm {K} }}}$ puis $m'={\frac {1}{\mu }}\cdot m$.

Si $\mathrm {K} =0$, alors on sait que $|m|^{2}=0$, c'est-à-dire que $m$ est de la forme $m=x\cdot i+y\cdot j$. Il est naturel d'écrire : $|m|^{2}=\mathrm {K} \cdot x^{2}+\mathrm {K} \cdot y^{2}$ et donc de poser $\mu ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$, puis $m'={\frac {1}{\mu }}\cdot m$ comme précédemment.

 

 

Métrique sur $S$

On définit sur $S$ la métrique suivante :

$\operatorname {ds} ={\sqrt {{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ |\operatorname {dM} |^{2}}}$

Heuristique

Soient $M\in S$ et $m\in \mathbb {R} ^{3}$ orthogonal à $M$, tel que $|m|^{2}=\mathrm {K}$.

Alors $\lambda \mapsto e^{\lambda m}\cdot M$ est une géodésique de $S$ passant par $M$.

On s'intéresse à cette géodésique au voisinage de $M$.

On a :

${\begin{aligned}|\operatorname {dM} |^{2}&={\big |}(M+\operatorname {dM} )-M{\big |}^{2}\\&={\Big |}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }\cdot M-M{\Big |}^{2}\\&={\Big |}{\big (}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }-1{\big )}\cdot M{\Big |}^{2}\\&={\Big |}{\big (}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }-1{\big )}{\Big |}^{2}\cdot |M|^{2}\\&={\Big |}{\big (}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }-1{\big )}{\Big |}^{2}\\&={\big (}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }-1{\big )}{\big (}e^{-{\operatorname {d\lambda \ m} }}-1{\big )}\\&=1-{\big (}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }+e^{-{\operatorname {d\lambda \ m} }}{\big )}+1\\&=2-2\cdot \operatorname {Re} {\big (}e^{\operatorname {d\lambda \ m} }{\big )}\\&=2\cdot (1-\cos _{\mathrm {K} }\operatorname {d\lambda } )\\&=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }\operatorname {d\lambda } )^{2}\\|\operatorname {dM} |^{2}&=\mathrm {K} \cdot \operatorname {d\lambda } ^{2}\\\operatorname {d\lambda } &={\sqrt {{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ |\operatorname {dM} |^{2}}}\end{aligned}}$

Ce serait donc l'identification $\operatorname {ds} =\operatorname {d\lambda }$ qui resterait à justifier.

Mais il faut aussi expliquer pourquoi nous avons pris $|m|^{2}=\mathrm {K}$. En effet, aurions-nous eu $|m|^{2}=\kappa$ que nous aurions toujours pu écrire $\operatorname {d\lambda } ={\sqrt {{\frac {1}{\kappa }}\ |\operatorname {dM} |^{2}}}$.

En quoi ces choix ne seraient-ils pas arbitraires ? => voir dualité entre $S$ et $S^{*}$.

 

Conjecture sur les géodésiques de S

Soient $M_{0},\ M_{1}\in S$, et $m\in \mathbb {R} ^{3}$ orthogonal à $M_{0}$ et $M_{1}$, tel que $M_{1}M_{0}^{*}=e^{m}$.

On peut alors définir le chemin :

$\gamma :\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &S\\\lambda &\mapsto &e^{\lambda m}\cdot M_{0}\end{array}}\right.$

Démonstration

Justifions que, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $\gamma (\lambda )\in S$ :

$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,$

${\begin{aligned}\operatorname {Re} {\big (}\gamma (\lambda ){\big )}&=\operatorname {Re} (e^{\lambda m}\cdot M_{0})\\&=\operatorname {Re} {\big (}(\cos _{|m|^{2}}1+\sin _{|m|^{2}}1\cdot m)\cdot M_{0}{\big )}\\&=\cos _{|m|^{2}}1\cdot \operatorname {Re} (M_{0})+\sin _{|m|^{2}}1\cdot \operatorname {Re} (mM_{0})\\&=0+0\mathrm {\qquad (car\ m\ \perp \ M_{0})} \\&=0\end{aligned}}$

Donc $\gamma$ est bien à valeur dans $\mathbb {R} ^{3}$.

Par ailleurs :

$\forall \lambda \in \mathbb {R} ,$

${\begin{aligned}\gamma (\lambda )\gamma (\lambda )^{*}&={\big (}e^{\lambda m}\cdot M_{0}{\big )}{\big (}e^{\lambda m}\cdot M_{0}{\big )}^{*}\\&=e^{\lambda m}\cdot M_{0}M_{0}^{*}\cdot e^{-\lambda m}\\&=1\end{aligned}}$

Donc $\gamma$ prend bien ses valeurs parmi les vecteurs unitaires.

Enfin, $\gamma$ est une fonction continue or, si $\mathrm {K} \leq 0$, il n'existe aucun vecteur unitaire appartenant au plan $z=0$, donc $\gamma$ est à valeur dans $S$.

 

En notant $\kappa =|m|^{2}$ et en supposant $\sin _{\kappa }1\neq 0$, on obtient :

$\gamma (\lambda )={\frac {1}{\sin _{\kappa }1}}\ {\big [}\sin _{\kappa }(1-\lambda )\cdot M_{0}+\sin _{\kappa }\lambda \cdot M_{1}{\big ]}$

Démonstration

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sin _{\kappa }1}}\cdot {\big [}\sin _{\kappa }(1-\lambda )\cdot M_{0}+\sin _{\kappa }\lambda \cdot M_{1}{\big ]}&={\frac {1}{\sin _{\kappa }1}}\cdot {\big [}\sin _{\kappa }(1-\lambda )+\sin _{\kappa }\lambda \cdot e^{m}{\big ]}\cdot M_{0}\\&={\frac {1}{\sin _{\kappa }1}}\cdot {\big [}(\sin _{\kappa }1\cos _{\kappa }\lambda -\cos _{\kappa }1\sin _{\kappa }\lambda )+\sin _{\kappa }\lambda \cdot (\cos _{\kappa }1+\sin _{\kappa }1\cdot m){\big ]}\cdot M_{0}\\&={\frac {1}{\sin _{\kappa }1}}\cdot {\big [}\sin _{\kappa }1\cos _{\kappa }\lambda +\sin _{\kappa }\lambda \cdot \sin _{\kappa }1\cdot m){\big ]}\cdot M_{0}\\&=(\cos _{\kappa }\lambda +\sin _{\kappa }\lambda \cdot m)\cdot M_{0}\\&=e^{\lambda m}\cdot M_{0}\\\end{aligned}}$

 

Conjecture

$\gamma$ est une géodésique.

Lois trigonométriques sur $S$

Soient $A,\ B,\ C\in S$, et soit $\omega \in S^{*}$ tel qu'il existe $c\in \mathbb {R}$ tel que :

$B=e^{c\omega }\ A$.

Soient $b,\ \alpha \in \mathbb {R}$ tels que :

$C=e^{be^{\alpha A}\omega }\ A$.

Enfin soient $\omega '\in S^{*}$ et $a\in \mathbb {R}$ tels que :

$C=e^{a\omega '}\ B$.

Loi des cosinus

$\cos _{\mathrm {K} }a=\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha$

Démonstration

${\begin{aligned}\cos _{\mathrm {K} }a&=\operatorname {Re} (CB^{*})\\&=\operatorname {Re} (e^{be^{\alpha A}\omega }\ e^{-c\omega })\\&=\operatorname {Re} {\Big (}{\big (}\cos _{\mathrm {K} }b+\sin _{\mathrm {K} }b\ (\cos \alpha +\sin \alpha \ A)\omega {\big )}\ (\cos _{\mathrm {K} }c-\sin _{\mathrm {K} }c\ \omega ){\Big )}\\&=\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \end{aligned}}$

 

Variante : loi des cordes

$(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}={\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}$

Remarque : cette formulation est à mi-chemin entre la loi d'Al Kashi et la loi des « haversines ».

Démonstration

Remarque préliminaire : $\cos _{\mathrm {K} }=1-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ \operatorname {cr} _{\mathrm {K} }^{2}$ d'où :

${\begin{aligned}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c)^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}&={\frac {2}{\mathrm {K} }}\ [1-\cos _{\mathrm {K} }(b-c)]+2\ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (1-\cos \alpha )\\&={\frac {2}{\mathrm {K} }}\ [1-\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c]+2\ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (1-\cos \alpha )\\&={\frac {2}{\mathrm {K} }}\ (1-\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c)-2\ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\&={\frac {2}{\mathrm {K} }}\ {\big [}1-(\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha )]\\&={\frac {2}{\mathrm {K} }}\ {\big [}1-\cos _{\mathrm {K} }a]\\&=(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}\end{aligned}}$

 

Deuxième démonstration

$B=e^{c\omega }\ A$

$C=e^{be^{\alpha A}\omega }\ A$.

${\begin{aligned}|A-B|^{2}&=|A-e^{c\omega }\ A|^{2}\\&=|1-e^{c\omega }|^{2}\ |A|^{2}\\&=|1-e^{c\omega }|^{2}\\&=(1-e^{c\omega })(1-e^{-c\omega })\\&=1-e^{c\omega }-e^{-c\omega }+1\\&=2-2\ \cos _{\mathrm {K} }c\\&=2\ (1-\cos _{\mathrm {K} }c)\\&=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}\\\end{aligned}}$

De même, $|C-A|^{2}=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}$ et $|C-B|^{2}=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}$.

Or :

${\begin{aligned}|C-B|^{2}&=|(C-A)+(A-B)|^{2}\\&=|C-A|^{2}+|A-B|^{2}+2\ \operatorname {Re} {\big (}(C-A)(A-B)^{*}{\big )}\\&=|C-A|^{2}+|A-B|^{2}-2\ \operatorname {Re} {\big (}(C-A)(B-A)^{*}{\big )}\\\end{aligned}}$.

Calculons :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} {\big (}(C-A)(B-A)^{*}{\big )}&=\operatorname {Re} {\big (}(e^{be^{\alpha A}\omega }-1)(e^{-c\omega }-1){\big )}\\&=\operatorname {Re} {\big (}1-e^{be^{\alpha A}\omega }-e^{-c\omega }+e^{be^{\alpha A}\omega }\ e^{-c\omega }){\big )}\\&=\operatorname {Re} {\big (}1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+(\cos _{\mathrm {K} }b+\sin _{\mathrm {K} }b\ e^{\alpha A}\omega )(\cos _{\mathrm {K} }c-\sin _{\mathrm {K} }c\ \omega ){\big )}\\&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \end{aligned}}$.

---

Première option (Al-Kashi) :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} {\big (}(C-A)(B-A)^{*}{\big )}&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\&=(1-\cos _{\mathrm {K} }b)(1-\cos _{\mathrm {K} }c)+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\&=(1-\cos _{\mathrm {K} }b)(1-\cos _{\mathrm {K} }c)+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\&={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}^{2}\ \mathrm {K} ^{2}\ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\&=\mathrm {K} \ {\Bigg (}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}^{2}\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha {\Bigg )}\end{aligned}}$.

D'où :

${\begin{aligned}\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}&=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}+\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}-2\ \mathrm {K} \ {\Bigg (}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}^{2}\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha {\Bigg )}\\(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}&=(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}+(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}-2\ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\\end{aligned}}$.

---

Seconde option :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} {\big (}(C-A)(B-A)^{*}{\big )}&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ {\bigg (}1-{\frac {1}{2}}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\bigg )}\\&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+(\cos _{\mathrm {K} }b\ \cos _{\mathrm {K} }c+\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c)-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}\\&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+\cos _{\mathrm {K} }(b-c)-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}\\&=1-\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c+{\bigg (}1-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ {\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}{\bigg )}-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}\\&=(1-\cos _{\mathrm {K} }b)+(1-\cos _{\mathrm {K} }c)-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ {\Big (}{\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\Big )}\\&={\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}+{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}-{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ {\Big (}{\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\Big )}\\&={\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ {\bigg (}{\Big (}(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}+(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}{\Big )}-{\Big (}{\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\Big )}{\bigg )}\\\end{aligned}}$.

D'où :

${\begin{aligned}\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}&=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}+\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}-\mathrm {K} \ {\bigg (}{\Big (}(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b)^{2}+(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c)^{2}{\Big )}-{\Big (}{\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\Big )}{\bigg )}\\(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a)^{2}&={\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}\end{aligned}}$.

 

Interprétation géométrique

Si $\mathrm {K} >0$, nous sommes sur une sphère. Sans perte de généralité, on peut visualiser le point $A$ au pôle nord, et $b\geq c$.

$\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a,\ \operatorname {cr} _{\mathrm {K} }b,\ \operatorname {cr} _{\mathrm {K} }c$ représentent les cordes sous-tendues par les arcs respectifs $[B,C],\ [A,C],\ [A,B]$.

$\sin _{\mathrm {K} }b,\ \sin _{\mathrm {K} }c$ représentent les rayons du parallèle de colatitudes respectives $b,c$.

Nommons $B'$ l'intersection du parallèle de $B$ et du méridien de $C$ ; et de même nommons $C'$ l'intersection du parallèle de $C$ et du méridien de $B$.

Alors $BB'CC'$ est un quadrilatère ($B$, $B'$, $C$ et $C'$ appartiennent à un même plan). Plus précisément, c'est un trapèze isocèle de bases $[B,B']$ et $[C,C']$.

Notons $l=\|BB'\|,\ L=\|CC'\|,\ D=\|BC\|,\ x=\|BC'\|=\|B'C\|$ et $h$ la hauteur du trapèze.

Il n'est pas difficile de voir que $D^{2}=h^{2}+{\bigg (}{\frac {L+l}{2}}{\bigg )}^{2}$ et que $h^{2}=x^{2}-{\bigg (}{\frac {L-l}{2}}{\bigg )}^{2}$, d'où :

$D^{2}=x^{2}+Ll$.

Il suffit ensuite de remarquer que :

${\begin{aligned}D&=\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }a\\x&=\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c)\\l&=\sin _{\mathrm {K} }c\ \operatorname {cr} \alpha \\L&=\sin _{\mathrm {K} }b\ \operatorname {cr} \alpha \end{aligned}}$

On retrouve ainsi la formule.

 

Brouillon

Rappel : $B=e^{c\omega }\ A$ et $C=e^{be^{\alpha A}\omega }\ A$.

Posons $B'=e^{ce^{\alpha A}\omega }\ A$ et $C'=e^{b\omega }\ A$.

Alors : $C-C'=\sin _{\mathrm {K} }b\ u$ et $B-B'=-\sin _{\mathrm {K} }c\ u$ avec $|u|^{2}=\mathrm {K} \ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}$.

Alors : $|C-C'|^{2}=\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}$ et, de même, $|B-B'|^{2}=\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }c)^{2}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}$.

Calcul

${\begin{aligned}|C-C'|^{2}&=|e^{be^{\alpha A}\omega }\ A-e^{b\omega }\ A|^{2}\\&=|e^{be^{\alpha A}\omega }-e^{b\omega }|^{2}\\&={\big (}e^{be^{\alpha A}\omega }-e^{b\omega }{\big )}{\big (}e^{-be^{\alpha A}\omega }-e^{-b\omega }{\big )}\\&=2\ {\Big (}1-\operatorname {Re} (e^{be^{\alpha A}\omega }e^{-b\omega }){\Big )}\\&=2\ {\Big (}1-\operatorname {Re} {\big (}(\cos _{\mathrm {K} }b+\sin _{\mathrm {K} }b\ e^{\alpha A}\omega )(\cos _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }b\ \omega ){\big )}{\Big )}\\&=2\ {\big (}1-(\cos _{\mathrm {K} }b)^{2}-\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }b)^{2}\ \cos \alpha {\big )}\\&=2\ {\Bigg (}1-(\cos _{\mathrm {K} }b)^{2}-\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }b)^{2}\ {\bigg (}1-{\frac {1}{2}}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\bigg )}{\Bigg )}\\&=2\ {\bigg (}1-{\Big (}(\cos _{\mathrm {K} }b)^{2}+\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }b)^{2}{\Big )}\ +{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}{\bigg )}\\|C-C'|^{2}&=\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }b)^{2}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}\end{aligned}}$

De même,

$|B-B'|^{2}=\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }c)^{2}\ (\operatorname {cr} \alpha )^{2}$.

 

Par ailleurs : $|B-C'|^{2}=\mathrm {K} \ {\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}$.

Calcul

${\begin{aligned}|B-C'|^{2}&=|e^{c\omega }\ A-e^{b\omega }\ A|^{2}\\&=|e^{c\omega }-e^{b\omega }|^{2}\\&=2\ {\big (}1-\operatorname {Re} (e^{b\omega }e^{-c\omega }){\big )}\\&=2\ {\big (}1-\operatorname {Re} (e^{(b-c)\omega }){\big )}\\&=2\ {\big (}1-\cos _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}\\|B-C'|^{2}&=\mathrm {K} \ {\big (}\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }(b-c){\big )}^{2}\end{aligned}}$

 

---

Soit $u={\begin{pmatrix}1-\cos \alpha \\\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}$.

Soit $v=(C-B')-{\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ u$. Alors $v$ est orthogonal à $u$.

On a :

${\begin{aligned}(C-B')&={\frac {\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}\ u+v\\|C-B'|^{2}&={\bigg (}{\frac {\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}{\bigg )}^{2}\ |u|^{2}+|v|^{2}\\|v|^{2}&=|C-B'|^{2}-{\bigg (}{\frac {\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}{\bigg )}^{2}\ |u|^{2}\end{aligned}}$

Puis :

${\begin{aligned}(C-B)&=(C-B')+(B'-B)\\&={\bigg (}{\frac {\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}\ u+v{\bigg )}+\sin _{\mathrm {K} }c\ u\\&={\frac {\sin _{\mathrm {K} }b+\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}\ u+v\\|C-B|^{2}&={\bigg (}{\frac {\sin _{\mathrm {K} }b+\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}{\bigg )}^{2}\ |u|^{2}+|v|^{2}\\&={\bigg (}{\frac {\sin _{\mathrm {K} }b+\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}{\bigg )}^{2}\ |u|^{2}+|C-B'|^{2}-{\bigg (}{\frac {\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c}{2}}{\bigg )}^{2}\ |u|^{2}\\&=|C-B'|^{2}+\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ |u|^{2}\\\end{aligned}}$

et $v={\begin{pmatrix}1-\cos \alpha \\\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}$. Alors :

${\begin{aligned}(C-B')&={\begin{pmatrix}(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)\ \cos \alpha \\(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)\ \sin \alpha \\\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c\end{pmatrix}}\\(C-B')-{\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ u&={\begin{pmatrix}(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)\ \cos \alpha \\(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)\ \sin \alpha \\\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c\end{pmatrix}}-{\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ {\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}\\v&={\begin{pmatrix}{\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ \cos \alpha \\{\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ \sin \alpha \\\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c\end{pmatrix}}+{\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\\v&={\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ {\begin{pmatrix}\cos \alpha +1\\\sin \alpha \\2\ {\frac {\cos _{\mathrm {K} }b-\cos _{\mathrm {K} }c}{\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c}}\end{pmatrix}}\\\operatorname {Re} (vu^{*})&={\frac {(\sin _{\mathrm {K} }b-\sin _{\mathrm {K} }c)}{2}}\ \mathrm {K} \ {\big (}(\cos \alpha +1)(\cos \alpha -1)+(\sin \alpha )^{2}{\big )}\\\operatorname {Re} (vu^{*})&=0\end{aligned}}$

 

Troisième démonstration

On a :

${\begin{aligned}B&={\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }c\\0\\\cos _{\mathrm {K} }c\end{pmatrix}}\\B'&={\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }c\ \cos \alpha \\\sin _{\mathrm {K} }c\ \sin \alpha \\\cos _{\mathrm {K} }c\end{pmatrix}}\\C&={\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }b\ \cos \alpha \\\sin _{\mathrm {K} }b\ \sin \alpha \\\cos _{\mathrm {K} }b\end{pmatrix}}\\C'&={\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }b\\0\\\cos _{\mathrm {K} }b\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Soit $u={\begin{pmatrix}\cos \alpha -1\\\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}$. Alors :

${\begin{aligned}(B'-B)&=(\sin _{\mathrm {K} }c)\ u\\(C-C')&=(\sin _{\mathrm {K} }b)\ u\end{aligned}}$

 

Loi des sinus

${\frac {\sin \alpha }{\sin _{\mathrm {K} }a}}={\frac {\sin \beta }{\sin _{\mathrm {K} }b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin _{\mathrm {K} }c}}$

Démonstration

$[A,B,C]=\operatorname {Re} {\big (}\operatorname {Im} (CB^{*})\ A^{*}{\big )}=\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \sin \alpha$

De même, nous aurions :

${\begin{aligned}{\big [}B,C,A{\big ]}&=\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }c\ \sin _{\mathrm {K} }a\ \sin \beta \\{\big [}C,A,B{\big ]}&=\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }a\ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin \gamma \end{aligned}}$

Or le produit mixte est inchangé par permutation circulaire, donc :

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin _{\mathrm {K} }c\ \sin \alpha &=\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }c\ \sin _{\mathrm {K} }a\ \sin \beta &&=\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }a\ \sin _{\mathrm {K} }b\ \sin \gamma \\\\{\frac {\sin \alpha }{\sin _{\mathrm {K} }a}}&=\qquad \quad {\frac {\sin \beta }{\sin _{\mathrm {K} }b}}&&={\frac {\sin \gamma }{\sin _{\mathrm {K} }c}}\end{alignedat}}$

 

Fourre-tout annexe

Nouvelle notation

Définissons :

${\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}=\cos _{\mathrm {K} }\lambda$

$\forall \ n\in \mathbb {N} ,\ \int _{0}^{\lambda }{\big |}\rho {\underset {\mathrm {K} }{\overset {n}{\shortmid }}}\operatorname {d\rho } ={\frac {1}{n+1}}\ {\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {n+1}{\shortmid }}}$

Alors en particulier :

${\big |}\lambda {\underset {0}{\overset {n}{\shortmid }}}=\lambda ^{n}$

${\big |}\lambda {\underset {1}{\overset {n}{\shortmid }}}={\big |}\lambda {\underset {}{\overset {n}{\shortmid }}}$

${\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {1}{\shortmid }}}={\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\shortmid }}=\sin _{\mathrm {K} }\lambda$

${\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}=(\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}$

$\int _{0}^{\lambda }{\big |}\rho {\underset {\mathrm {K} }{\shortmid }}\operatorname {d\rho } ={\frac {1}{2}}\ {\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}$

${\big |}b+c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}={\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}-\mathrm {K} \ {\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}$

${\big |}b+c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}={\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}+{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}$

${\big |}b+c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}={\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}+2\ {\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}+{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}+{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ {\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}$

${\big |}b+c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {3}{\shortmid }}}={\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {3}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}+3\ {\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}+3\ {\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}+{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {3}{\shortmid }}}+{\frac {1}{2}}\ \mathrm {K} \ {\Big (}{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {3}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}+{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {3}{\shortmid }}}{\Big )}$

Les formules deviennent :

Circonférence d'un cercle :

$C={\bar {\pi }}\ {\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}$

Aire d'un disque :

$A={\frac {1}{2}}\ {\bar {\pi }}\ {\big |}\lambda {\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}$

Loi des cosinus :

${\big |}a{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}={\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}\ {\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {0}{\shortmid }}}+\mathrm {K} \ {\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}\alpha {\underset {}{\overset {0}{\shortmid }}}$

Loi des sinus :

${\frac {{\big |}\alpha {\underset {}{\overset {}{\shortmid }}}}{{\big |}a{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}}}={\frac {{\big |}\beta {\underset {}{\overset {}{\shortmid }}}}{{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}}}={\frac {{\big |}\gamma {\underset {}{\overset {}{\shortmid }}}}{{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}}}$

Loi des cordes :

${\big |}a{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}={\big |}b-c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {2}{\shortmid }}}+{\big |}b{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}c{\underset {\mathrm {K} }{\overset {}{\shortmid }}}{\big |}\alpha {\underset {}{\overset {2}{\shortmid }}}$

On fait ainsi apparaître la loi des cosinus comme une loi d'ordre $0$, la loi des sinus comme une loi d'ordre $1$ et la loi des cordes comme une loi d'ordre $2$.

Nabla

$\nabla ={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial x}}\ i+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial y}}\ j+{\frac {\partial }{\partial z}}\ k$

$\Delta =|\nabla |^{2}={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Les opérateurs divergence et rotationnel correspondent respectivement au produit réel et imaginaire de $\nabla$ par le champ de vecteurs.

Ainsi, l'application de l'opérateur différentiel $\nabla$ sur un champ de vecteurs $F$ est donc notée par leur produit complet : $\nabla .F$.

Pour un champ scalaire $f$, $\Delta f=(\nabla .\nabla )f=\nabla .(\nabla f)=\nabla .\nabla f$.

Pour un champ vectoriel $F=F_{x}\ i+F_{y}\ j+F_{z}\ k$, $\Delta F=\Delta (F_{x}\ i+F_{y}\ j+F_{z}\ k)=\Delta F_{x}\ i+\Delta F_{y}\ j+\Delta F_{z}\ k$.

Attention ! pour un champ vectoriel $F$, et dans le cas général, on a : $|\nabla .F|^{2}\neq \Delta |F|^{2}$.

En effet, $\Delta |F|^{2}$ fera apparaître des dérivées secondes, tandis que $|\nabla .F|^{2}$ ne peut faire apparaître que des dérivées premières.

Calculs

Posons $F=F_{x}\ i+F_{y}\ j+F_{z}\ k$.

$|F|^{2}=\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}$

Calcul très bourrin

${\begin{aligned}\nabla |F|^{2}&={\bigg (}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial x}}\ i+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial y}}\ j+{\frac {\partial }{\partial z}}\ k{\bigg )}{\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}\\&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial {\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}}{\partial x}}\ i+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial {\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}}{\partial y}}\ j+{\frac {\partial {\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}}{\partial z}}\ k\\&={\Bigg (}{\frac {\partial F_{x}^{2}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}^{2}}{\partial x}}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}^{2}}{\partial x}}{\Bigg )}\ i+{\Bigg (}{\frac {\partial F_{x}^{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{y}^{2}}{\partial y}}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}^{2}}{\partial y}}{\Bigg )}\ j+{\Bigg (}\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{x}^{2}}{\partial z}}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{y}^{2}}{\partial z}}+{\frac {\partial F_{z}^{2}}{\partial z}}{\Bigg )}\ k\\&=2\ {\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ F_{z}{\bigg )}\ i+2\ {\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}\ F_{z}{\bigg )}\ j+2\ {\bigg (}\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\ F_{x}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\ F_{y}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ F_{z}{\bigg )}\ k\end{aligned}}$

Posons $G=\nabla |F|^{2}=G_{x}\ i+G_{y}\ j+G_{z}\ k$ pour simplifier les équations.

${\begin{aligned}\Delta |F|^{2}&=\nabla .{\big (}\nabla |F|^{2}{\big )}\\&=\nabla .G\\&={\bigg (}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial x}}\ i+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial y}}\ j+{\frac {\partial }{\partial z}}\ k{\bigg )}.(G_{x}\ i+G_{y}\ j+G_{z}\ k)\\&={\bigg (}{\frac {\partial G_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial G_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial G_{z}}{\partial z}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial G_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial G_{y}}{\partial z}}{\bigg )}\ i+{\bigg (}{\frac {\partial G_{x}}{\partial z}}-{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial G_{z}}{\partial x}}{\bigg )}\ j+{\bigg (}{\frac {\partial G_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial G_{x}}{\partial y}}{\bigg )}\ k\\{\frac {1}{2}}\ \Delta |F|^{2}&={\Bigg [}{\frac {\partial {\Big (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\Big (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\Big (}\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\ F_{x}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\ F_{y}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial z}}{\Bigg ]}\\&\quad +{\Bigg [}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial {\Big (}\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\ F_{x}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\ F_{y}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial y}}-{\frac {\partial {\Big (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial z}}{\Bigg ]}\ i\\&\quad +{\Bigg [}{\frac {\partial {\Big (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial z}}-{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial {\Big (}\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\ F_{x}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\ F_{y}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial x}}{\Bigg ]}\ j\\&\quad +{\Bigg [}{\frac {\partial {\Big (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial x}}-{\frac {\partial {\Big (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}\ F_{x}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}\ F_{y}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ F_{z}{\Big )}}{\partial y}}{\Bigg ]}\ k\\\Delta |F|^{2}&=2\ {\Bigg [}{\frac {\partial ^{2}F_{x}}{\partial x^{2}}}\ F_{x}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F_{y}}{\partial x^{2}}}\ F_{y}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}F_{z}}{\partial x^{2}}}\ F_{z}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\bigg (}{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}\\&\quad +{\frac {\partial ^{2}F_{x}}{\partial y^{2}}}\ F_{x}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F_{y}}{\partial y^{2}}}\ F_{y}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}F_{z}}{\partial y^{2}}}\ F_{z}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\bigg (}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}\\&\quad +\mathrm {K} \ {\frac {\partial ^{2}F_{x}}{\partial z^{2}}}\ F_{x}+\mathrm {K} \ {\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial ^{2}F_{y}}{\partial z^{2}}}\ F_{y}+\mathrm {K} \ {\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F_{z}}{\partial z^{2}}}\ F_{z}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}\\\end{aligned}}$

 

Calcul beaucoup moins bourrin

${\begin{aligned}\Delta |F|^{2}&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}{\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}{\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\big (}\mathrm {K} \ F_{x}^{2}+\mathrm {K} \ F_{y}^{2}+F_{z}^{2}{\big )}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{x}^{2}{\big )}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{y}^{2}{\big )}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{z}^{2}{\big )}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{x}^{2}{\big )}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{y}^{2}{\big )}}{\partial y^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{z}^{2}{\big )}}{\partial y^{2}}}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{x}^{2}{\big )}}{\partial z^{2}}}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{y}^{2}{\big )}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}{\big (}F_{z}^{2}{\big )}}{\partial z^{2}}}\\&=2\ {\Bigg [}{\frac {\partial ^{2}F_{x}}{\partial x^{2}}}\ F_{x}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F_{y}}{\partial x^{2}}}\ F_{y}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}F_{z}}{\partial x^{2}}}\ F_{z}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\bigg (}{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}\\&\quad +{\frac {\partial ^{2}F_{x}}{\partial y^{2}}}\ F_{x}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F_{y}}{\partial y^{2}}}\ F_{y}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial ^{2}F_{z}}{\partial y^{2}}}\ F_{z}+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\bigg (}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}\\&\quad +\mathrm {K} \ {\frac {\partial ^{2}F_{x}}{\partial z^{2}}}\ F_{x}+\mathrm {K} \ {\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}+\mathrm {K} \ {\frac {\partial ^{2}F_{y}}{\partial z^{2}}}\ F_{y}+\mathrm {K} \ {\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F_{z}}{\partial z^{2}}}\ F_{z}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}\end{aligned}}$

 

${\begin{aligned}\nabla .F&={\bigg (}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial x}}\ i+{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial }{\partial y}}\ j+{\frac {\partial }{\partial z}}\ k{\bigg )}.(F_{x}\ i+F_{y}\ j+F_{z}\ k)\\&={\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}{\bigg )}\ i+{\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}{\bigg )}\ j+{\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}{\bigg )}\ k\end{aligned}}$

${\begin{aligned}|\nabla .F|^{2}&={\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}+\mathrm {K} \ {\bigg (}{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}{\bigg )}^{2}+\mathrm {K} \ {\bigg (}{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}{\bigg )}^{2}\\&=\end{aligned}}$

 

On peut cependant retrouver nombre de résultats classiques :

$\operatorname {rot} \circ \operatorname {grad} =0$

Démonstration

$\forall \ f\in \mathbb {R} ^{(\mathbb {R^{3}} )},$

${\begin{aligned}\operatorname {rot} \circ \operatorname {grad} f&=\operatorname {Im} {\big (}\nabla .(\nabla f){\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}(\nabla .\nabla )f{\big )}\\&=\operatorname {Im} (\Delta f)\\&=0\end{aligned}}$

 

$\operatorname {div} \circ \operatorname {rot} =0$

Démonstration

$\forall \ F\in (\mathbb {R^{3}} )^{(\mathbb {R^{3}} )},$

${\begin{aligned}\operatorname {div} \circ \operatorname {rot} F&=\operatorname {Re} {\big (}\nabla .\operatorname {Im} (\nabla .F){\big )}\\&=[\nabla ,\nabla ,F]\\&=[F,\nabla ,\nabla ]\\&=\operatorname {Re} {\big (}F.\operatorname {Im} (\nabla .\nabla ){\big )}\\&=\operatorname {Re} {\big (}F.\operatorname {Im} (\Delta ){\big )}\\&=\operatorname {Re} (F.0)\\&=0\end{aligned}}$

 

$\operatorname {div} \circ \operatorname {grad} =\Delta$

Démonstration

$\forall \ f\in \mathbb {R} ^{(\mathbb {R^{3}} )},$

${\begin{aligned}\operatorname {div} \circ \operatorname {grad} f&=\operatorname {Re} {\big (}\nabla .(\nabla f){\big )}\\&=\operatorname {Re} {\big (}(\nabla .\nabla )f{\big )}\\&=\operatorname {Re} (\Delta f)\\&=\Delta f\end{aligned}}$

 

$\operatorname {grad} \circ \operatorname {div} -\operatorname {rot} \circ \operatorname {rot} =\Delta$

Démonstration

$\forall \ F\in (\mathbb {R^{3}} )^{(\mathbb {R^{3}} )},$

${\begin{aligned}(\operatorname {grad} \circ \operatorname {div} -\operatorname {rot} \circ \operatorname {rot} )F&=\operatorname {grad} \circ \operatorname {div} F-\operatorname {rot} \circ \operatorname {rot} F\\&=\nabla \operatorname {Re} (\nabla .F)-\operatorname {Im} {\big (}\nabla .\operatorname {Im} (\nabla .F){\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}\nabla \operatorname {Re} (\nabla .F){\big )}-\operatorname {Im} {\big (}\nabla .\operatorname {Im} (\nabla .F){\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}\nabla \operatorname {Re} (\nabla .F)-\nabla .\operatorname {Im} (\nabla .F){\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Re} (\nabla .F)\nabla -\operatorname {Im} (\nabla .F)\nabla ^{*}{\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Re} (\nabla .F)\nabla +\operatorname {Im} (\nabla .F)\nabla {\big )}\\&=\operatorname {Im} {\Big (}{\big (}\operatorname {Re} (\nabla .F)+\operatorname {Im} (\nabla .F){\big )}\nabla {\Big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}(\nabla .F)\nabla {\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}(F\nabla ^{*})\nabla {\big )}\\&=\operatorname {Im} {\big (}F(\nabla ^{*}\nabla ){\big )}\\&=\operatorname {Im} (F\Delta )\\&=\Delta F\end{aligned}}$

 

Idées en vrac

Notion de dualité entre la sphère unité et la sphère-$\mathrm {K}$ ou sphère duale, notée $S^{*}$.

$S^{*}$ est l'ensemble des points $m\in \mathbb {R} ^{3}$ tels que $|m|^{2}=\mathrm {K}$.

À toute géodésique de $S$ est associée un couple de points sur $S^{*}$.

Réciproquement, à toute géodésique de $S^{*}$ est associé un couple de points unitaires.

En particulier, soit $M\in S$, et soient deux vecteurs $u,\ v\in S^{*}$ orthogonaux à $M$.

Alors : $\lambda \mapsto e^{\lambda u}\ M$ et $\lambda \mapsto e^{\lambda v}\ M$ sont deux géodésiques de $S$.

L'angle entre ces deux géodésiques est entièrement caractérisé par le $\mathrm {K}$-quaternion unitaire $q={\frac {vu^{*}}{\mathrm {K} }}$.

$q$ est polarisable et il serait intéressant de montrer que $\mu \mapsto e^{\mu M}\ u$ est la géodésique de $S^{*}$ passant par $u$ et $v$.

Dualité

Dans cette partie, les définitions sont changées : $S$ n'est plus une composante connexe des vecteurs unitaires, mais un quotient de ces derniers par identification des paires de points opposés. Lorsque $\mathrm {K} =1$, $S$ n'est donc plus la sphère unité $S^{2}$, mais le plan projectif.

De même, on identifie les paires de points opposés sur $S^{*}$.

Dans toute la suite, un point de $S$ ou de $S^{*}$ sera donc une paire de points de $\mathbb {R} ^{3}$.

Il est vraisemblablement meilleur de formuler la dualité ainsi :

À tout point de $S$ est associé une unique « droite » de $S^{*}$, et vice versa.

En fait on parlera abusivement de points mais il serait plus juste de parler de paire de points opposés ($M\in S$ et $-M$).

Démo

Soit $M\in S$ et soit $D=\{m\in S^{*}\ |\ m\perp M\}$.

$D$ est non-vide

Démo

Notons $M=x\ i+y\ j+z\ k$.

Si $x=y=0$ : alors $m=i\in D$. En effet, $|m|^{2}=\mathrm {K}$ et $\operatorname {Re} (Mm^{*})=\operatorname {Re} (-z\ j)=0$.

Sinon : alors $m=-{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\ i+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\ j\in D$.

 

Pour tout $m\in D$, pour tout $\lambda \in \mathbb {R}$, $e^{\lambda M}\ m\in D$

Démo

Soit $m'=e^{\lambda M}\ m$, alors $m'$ est un vecteur car :

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (m')&=\operatorname {Re} (e^{\lambda M}\ m)\\&=\operatorname {Re} ((\cos \lambda +\sin \lambda M)\ m)\\&=\cos \lambda \ \operatorname {Re} (m)+\sin \lambda \ \operatorname {Re} (Mm)\\&=0-\sin \lambda \ \operatorname {Re} (Mm^{*})\\&=0\end{aligned}}$

$m'\in S^{*}$ car $|m'|^{2}=|m|^{2}=\mathrm {K}$ et

${\begin{aligned}\operatorname {Re} (m'M^{*})&=\operatorname {Re} (e^{\lambda M}\ mM^{*})\\&=\operatorname {Re} ((\cos \lambda +\sin \lambda M)\ mM^{*})\\&=\cos \lambda \ \operatorname {Re} (mM^{*})+\sin \lambda \ \operatorname {Re} (MmM^{*})\\&=\cos \lambda \ \operatorname {Re} (mM^{*})+\sin \lambda \ \operatorname {Re} ((MM^{*})\ m)\\&=\cos \lambda \ \operatorname {Re} (mM^{*})+\sin \lambda \ \operatorname {Re} (m)\\&=\cos \lambda \ \operatorname {Re} (mM^{*})\\&=0\end{aligned}}$

 

 

Coordonnées polaires sur $S$

$\times$	$1$	$mM$	$m$	$M$
$1$	$1$	$mM$	$m$	$M$
$mM$	$mM$	$-\mathrm {K}$	$\mathrm {K} \cdot M$	$-m$
$m$	$m$	$-\mathrm {K} \cdot M$	$-\mathrm {K}$	$mM$
$M$	$M$	$m$	$-mM$	$-1$

Soient $M\in S$ et $m\in S^{*}$ orthogonal à $M$.

Alors $(\lambda ,\theta )\mapsto e^{\lambda e^{\theta M}m}M$ est un système de coordonnées polaires sur $S$, centré en $M$ et orienté par $mM$.

${\begin{aligned}e^{\lambda e^{\theta M}m}M&=e^{\lambda (\cos \theta +\sin \theta M)m}M\\&=e^{\lambda (\cos \theta m+\sin \theta Mm)}M\\&={\big (}\cos _{\mathrm {K} }\lambda +\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ (\cos \theta m+\sin \theta Mm){\big )}M\\&=\cos _{\mathrm {K} }\lambda \ M+\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \cos \theta \ mM+\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \sin \theta \ MmM\\&=\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \ mM+\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \ m+\cos _{\mathrm {K} }\lambda \ M\end{aligned}}$

Ce qui est une décomposition dans la base $(mM,m,M)$.

Cette base est d'ailleurs analogue à la base canonique (voir table ci-contre).

Application exponentielle

Soit $M\in S$ et $u\in T_{M}S$. Alors $\gamma \ :\ \lambda \mapsto e^{\lambda Mu}\ M$ est l'unique géodésique de $S$ telle que $\gamma (0)=M$ et $\gamma '(0)=u$.

On obtient donc la définition de l'application exponentielle : $exp_{M}(u)=\gamma (1)=e^{Mu}\ M$.

Équation des géodésiques sur $S$

Système de coordonnées locales sur $S$ : $(\lambda ,\theta )$ tel que tout point $M\in S$ s'écrit : ${\begin{pmatrix}\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$.

Alors, dans ce système de coordonnées, les symboles de Christoffel valent :

$\Gamma ^{\lambda }=-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$\Gamma ^{\theta }={\frac {\cos _{\mathrm {K} }\lambda }{\sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

Démonstration

Base locale :

$\mathbf {e} _{\lambda }={\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

Calcul

$\mathbf {e} _{\lambda }={\frac {\partial M}{\partial \lambda }}={\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

 

$\mathbf {e} _{\theta }=\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}$

Calcul

$\mathbf {e} _{\theta }={\frac {\partial M}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}-\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\end{pmatrix}}=\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}$

 

Tenseur métrique :

$g=\mathrm {K} \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}\end{pmatrix}}$

$g^{-1}={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {1}{(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}}}\end{pmatrix}}$, en supposant $\mathrm {K} \neq 0$.

Rappel : $g^{\mu \nu }=(g^{-1})_{\mu \nu }$.

Calcul

$g_{\lambda \lambda }=|\mathbf {e} _{\lambda }|^{2}=\mathrm {K}$

$g_{\lambda \theta }=g_{\theta \lambda }=\operatorname {Re} (\mathbf {e} _{\lambda }\ \mathbf {e} _{\theta }^{*})=0$

$g_{\theta \theta }=|\mathbf {e} _{\theta }|^{2}=\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}$

 

Base duale :

$\mathbf {e} ^{\lambda }={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

Calcul

${\begin{aligned}\mathbf {e} ^{\lambda }&=g^{\lambda \mu }\ {\frac {\partial M}{\partial x^{\mu }}}\\&=g^{\lambda \lambda }\ {\frac {\partial M}{\partial \lambda }}+g^{\lambda \theta }\ {\frac {\partial M}{\partial \theta }}\\&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\Bigg [}1\cdot {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}+0\cdot \sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}{\Bigg ]}\\\mathbf {e} ^{\lambda }&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

 

$\mathbf {e} ^{\theta }={\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}$

Calcul

${\begin{aligned}\mathbf {e} ^{\theta }&=g^{\theta \mu }\ {\frac {\partial M}{\partial x^{\mu }}}\\&=g^{\theta \lambda }\ {\frac {\partial M}{\partial \lambda }}+g^{\theta \theta }\ {\frac {\partial M}{\partial \theta }}\\&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\Bigg [}0\cdot {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}+{\frac {1}{(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}}}\cdot \sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}{\Bigg ]}\\\mathbf {e} ^{\theta }&={\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

 

Dérivées secondes

${\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {\partial ^{2}M}{\partial \lambda ^{2}}}=-\mathrm {K} \ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}=-\mathrm {K} \ M$

${\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}M}{\partial \theta ^{2}}}=-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\end{pmatrix}}$

${\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \lambda }}={\frac {\partial ^{2}M}{\partial \lambda \partial \theta }}={\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}M}{\partial \theta \partial \lambda }}=\cos _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}$

 

Symboles de Christoffel :

$\Gamma _{\lambda \lambda }^{\lambda }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \lambda }^{\lambda }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \lambda }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\lambda }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}-\mathrm {K} \ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}{\begin{pmatrix}\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \lambda }^{\lambda }&=0\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\lambda \theta }^{\lambda }=\Gamma _{\theta \lambda }^{\lambda }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \theta }^{\lambda }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\lambda }\\&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\lambda }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}\cos _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \theta }^{\lambda }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\lambda }=0\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\theta \theta }^{\lambda }=-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\lambda }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\lambda }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\theta \theta }^{\lambda }&=-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\lambda \lambda }^{\theta }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \lambda }^{\theta }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \lambda }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\theta }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}-\mathrm {K} \ {\begin{pmatrix}\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}{\begin{pmatrix}\cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \lambda }^{\theta }&=0\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\lambda \theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta \lambda }^{\theta }={\frac {\cos _{\mathrm {K} }\lambda }{\sin _{\mathrm {K} }\lambda }}$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \theta }^{\theta }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\theta }\\&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\theta }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}\cos _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \theta }^{\theta }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\theta }={\frac {\cos _{\mathrm {K} }\lambda }{\sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\theta }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \\0\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }&=0\end{aligned}}$

 

 

Pour toute courbe paramétrée par $s$ telle que $\lambda =s$ et $\theta =\theta _{0}$ constant, il est facile de vérifier que :

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0$

En effet :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\lambda }{ds^{2}}}+{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}\ \Gamma ^{\lambda }\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}&=0-\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \ {\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{ds^{2}}}+{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}\ \Gamma ^{\theta }\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}&=0+{\frac {\cos _{\mathrm {K} }\lambda }{\sin _{\mathrm {K} }\lambda }}\ {\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&=0\end{aligned}}$

Équation des géodésiques sur $S^{*}$

Système de coordonnées locales sur $S^{*}$ m : $(\lambda ,\theta )\mapsto e^{\theta e^{\lambda m_{0}}M_{0}}\ m_{0}={\begin{pmatrix}-\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\\cos \theta \\\mathrm {K} \ \sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$ dans la base $(m_{0}M_{0},m_{0},M_{0})$.

Alors, dans ce système de coordonnées, les symboles de Christoffel valent :

$\Gamma ^{\lambda }={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

$\Gamma ^{\theta }=-\mathrm {K} \ \sin \theta \ \cos \theta \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$

Démonstration

Base locale :

$\mathbf {e} _{\lambda }=\mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

Calcul

$\mathbf {e} _{\lambda }={\frac {\partial m}{\partial \lambda }}={\begin{pmatrix}\mathrm {K} \ \sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\mathrm {K} \ \sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}=\mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

 

$\mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

Calcul

$\mathbf {e} _{\theta }={\frac {\partial m}{\partial \theta }}={\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

 

Tenseur métrique :

$g=\mathrm {K} \ {\begin{pmatrix}\mathrm {K} \ (\sin \theta )^{2}&0\\0&1\end{pmatrix}}$

$g^{-1}={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\mathrm {K} \ (\sin \theta )^{2}}}&0\\0&1\end{pmatrix}}$, en supposant $\mathrm {K} \neq 0$.

Rappel : $g^{\mu \nu }=(g^{-1})_{\mu \nu }$.

Calcul

$g_{\lambda \lambda }=|\mathbf {e} _{\lambda }|^{2}=\mathrm {K} ^{2}\ (\sin \theta )^{2}$

$g_{\lambda \theta }=g_{\theta \lambda }=\operatorname {Re} (\mathbf {e} _{\lambda }\ \mathbf {e} _{\theta }^{*})=0$

$g_{\theta \theta }=|\mathbf {e} _{\theta }|^{2}=\mathrm {K}$

 

Base duale :

$\mathbf {e} ^{\lambda }={\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

Calcul

${\begin{aligned}\mathbf {e} ^{\lambda }&=g^{\lambda \mu }\ {\frac {\partial m}{\partial x^{\mu }}}\\&=g^{\lambda \lambda }\ {\frac {\partial m}{\partial \lambda }}+g^{\lambda \theta }\ {\frac {\partial m}{\partial \theta }}\\&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\Bigg [}{\frac {1}{\mathrm {K} \ (\sin \theta )^{2}}}\cdot \mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}{\Bigg ]}\\\mathbf {e} ^{\lambda }&={\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

 

$\mathbf {e} ^{\theta }={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

Calcul

${\begin{aligned}\mathbf {e} ^{\theta }&=g^{\theta \mu }\ {\frac {\partial m}{\partial x^{\mu }}}\\&=g^{\theta \lambda }\ {\frac {\partial m}{\partial \lambda }}+g^{\theta \theta }\ {\frac {\partial m}{\partial \theta }}\\&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\Bigg [}0\cdot \mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}{\Bigg ]}\\\mathbf {e} ^{\theta }&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\end{aligned}}$

 

Dérivées secondes

${\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \lambda }}={\frac {\partial ^{2}m}{\partial \lambda ^{2}}}=\mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\cos _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

${\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}m}{\partial \theta ^{2}}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\cos \theta \\-\mathrm {K} \ \sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

${\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \lambda }}={\frac {\partial ^{2}m}{\partial \lambda \partial \theta }}={\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \theta }}={\frac {\partial ^{2}m}{\partial \theta \partial \lambda }}=\mathrm {K} \ \cos \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}$

 

Symboles de Christoffel :

$\Gamma _{\lambda \lambda }^{\lambda }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \lambda }^{\lambda }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \lambda }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\lambda }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}\mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\cos _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \lambda }^{\lambda }&=0\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\lambda \theta }^{\lambda }=\Gamma _{\theta \lambda }^{\lambda }={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \theta }^{\lambda }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\lambda }\\&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\lambda }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}\mathrm {K} \ \cos \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \theta }^{\lambda }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\lambda }={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\theta \theta }^{\lambda }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\lambda }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\lambda }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}{\begin{pmatrix}\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\cos \theta \\-\mathrm {K} \ \sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} \ \sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\theta \theta }^{\lambda }&=0\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\lambda \lambda }^{\theta }=-\mathrm {K} \ \sin \theta \cos \theta$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \lambda }^{\theta }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \lambda }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\theta }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}\mathrm {K} \ \sin \theta \ {\begin{pmatrix}\cos _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\-\mathrm {K} \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \lambda }^{\theta }&=-\mathrm {K} \ \sin \theta \cos \theta \end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\lambda \theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta \lambda }^{\theta }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \theta }^{\theta }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\theta }\\&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\lambda }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\theta }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}\mathrm {K} \ \cos \theta \ {\begin{pmatrix}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \\0\\\cos _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\lambda \theta }^{\theta }&=\Gamma _{\theta \lambda }^{\theta }=0\end{aligned}}$

 

$\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }=0$

Calcul

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }&=\operatorname {Re} {\bigg (}{\frac {\partial \mathbf {e} _{\theta }}{\partial \theta }}\ {\big (}\mathbf {e} ^{\theta }{\big )}^{*}{\bigg )}\\&=\operatorname {Re} {\Bigg [}{\begin{pmatrix}\sin \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\cos \theta \\-\mathrm {K} \ \sin \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\begin{pmatrix}-\cos \theta \ \cos _{\mathrm {K} }\lambda \\-\sin \theta \\\mathrm {K} \ \cos \theta \ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{pmatrix}}^{*}{\Bigg ]}\\\Gamma _{\theta \theta }^{\theta }&=0\end{aligned}}$

 

 

Pour toute courbe paramétrée par $s$ telle que $\lambda =\lambda _{0}$ constant et $\theta =s$, il est facile de vérifier que :

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0$

En effet :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\lambda }{ds^{2}}}+{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\ \Gamma ^{\lambda }\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}&=0+{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\ {\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\&=0\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{ds^{2}}}+{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\ \Gamma ^{\theta }\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}&=0-\mathrm {K} \ \sin \theta \ \cos \theta \ {\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\\&=0\end{aligned}}$

Circonférence d'un cercle sur $S$

Pour le cercle de centre $M\in S$ et de rayon $\lambda$, sa circonférence $C$ vaut :

$C=(2\pi )\ \sin _{\mathrm {K} }\lambda$

En notant ${\bar {\pi }}=2\pi$ :

$C={\bar {\pi }}\ \sin _{\mathrm {K} }\lambda$

Première démonstration

Soit $P_{0}\in S$ à une distance $\lambda$ de $M$.

On décompose $P_{0}=P_{\parallel }+P_{\perp }$ avec $P_{\parallel }$ colinéaire à $M$, et $P_{\perp }$ orthogonal à $M$.

Alors le cercle qui nous intéresse est l'ensemble des points :

${\begin{aligned}P&=e^{{\frac {\theta }{2}}M}\cdot P_{0}\cdot e^{-{\frac {\theta }{2}}M}\\&=e^{{\frac {\theta }{2}}M}\cdot (P_{\parallel }+P_{\perp })\cdot e^{-{\frac {\theta }{2}}M}\\P&=P_{\parallel }+e^{\theta M}\cdot P_{\perp }\end{aligned}}$

D'où :

${\begin{aligned}|dP|^{2}&={\bigg |}e^{\theta M}\cdot M\cdot P_{\perp }\cdot \operatorname {d\theta } {\bigg |}^{2}\\&={\bigg |}e^{\theta M}{\bigg |}^{2}\cdot |M|^{2}\cdot |P_{\perp }|^{2}\cdot \operatorname {d\theta } ^{2}\\|dP|^{2}&=|P_{\perp }|^{2}\cdot \operatorname {d\theta } ^{2}\end{aligned}}$

Or : $P_{\perp }=\operatorname {Im} (P_{0}M^{*})M$. Posons $\omega \in \mathbb {R} ^{3}$ tel que $P_{0}M^{*}=e^{\lambda \omega }$ (et donc, par définition, $|\omega |^{2}=\mathrm {K}$). Alors :

${\begin{aligned}|P_{\perp }|^{2}&=|\operatorname {Im} (P_{0}M^{*})M|^{2}\\&=|\operatorname {Im} (P_{0}M^{*})|^{2}\\&=|\operatorname {Im} (e^{\lambda \omega })|^{2}\\&=|\sin _{\mathrm {K} }\lambda \cdot \omega |^{2}\\&=(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}\cdot |\omega |^{2}\\&=(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}\cdot \mathrm {K} \end{aligned}}$

Donc $ds={\sqrt {{\frac {1}{\mathrm {K} }}\cdot |dP|^{2}}}=\sin _{\mathrm {K} }\lambda \cdot \operatorname {d\theta }$.

Remarque : en réalité, $ds=|\sin _{\mathrm {K} }\lambda |\cdot \operatorname {d\theta }$ mais on supposera $\lambda$ positif et suffisamment petit pour que $\sin _{\mathrm {K} }\lambda \geq 0$.

Finalement :

${\begin{aligned}C&=\int _{0}^{\bar {\pi }}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \cdot \operatorname {d\theta } \\C&={\bar {\pi }}\cdot \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{aligned}}$

 

Seconde démonstration

Posons :

${\begin{aligned}P&=e^{\lambda e^{\theta M}m}\ M\\&=(\cos _{\mathrm {K} }\lambda +\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ e^{\theta M}m)\ M\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {dP} &=\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ e^{\theta M}\ MmM\ \operatorname {d\theta } \\&=\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ e^{\theta M}\ m\ \operatorname {d\theta } \end{aligned}}$

${\begin{aligned}|\operatorname {dP} |^{2}&=(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}|m|^{2}\ \operatorname {d\theta } ^{2}\\&=\mathrm {K} \ (\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}\ \operatorname {d\theta } ^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {ds} ^{2}&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ |\operatorname {dP} |^{2}\\&=(\sin _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}\ \operatorname {d\theta } ^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}C&=\int _{0}^{\bar {\pi }}{\frac {\operatorname {ds} }{\operatorname {d\theta } }}\ \operatorname {d\theta } \\&=\int _{0}^{\bar {\pi }}\sin _{\mathrm {K} }\lambda \ \operatorname {d\theta } \\&={\bar {\pi }}\ \sin _{\mathrm {K} }\lambda \end{aligned}}$

Remarque : en réalité, $ds=|\sin _{\mathrm {K} }\lambda |\cdot \operatorname {d\theta }$ mais on supposera $\lambda$ positif et suffisamment petit pour que $\sin _{\mathrm {K} }\lambda \geq 0$.

 

Aire d'un disque sur $S$

Pour le disque de centre $M\in S$ et de rayon $\lambda$, son aire $A$ vaut :

$A={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\bar {\pi }}\ (1-\cos _{\mathrm {K} }\lambda )$

Ce qui peut aussi s'écrire :

$A={\frac {1}{2}}\ {\bar {\pi }}\ (\operatorname {cr} _{\mathrm {K} }\lambda )^{2}$

Première démonstration

${\begin{aligned}A&=\int _{0}^{\lambda }C(\rho )\operatorname {d\rho } \\&=\int _{0}^{\lambda }{\bar {\pi }}\sin _{\mathrm {K} }\rho \ \operatorname {d\rho } \\&={\bar {\pi }}\ \int _{0}^{\lambda }\sin _{\mathrm {K} }\rho \ \operatorname {d\rho } \\&={\bar {\pi }}\ \int _{0}^{\lambda }d{\bigg (}-{\frac {1}{\mathrm {K} }}\cos _{\mathrm {K} }\rho {\bigg )}\\&={\bar {\pi }}\ {\bigg (}-{\frac {1}{\mathrm {K} }}\cos _{\mathrm {K} }\lambda +{\frac {1}{\mathrm {K} }}\cos _{\mathrm {K} }0{\bigg )}\\A&={\frac {1}{\mathrm {K} }}\ {\bar {\pi }}\ (1-\cos _{\mathrm {K} }\lambda )\end{aligned}}$

 

Expression logarithmique d'$\mathrm {arsin} _{\mathrm {K} }$

Exceptionnellement sur cette page, notons $\mathrm {i} \in \mathbb {C}$ l'unité imaginaire usuelle.

Soit $R\in \mathbb {R} _{+}\cup \mathrm {i} \mathbb {R} _{+}\cup \{\infty \}$ tel que $\mathrm {K} ={\frac {1}{R^{2}}}$.

Alors :

$\mathrm {arsin} _{\mathrm {K} }\lambda ={\frac {R}{\mathrm {i} }}\ \ln {\bigg (}{\sqrt {1-\mathrm {K} \ \lambda ^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} }{R}}\ \lambda {\bigg )}={\frac {R}{\mathrm {i} }}\ \ln {\Bigg (}{\sqrt {1+{\bigg (}{\frac {\mathrm {i} }{R}}\ \lambda {\bigg )}^{2}}}+{\frac {\mathrm {i} }{R}}\ \lambda {\Bigg )}$