L'objectif est ici de retrouver quelques résultats des géométries sphérique, euclidienne et hyperbolique, et notamment les lois des cosinus et des sinus en conservant autant que faire se peut une écriture générale, à l'aide d'un unique paramètre représentant une courbure.
-Quaternions
modifier
![{\displaystyle \mathrm {Table\ de\ multiplication} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bf61afc1901e70f894633024a95776ea537a51)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Soit
. On considère l'espace vectoriel
muni de la forme quadratique
définie par :
![{\displaystyle Q_{\mathrm {K} }:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} \\(x,y,z)&\mapsto &\mathrm {K} \cdot x^{2}+\mathrm {K} \cdot y^{2}+z^{2}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4b0a123e390c15c8361d2deceb4444aecaa9cc)
L'algèbre de Clifford associée est engendrée par les éléments
,
et
vérifiant la table de multiplication ci-contre. Cette algèbre sera appelée algèbre des
-quaternions, et sera notée
.
Il existe une injection canonique de
dans
:
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {H} _{\mathrm {K} }\\(x,y,z)&\mapsto &x\cdot i+y\cdot j+z\cdot k\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5701c086be6efe23c896995f32908b076606d7a1)
Par la suite, on considèrera
comme un simple sous-espace vectoriel de
. Aussi, on s'autorisera à ne pas écrire l'indice
en l'absence d'ambiguïté.
Parties scalaire et vectorielle
modifier
Tout élément de
peut s'écrire sous la forme :
. Pour un tel
-quaternion, on définit ses parties scalaire (ou partie réelle) et vectorielle (ou partie imaginaire), respectivement notées
et
:
![{\displaystyle \operatorname {Re} (q)=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d56b0a6f9b4e6f49064e451b5b38b313a810565)
![{\displaystyle \operatorname {Im} (q)=x\cdot i+y\cdot j+z\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370683d1c38a37722d76d03abd8bb73aa86a668b)
Propriétés de
![{\displaystyle \operatorname {Re} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95843424d33425ded8dd8eb6bed645d75ebd885c)
et
![{\displaystyle \operatorname {Im} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76daac0a3d3f2f46e893b5cfe7a6d2f1529a52fb)
Le conjugué de
est noté
et est défini par :
. On a :
.
Ainsi, un scalaire est son propre conjugué, quand un vecteur est l'opposé du sien.
Si
et
sont deux vecteurs, alors
.
Démonstration
On peut définir une forme bilinéaire symétrique, que nous appellerons produit réel :
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} \\(u,v)&\mapsto &\operatorname {Re} (vu^{*})\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0d19f8ef22fb4d41351fdc9db08432cf8d0adc)
Le produit réel est analogue au produit scalaire, mais il n'en est un que si
(dans le cas général le produit réel n'est pas défini positif).
En particulier, pour tout vecteur
,
.
Nous pouvons de même définir un produit bilinéaire antisymétrique que nous appellerons produit imaginaire :
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} ^{3}\\(u,v)&\mapsto &\operatorname {Im} (vu^{*})\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34a476e753bbb3ea2ac6149ed851e1e5664267f)
Le produit imaginaire est analogue au produit vectoriel. Il est d'ailleurs identique au produit vectoriel classique dans le cas où
.
Pour tout
, notons
l'ensemble des vecteurs colinéaires à
, c'est-à-dire :
.
Propriété : Pour tout
non-nul, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement leur produit imaginaire est nul.
Démonstration
(
)
- Soient
et
deux vecteurs colinéaires, et soient
tels que
.
- Si
, alors
.
- De même si
.
- Si
et
sont non-nuls, alors, comme
,
.
- Nous pouvons donc écrire :
![{\displaystyle \operatorname {Im} (vu^{*})=-{\frac {\mu }{\lambda }}\operatorname {Im} (vv^{*})=-{\frac {\mu }{\lambda }}\cdot 0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9acb7f552a46eae81caecd4b3f8f1b117eb1863)
(
)
- Soient
et
deux vecteurs de produit imaginaire nul.
- Si
, alors
donc
et
sont colinéaires.
- De même si
.
- Sinon, alors
et
sont non-nuls, posons :
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&=x_{0}i+y_{0}j+z_{0}k\\v&=x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1546a83ab765d6dbd81c39cae6c03b4ecbfae4)
- Alors :
.
- On a :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Im} (vu^{*})=0\\\Longrightarrow \ &(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot i+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot j+\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot k=0\\\Longrightarrow \ &(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\ \land \ (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\ \land \ {\big (}\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})=0{\big )}\\\Longrightarrow \ &(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\ \land \ (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\ \land \ (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}=0)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f6cdabb02536f01de3daf8d2449cc58caffb286)
- Comme
, l'un au moins de ces trois cas est vrai :
.
- Posons
. Alors :
![{\displaystyle x_{1}=\lambda x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f42347e5931dee97e0bb767cf4d36e33d8b7e98)
![{\displaystyle (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(y_{1}-\lambda y_{0})\cdot x_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (y_{1}=\lambda y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c3bf8c1cd1d82b4a3414cd0a4fcf2eec3205ab0)
![{\displaystyle (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(\lambda z_{0}-z_{1})\cdot x_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (z_{1}=\lambda z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e31bdf4e62cc36ad0894993219b0c53d37ced27)
- Donc
.
.
- Posons
. Alors :
![{\displaystyle y_{1}=\lambda y_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71cc4296d6014c5739531219135c7361c54ce244)
![{\displaystyle (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(z_{1}-\lambda z_{0})\cdot y_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (z_{1}=\lambda z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e767e7f9916528dc7ceebc0bc0914ef73250ee45)
![{\displaystyle (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(\lambda x_{0}-x_{1})\cdot y_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (x_{1}=\lambda x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963109d1960b44c508eedc359947d2f4b65034ae)
- Donc
.
.
- Posons
. Alors :
![{\displaystyle z_{1}=\lambda z_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98326482e58c05cef2b8e83ac0ec2165c5cd1093)
![{\displaystyle (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(x_{1}-\lambda x_{0})\cdot z_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (x_{1}=\lambda x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938976fa8e80b67ce84e7be61a16e8ef46febf86)
![{\displaystyle (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1}=0)\Longrightarrow {\big (}(\lambda y_{0}-y_{1})\cdot z_{0}=0{\big )}\Longrightarrow (y_{1}=\lambda y_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c6280623b07305143b8bba9af5d7ad448fc10fb)
- Donc
.
Remarque : le résultat ne s'applique pas si
.
Un
-quaternion
est dit inversible si et seulement s'il existe un
-quaternion, noté
, tel que
.
L'inverse est unique s'il existe.
Tout élément
est inversible si et seulement si
, auquel cas
.
Démonstration
Montrons que si
, alors
n'est pas inversible.
Par l'absurde, supposons
tel que
.
Posons :
,
,
et
.
Comme
, on a
.
Comme
, on a
.
donc, en particulier,
. En développant :
Donc
, en particulier
(c'est-à-dire
) et
.
vaudrait donc nécessairement
, qui n'est pas inversible. Il est donc impossible d'inverser
.
Un
-quaternion
est dit unitaire si et seulement s'il vérifie :
, c'est-à-dire
.
Exponentielle sur ![{\displaystyle \mathbb {H} _{\mathrm {K} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0088d5de5b32cb5b322150f527b84f1e68a3b25e)
modifier
On définit la fonction exponentielle classiquement :
![{\displaystyle \forall \ q\in \mathbb {H} _{\mathrm {K} },\ e^{q}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f44e6a34ed25059808bc4ad9431b4874344b223)
Fonctions trigonométriques et identité d'Euler
modifier
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\lambda u}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\lambda u)^{n}}{n!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(\lambda u)^{2p}}{(2p)!}}+\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(\lambda u)^{2p+1}}{(2p+1)!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-uu^{*})^{p}}{(2p)!}}\cdot \lambda ^{2p}+\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-uu^{*})^{p}}{(2p+1)!}}\cdot \lambda ^{2p+1}\cdot u\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793f8576f050c89ef9c8e9cc25a19838e9e00585)
On définit ainsi les fonctions :
![{\displaystyle \cos _{uu^{*}}:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\lambda &\mapsto &\operatorname {Re} (e^{\lambda u})&=&{\frac {e^{\lambda u}+e^{-\lambda u}}{2}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab68e34dc527ee0c33981d4817cf74b3d19c6793)
![{\displaystyle \sin _{uu^{*}}:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\lambda &\mapsto &\operatorname {Im} (e^{\lambda u})\cdot {\frac {u^{*}}{uu^{*}}}&=&{\frac {e^{\lambda u}-e^{-\lambda u}}{2u}}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23f5e59779a1063b084eee5c42b08aebea8344a)
On obtient alors, par définition, l'identité d'Euler suivante :
![{\displaystyle e^{\lambda u}=\cos _{uu^{*}}\lambda +\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da21220b934367f2ef032e8e61abdf52423e03e)
Propriétés des fonctions trigonométriques
modifier
- Les définitions de
et
ne dépendent que de la valeur de
, ce qui justifie la notation.
est une fonction paire et
est une fonction impaire.
- Bien que ce ne soit pas nécessaire, il peut être plus commode – notamment pour retrouver les formules de trigonométrie (voir ci-dessous) – d'exprimer
et
à partir des fonctions classiques de trigonométrie.
- Ainsi, pour
, prenons
un point de la sphère de Riemann tel que
.
peut-être un réel (si
), un imaginaire pur (
), ou le point à l'infini (
).
- On obtient alors les expressions suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos _{\kappa }(x)&=\cos(x/r)\\\\\sin _{\kappa }(x)&=r\cdot \sin(x/r)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ded591a774c917eb5eb58d14c4ade12e2da3d8)
Formulaire de trigonométrie
Deux vecteurs
et
de
sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit réel est nul.
Orthogonalité du produit imaginaire
modifier
Pour tous vecteurs
et
,
est orthogonal à
et
.
Soient
,
et
trois vecteurs, et supposons
.
Alors :
est orthogonal à
et à
, si et seulement s'il est colinéaire au produit imaginaire de
et de
.
Remarque : le résultat ne s'applique pas si
.
Anticommutativité des vecteurs orthogonaux
modifier
![{\displaystyle uv=-vu\iff \operatorname {Re} (vu^{*})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fa70a2386d5bd13af8bf2bc4b67f4bac37744a)
Démonstration
Donc
.
Si
et
sont deux vecteurs, alors
.
Démonstration
En utilisant les propriétés de symétrie et d'antisymétrie sus-mentionnées :
Produit d'un vecteur par un
-quaternion unitaire
modifier
Propriété : deux vecteurs
et
sont colinéaires si et seulement si, pour tout
,
.
Démonstration
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\lambda u}\cdot v&=(\cos _{uu^{*}}\lambda +\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot u)\cdot v\\&=\cos _{uu^{*}}\lambda \cdot v+\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot uv\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7c78e1e59fea985143775953c626b0c642e99e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}v\cdot e^{\lambda u}&=v\cdot (\cos _{uu^{*}}\lambda +\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot u)\\&=\cos _{uu^{*}}\lambda \cdot v+\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot vu\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35241384efec38fb80f82500a139f1620453d30)
Donc
.
Or
donc :
,
ce qui termine la preuve.
Propriété : deux vecteurs
et
sont orthogonaux si et seulement si, pour tout
,
.
Démonstration
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{\lambda u}\cdot v&=(\cos _{uu^{*}}\lambda +\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot u)\cdot v\\&=\cos _{uu^{*}}\lambda \cdot v+\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot uv\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7c78e1e59fea985143775953c626b0c642e99e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}v\cdot e^{-\lambda u}&=v\cdot (\cos _{uu^{*}}\lambda -\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot u)\\&=\cos _{uu^{*}}\lambda \cdot v-\sin _{uu^{*}}\lambda \cdot vu\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dce7fb55d0a5f15d8e8e31ec640a9c15bfb0ac)
Donc
.
Or
donc :
,
ce qui termine la preuve.
Soit
un vecteur inversible.
Pour tout vecteur
, on a :
![{\displaystyle vu^{*}=\operatorname {Re} (vu^{*})+\operatorname {Im} (vu^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6e958f737e631f41cd91b0258a7f710759b4fb)
Comme
est inversible, on peut écrire :
![{\displaystyle v=\operatorname {Re} (vu^{*})\cdot (u^{*})^{-1}+\operatorname {Im} (vu^{*})\cdot (u^{*})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248d3db3340303c2970521e52c71e4532f3d867c)
En posant
et
, on a :
est colinéaire à
;
est orthogonal à
;
- donc
est orthogonal à
.
Un
-quaternion
est dit polarisable s'il existe
, tel que
.
Premier théorème de polarisation
modifier
![{\displaystyle {\Big (}\exists \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ \ q=e^{\lambda \operatorname {Im} (q)}{\Big )}\iff {\Big (}{\big (}qq^{*}=1{\big )}\ \land \ {\big (}\operatorname {Re} (q)>-1{\big )}{\Big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905f92dbfd683d7c62f9bab5885738ee1b3a341d)
Démonstration
Posons
et
.
Posons également
.
Par unitarité de
, on a :
, c'est-à-dire
, ou
Preuve par disjonction de cas.
- Si
(
) :
- Comme écrit précédemment,
, donc
. En particulier,
.
- Soit
c'est-à-dire tel que
.
- D'après ce qui précède,
, donc il existe
tel que :
![{\displaystyle \cos \theta =t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2bf9ff8710ab29e9e0550713ce1a1632ad4d507)
![{\displaystyle \sin \theta ={\frac {1}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3460708d491cfae7ae36e238d74d8d26491f8c84)
- Posons
, nous pouvons alors réécrire les égalités précédentes :
![{\displaystyle \cos _{\kappa }\lambda =t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a37dba763822f9435a75c5bc74012c87e94dd6a)
![{\displaystyle \sin _{\kappa }\lambda =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36aca90a22090b059632e396506c4c9e7382d93c)
- Mais encore :
![{\displaystyle q=t+v=\cos _{vv^{*}}\lambda +\sin _{vv^{*}}\lambda \cdot v=e^{\lambda v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d124c1e377586343ec8675ee94c7d95cb609d3)
- Si
:
- Alors
. Or, pour tout
,
.
- Il n'y a donc pas de solution possible si
. En revanche, si
(et donc,
), alors :
![{\displaystyle q=1+v=\cos _{0}1+\sin _{0}1\cdot v=\cos _{vv^{*}}1+\sin _{vv^{*}}1\cdot v=e^{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c8da0d04bd8c2a20a8e7a9b503a1ff0d4ccb90)
- Si
:
- Comme écrit précédemment,
, donc
. Or
donc
.
- Il n'y a donc pas de solution possible si
.
- En revanche, si
(et donc,
), posons
c'est-à-dire tel que
.
- D'après ce qui précède,
et comme
, il existe
tel que :
![{\displaystyle \cosh x=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/456aa61f25d6441ea67f13940c309ceed5a4eaff)
![{\displaystyle \sinh x={\frac {1}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1be50c5024b6807f2081fe9c06dffe95fcafac7d)
- Posons
, nous pouvons alors réécrire les égalités précédentes :
![{\displaystyle \cos _{\kappa }\lambda =t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a37dba763822f9435a75c5bc74012c87e94dd6a)
![{\displaystyle \sin _{\kappa }\lambda =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36aca90a22090b059632e396506c4c9e7382d93c)
- Mais encore :
![{\displaystyle q=t+v=\cos _{vv^{*}}\lambda +\sin _{vv^{*}}\lambda \cdot v=e^{\lambda v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d124c1e377586343ec8675ee94c7d95cb609d3)
Nous venons donc de prouver :
.
La réciproque est facile, et procède de même par disjonction de cas pour montrer que :
.
Si deux vecteurs
sont tels que
et tels que
est de partie réelle strictement supérieure à
, alors il existe
tel que :
![{\displaystyle vu^{*}={\sqrt {(uu^{*})(vv^{*})}}\cdot e^{\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93f5d2993a738f3f0fc8d9fe112f0193d37e223)
On obtient aussi les expressions suivantes :
![{\displaystyle \operatorname {Re} (vu^{*})={\sqrt {(uu^{*})(vv^{*})}}\cdot \cos _{\omega \omega ^{*}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fdd7b997a812ba215bf3e8ac34d1d6ecd52f60)
![{\displaystyle \operatorname {Im} (vu^{*})={\sqrt {(uu^{*})(vv^{*})}}\cdot \sin _{\omega \omega ^{*}}1\cdot \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179ed0139ce453e477eccf4f1fdbe909396b07e8)
Second théorème de polarisation
modifier
Soient
deux vecteurs unitaires, et posons :
et
.
On a alors :
.
Démonstration
Premier cas :
Alors
et
convient, donc le théorème est vérifié.
Deuxième cas :
(
)
, montrons qu'il existe
, non-nul et orthogonal à
(et donc, à
).
- Si
est colinéaire à
, alors
convient.
- Sinon, alors
convient. En effet,
, donc
est orthogonal à
.
- Par ailleurs, comme
et, comme
et
ne sont pas colinéaires,
.
- Montrons que : si
alors, pour tous
,
.
![{\displaystyle (vu^{*}=0)\Longrightarrow {\big (}\operatorname {Im} (vu^{*})=0{\big )}\iff {\big (}v\in \mathrm {Col} (u){\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cb2f1abc59a2275073896648afdcf9a44ad700)
- Si
, la proposition est donc vérifiée. Sinon, alors il existe
tel que
.
- Si
, alors
et la proposition est vérifiée. Sinon,
.
- Or
donc
.
- Donc il existe
non-nul et orthogonal à
(et donc, à
).
- Posons alors
(car
), puis
.
- Posons enfin
. Il est facile de vérifier l'égalité :
.
- En choisissant
, nous avons donc trouvé un vecteur orthogonal à
et à
, tel que
.
(
)
- Notons :
![{\displaystyle M_{0}=x_{0}\cdot i+y_{0}\cdot j+z_{0}\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d76c7a21401aaad58da159103498a91cba7ba8a)
![{\displaystyle m=x_{2}\cdot i+y_{2}\cdot j+z_{2}\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f956ce22e0fcf7022a8391f573d0f3a7a382ba)
- Posons
et remarquons que,
.
- Nous avons les égalités suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}+z_{0}^{2}&=1\\&\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{2}+z_{0}z_{2}&=0\\&\mathrm {K} \cdot x_{2}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&=\kappa \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bbaaa9a43a5fefa6a51e0ec12d60dbce8d7822)
- D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
, d'où :
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{0}^{2}z_{2}^{2}&={\big (}-\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{2}{\big )}^{2}\\&=\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}x_{2}+y_{0}y_{2})^{2}\\&\leq \mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}^{2}+y_{0}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})\\&\leq (\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2})(\mathrm {K} \cdot x_{2}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{2}^{2})\\z_{2}^{2}-(1-z_{0}^{2})\cdot z_{2}^{2}&\leq (1-z_{0}^{2})(\kappa -z_{2}^{2})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8f0e0029ee8cc7272ad388250d6806977b10c2)
- D'où il vient que :
![{\displaystyle {\begin{aligned}z_{2}^{2}&\leq \kappa \cdot (1-z_{0}^{2})\\z_{2}^{2}&\leq \kappa \cdot (x_{0}^{2}+y_{0}^{2})\cdot \mathrm {K} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03c10bb317c7eb0c8c673d43f6ae96ebfde70ae)
- Donc
.
- Or,
implique :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&z_{0}^{2}&=&\ 1\\&z_{0}z_{2}&=&\ 0\\&z_{2}^{2}&=&\ \kappa \neq 0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/730d81241d04f08827042ec58776e3182687b925)
- Ce qui est impossible. Donc
.
Troisième cas :
et
ne sont pas colinéaires
Nous allons devoir distinguer deux sous-cas, selon que
est nul ou non.
Nous noterons :
![{\displaystyle M_{0}=x_{0}\cdot i+y_{0}\cdot j+z_{0}\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d76c7a21401aaad58da159103498a91cba7ba8a)
![{\displaystyle M_{1}=x_{1}\cdot i+y_{1}\cdot j+z_{1}\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592ee5b77cdf5be2bb0d0f0c973ed5c6011ac570)
![{\displaystyle m_{\ }=x_{\ }\cdot i+y_{\ }\cdot j+z_{\ }\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4563533a552ea532d6ae1867e3ccd83448ed85c6)
Premier sous-cas :
- On a alors :
et
.
- (
)
- Par orthogonalité de
:
![{\displaystyle \operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=z_{0}z=0=\operatorname {Re} (M_{1}m^{*})=z_{1}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88648758b81cf907883b4bc2ea69965b49eec3)
- Comme
et
sont non-nuls, on en déduit que
.
- D'où il vient :
.
- (
)
donc
. Comme
, on en déduit
.
- Alors
convient. En effet, nous avons déjà montré que
est orthogonal à
et à
, donc :
![{\displaystyle \operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=z_{0}z=0=\operatorname {Re} (M_{1}m^{*})=z_{1}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd88648758b81cf907883b4bc2ea69965b49eec3)
- Comme
et
sont non-nuls, on en déduit que
. D'où :
.
Second sous-cas :
Nous avons alors l'équivalence :
, et comme nous supposons aussi que
et
ne sont pas colinéaires, nous savons que
. D'où :
.
Par application du premier théorème de polarisation, nous déduisons :
.
Il nous suffit donc de montrer l'équivalence :
![{\displaystyle \operatorname {Re} {\big (}M_{1}M_{0}^{*}{\big )}>-1\iff (\mathrm {K} >0)\ \lor \ (z_{0}z_{1}\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7abf21e654cd51be809db148ef2e379005906d85)
Montrons que :
(
)
- Nous allons prouver sa contraposée :
![{\displaystyle (\neg (K>0))\land \ (\neg (z_{0}z_{1}\geq 0))\Longrightarrow \neg {\big (}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})>-1{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabbc13c73744e76c43a2c048a90704f30fa3b31)
- Que nous pouvons réécrire :
![{\displaystyle \quad (K<0)\ \land \ (z_{0}z_{1}<0)\Longrightarrow \neg {\big (}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})>-1{\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaa7f9107ff249bdf9da1c8ae05061651cbbea6)
- Nous supposerons donc
et
dans cette partie.
donc :
.
- Par l'absurde :
![{\displaystyle (z_{0}z_{1}<0)\ \land \ (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353996b4f162f6bc13cd5f7aa3f5bcb52ba9ac2b)
![{\displaystyle \iff \mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67482fb2702d0df0033ec6a7a70736b88e876064)
![{\displaystyle \Longrightarrow (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1)^{2}>(-z_{0}z_{1})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79de68fbe5134208070738a6fc8885b0836de4ab)
![{\displaystyle \iff (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1)^{2}>(1-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2})(1-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a8ad733768ca6d7518d9469203f50f174460264)
![{\displaystyle >1-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}x_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6522685381b91f646d34d2f08ccff268724ecc3b)
![{\displaystyle \iff 2\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+2\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+2\mathrm {K} ^{2}x_{0}x_{1}y_{0}y_{1}>-\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}-\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}y_{1}^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}x_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a839bc384b094ea4e65f43fe57aa84a650ae21f2)
![{\displaystyle \iff (\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+2\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2})+(\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2}+2\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2})>\mathrm {K} ^{2}\cdot x_{0}^{2}y_{1}^{2}-2\mathrm {K} ^{2}x_{0}x_{1}y_{0}y_{1}+\mathrm {K} ^{2}\cdot y_{0}^{2}x_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a45ba8dd6a9ddfd47bccdfaef723902de68b8c3)
![{\displaystyle \iff \mathrm {K} \cdot (x_{0}+x_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (y_{0}+y_{1})^{2}>\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7902ee8300fed4bf4cb125db9673800c1cc285ad)
car
, et
et
sont non-colinéaires.
- Impossible.
(
)
- Si
:
- Le produit réel est alors un produit euclidien.
- Comme par ailleurs
et
ne sont pas colinéaires, l'inégalité de Cauchy-Schwarz nous assure que :
.
- Donc l'inégalité
est bien vérifiée.
- Si
et
:
donc
.
- Ainsi,
et, de même,
.
- Par ailleurs,
donc :
.
- Premier sous-cas
:
- Alors, trivialement,
et l'inégalité voulue est respectée.
- Second sous-cas
:
![{\displaystyle 0\geq \mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1>-z_{0}z_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386e8782847ecad526d14ded00f8da65d01fa49b)
![{\displaystyle \iff (\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+1)^{2}<(-z_{0}z_{1})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fcd0370f23e0b2fc9a219099112fd0d1b83203)
en reprenant les calculs précédents.
- Or
car
et
ne sont pas colinéaires, donc l'inégalité est respectée.
Définition : un tel vecteur
, lorsqu'il existe, sera appelé vecteur caractéristique de
et
.
Le groupe spécial orthogonal de
est composé des transformations de la forme :
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} ^{3}\\u&\mapsto &quq^{-1}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6bba524656c6730dfdd7d977630a0c632dd61f)
où q est un
-quaternion unitaire.
En particulier, si on se restreint aux quaternions polarisables, c'est l'ensemble des transformations :
![{\displaystyle R_{w}:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} ^{3}&\to &\mathbb {R} ^{3}\\u&\mapsto &e^{w/2}\cdot u\cdot e^{-w/2}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a52e48358ac02502faa20509250c7d0c2ab31d)
où
est un vecteur quelconque de
.
Remarque : Pour tout
, pour tout
,
est stable par
.
Pour tout
, et pour tous réels
et
,
.
Cas où
est inversible
modifier
Si
est inversible, alors on peut décomposer tout vecteur
comme somme d'un vecteur
colinéaire à
et d'un vecteur
orthogonal à
.
On peut alors obtenir une expression simple de
:
![{\displaystyle R_{\lambda w}(u)=u_{\parallel }+e^{\lambda w}\cdot u_{\perp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a9fd973ae75dc6a439f858b9de9554732c85a8)
Démonstration
![{\displaystyle R_{\lambda w}(u)=\cos _{ww^{*}}\lambda \cdot u+\sin _{ww^{*}}\lambda \cdot \operatorname {Im} (uw^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad17ede400ca976ca4814807e36a0296bf35f3be)
Démonstration
Remarque : comme vu précédemment,
est un vecteur orthogonal à
et
.
Il existe d'importantes analogies entre le groupe spécial orthogonal et les rotations dans l'espace au sens classique, aussi
sera abusivement dénommée rotation autour de l'axe dirigé par
, et d'angle
, ou plus simplement rotation de vecteur
et d'angle
, voire rotation de vecteur
(il est alors sous-entendu que l'angle vaut
).
Une même rotation peut ainsi être caractérisée par une infinité de couples (vecteur, angle) distincts : seul le produit du vecteur et de l'angle est constant. Cette ambiguïté était déjà présente chez les quaternions classiques : la rotation de vecteur normalisé
et d'angle
est également la rotation de vecteur normalisé
et d'angle
.
Dans le cas plus général des
-quaternions il est nécessaire d'étendre cette ambiguïté, car il n'est pas toujours possible de normaliser le vecteur directeur.
Pour s'en convaincre, prenons
, non-nul mais tel que
. De tels vecteurs existent lorsque
.
Dans une telle situation,
.
Or
dans le cas général, donc
lorsque
.
Comme
quel que soit
, on ne peut pas « normaliser »
, et il n'est donc pas possible de définir naturellement une amplitude de
qu'on appellerait « angle » indépendamment du choix de
.
On s'intéresse à la surface
, appelée sphère unité, ensemble des points
tels que
.
Plus rigoureusement, cette définition n'est correcte que si
; dans le cas contraire il y a ambiguïté car l'ensemble des points
tels que
est constitué de deux surfaces : l'une dans le demi-espace
et l'autre dans le demi-espace
. Par convention, si
on appellera sphère unité la surface
, ensemble des points
du demi-espace
, tels que
.
Corollaire du second théorème de polarisation
modifier
Tout couple de
possède un vecteur caractéristique.
Pour tous
, si on note
leur vecteur caractéristique, et
, alors
est de même signe que
.
Démonstration
Nous noterons :
![{\displaystyle M_{0}=x_{0}\cdot i+y_{0}\cdot j+z_{0}\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d76c7a21401aaad58da159103498a91cba7ba8a)
![{\displaystyle M_{1}=x_{1}\cdot i+y_{1}\cdot j+z_{1}\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592ee5b77cdf5be2bb0d0f0c973ed5c6011ac570)
![{\displaystyle m_{\ }=x_{\ }\cdot i+y_{\ }\cdot j+z_{\ }\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4563533a552ea532d6ae1867e3ccd83448ed85c6)
- Si
:
- Alors
.
- L'inégalité est même stricte, sauf si
.
- Si
:
- Alors
donc
.
- Or, par orthogonalité,
, d'où
.
- Nous en déduisons :
.
- Si
:
- Alors
donc
. De même,
.
- Or, par orthogonalité,
![{\displaystyle \operatorname {Re} (M_{0}m^{*})=\mathrm {K} \cdot x_{0}x+\mathrm {K} \cdot y_{0}y+z_{0}z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fc44076ef19952d1877400844cc2cd854ba6e2)
- D'où :
et, de même,
.
- Ainsi,
ce qu'on peut écrire :
![{\displaystyle (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot x=(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c6f40961d7dda485d8ed67e476bf8c3bfc5404)
- Puis :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot z&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot (x_{0}x+y_{0}y)\\&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot {\big (}(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot x_{0}+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot y_{0}{\big )}\cdot x\\&=-{\frac {1}{z_{0}}}\cdot \mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{0}z_{1}-x_{0}z_{0}y_{1}+z_{0}x_{1}y_{0}-x_{0}z_{1}y_{0})\cdot x\\(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot z&=\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465e8fc9fe3f640c52e05b008a9158d2942018a1)
- Ainsi :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &=\mathrm {K} \cdot x^{2}+\mathrm {K} \cdot y^{2}+z^{2}\\(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}\cdot \kappa &={\big [}\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}{\big ]}\cdot x^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a4858f18ae03f766554c4aed52923c3094c1d33)
est donc de même signe que
.
- Or :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})&=\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}\\\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})&=(y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})\cdot i+(z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})\cdot j+\mathrm {K} \cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})\cdot k\\(M_{1}M_{0}^{*})(M_{1}M_{0}^{*})^{*}&=\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})^{2}+\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})\operatorname {Im} (M_{1}M_{0}^{*})^{*}\\&=(\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1})^{2}+{\big (}\mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}{\big )}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283efe0790b24f26dc6354ef45f26ab890ca42c1)
- Donc
est donc de même signe que :
![{\displaystyle \mathrm {K} \cdot (y_{0}z_{1}-z_{0}y_{1})^{2}+\mathrm {K} \cdot (z_{0}x_{1}-x_{0}z_{1})^{2}+\mathrm {K} ^{2}\cdot (x_{0}y_{1}-y_{0}x_{1})^{2}=1-(\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd2e3646ae177c35fd5d891fd7c2b17cd8bf688)
- Nous voulons prouver que
est de même signe que
, c'est-à-dire négatif.
- Cela revient donc à montrer que :
![{\displaystyle |\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})|=|\mathrm {K} \cdot x_{0}x_{1}+\mathrm {K} \cdot y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}|\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968345221336b87e1561c9532fc3e241da3a87f9)
- Or, par application du premier théorème de polarisation, nous savons que
, donc nous devons montrer que
.
- Par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
![{\displaystyle {\begin{aligned}|x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1}|&\leq {\sqrt {(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})}}\\|\mathrm {K} \cdot (x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1})|&\leq {\sqrt {(\mathrm {K} \cdot x_{0}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{0}^{2})(\mathrm {K} \cdot x_{1}^{2}+\mathrm {K} \cdot y_{1}^{2})}}\\|(\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})-z_{0}z_{1})|&\leq {\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd4c4c868e1f270879fd0c5e0ca7ae32b86e34f)
- En particulier :
![{\displaystyle {\begin{aligned}-{\big (}\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})-z_{0}z_{1}{\big )}&\leq {\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\\\operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})&\geq z_{0}z_{1}-{\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f39075a6835a511750fe7b5b4642f1d101c8b699)
- Or :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(z_{0}-z_{1})^{2}&\geq 0\\z_{0}^{2}-2\cdot z_{0}z_{1}+z_{1}^{2}&\geq 0\\z_{0}^{2}-2\cdot z_{0}z_{1}+z_{1}^{2}+1+z_{0}^{2}z_{1}^{2}&\geq 1+z_{0}^{2}z_{1}^{2}\\z_{0}^{2}z_{1}^{2}-2\cdot z_{0}z_{1}+1&\geq z_{0}^{2}z_{1}^{2}-z_{0}^{2}-z_{1}^{2}+1\\{\big (}z_{0}z_{1}-1{\big )}^{2}&\geq {\big (}z_{0}^{2}-1{\big )}{\big (}z_{1}^{2}-1{\big )}\\|z_{0}z_{1}-1|&\geq {\sqrt {{\big (}z_{0}^{2}-1{\big )}{\big (}z_{1}^{2}-1{\big )}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5268f339dec54b2f0ab4683a460c2803277a4df2)
- Par ailleurs,
,
et, par application du second théorème de polarisation,
, donc
, c'est-à-dire
. D'où :
![{\displaystyle z_{0}z_{1}-1\geq {\sqrt {{\big (}z_{0}^{2}-1{\big )}{\big (}z_{1}^{2}-1{\big )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bab2cd211e60aad8bb729097f4614af42e85adf)
- Et enfin :
![{\displaystyle \operatorname {Re} (M_{1}M_{0}^{*})\geq z_{0}z_{1}-{\sqrt {(z_{0}^{2}-1)(z_{1}^{2}-1)}}\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5a773660c692b131529d1ba7f7d921e905769f)
Ce qui termine la preuve.
Conjecture sur les géodésiques de S
modifier
Soient
, et
orthogonal à
et
, tel que
.
On peut alors définir le chemin :
![{\displaystyle \gamma :\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &S\\\lambda &\mapsto &e^{\lambda m}\cdot M_{0}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ee43f9f3d3e8b9a80e8d7ffbc2bd4b62a3d36e)
Démonstration
Justifions que, pour tout
,
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} {\big (}\gamma (\lambda ){\big )}&=\operatorname {Re} (e^{\lambda m}\cdot M_{0})\\&=\operatorname {Re} {\big (}(\cos _{mm^{*}}1+\sin _{mm^{*}}1\cdot m)\cdot M_{0}{\big )}\\&=\cos _{mm^{*}}1\cdot \operatorname {Re} (M_{0})+\sin _{mm^{*}}1\cdot \operatorname {Re} (mM_{0})\\&=0+0\mathrm {\qquad (car\ m\ \perp \ M_{0})} \\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56da570b511bfc319b319e90aa3529cf5e5ccdf4)
Donc
est bien à valeur dans
.
Par ailleurs :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda )\gamma (\lambda )^{*}&={\big (}e^{\lambda m}\cdot M_{0}{\big )}{\big (}e^{\lambda m}\cdot M_{0}{\big )}^{*}\\&=e^{\lambda m}\cdot M_{0}M_{0}^{*}\cdot e^{-\lambda m}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5478cfe2d5248db6aa1dc15199172e715259cd69)
Donc
prend bien ses valeurs parmi les vecteurs unitaires.
Enfin,
est une fonction continue or, si
, il n'existe aucun vecteur unitaire appartenant au plan
, donc
est à valeur dans
.
En notant
et en supposant
, on obtient :
![{\displaystyle \gamma (\lambda )={\frac {1}{\sin _{\kappa }1}}\cdot {\big [}\sin _{\kappa }(1-\lambda )\cdot M_{0}+\sin _{\kappa }\lambda \cdot M_{1}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6be5ba199393aa4990c8966a94304563c5e76b3)
Démonstration
est une géodésique.
Longueur d'une géodésique de ![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
modifier
Dans cette section, on s'intéresse à la longueur de la géodésique reliant
à
.
En conservant les notations précédentes, et hors cas particulier dans lequel
et
sont colinéaires, le triplet
est une base de
.
Notons
,
, et
; et
,
, et
les formes linéaires qui à un vecteur associe respectivement sa coordonnée en
,
et
.
En utilisant la convention de sommation d'Einstein, tout point
s'écrit donc de la forme :
![{\displaystyle M=x^{i}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb845f803eccbef8e56f2e7c6de7c41515427e7c)
Notons enfin
et
le carré de la longueur d'un arc de géodésique infinitésimal. On calcule alors :
![{\displaystyle ds^{2}=\eta _{ij}\operatorname {d} x^{i}\operatorname {d} x^{j}=\kappa \operatorname {d} \lambda ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fff375ed71512154bd62fd1f39f7c34bee58725)
Soient
, et soient
tels que :
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{a}&=BC^{*}\\e^{b}&=CA^{*}\\e^{c}&=AB^{*}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e810ceb87aa55aa9e22e1a711b68e497e202fc02)
Alors :
![{\displaystyle \cos _{aa^{*}}1=\cos _{bb^{*}}1\cdot \cos _{cc^{*}}1+\sin _{bb^{*}}1\cdot \sin _{cc^{*}}1\cdot \operatorname {Re} (bc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac155f5abd7f8e18ccd29f3e2b05c64391945715)
Démonstration
Par définition,
, donc
.
En utilisant l'identité d'Euler :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos _{aa^{*}}1+\sin _{aa^{*}}1\cdot a&=(\cos _{bb^{*}}1-\sin _{bb^{*}}1\cdot b)(\cos _{cc^{*}}1-\sin _{cc^{*}}1\cdot c)\\&=\cos _{bb^{*}}1\cdot \cos _{cc^{*}}1+\sin _{bb^{*}}1\cdot \sin _{cc^{*}}1\cdot bc-(\cos _{bb^{*}}1\cdot \sin _{cc^{*}}1\cdot c+\sin _{bb^{*}}1\cdot \cos _{cc^{*}}1\cdot b)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5948ac3d29503a85717180dffa4bb81cdad4646)
En ne conservant que la partie réelle :
![{\displaystyle \cos _{aa^{*}}1=\cos _{bb^{*}}1\cdot \cos _{cc^{*}}1+\sin _{bb^{*}}1\cdot \sin _{cc^{*}}1\cdot \operatorname {Re} (bc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac155f5abd7f8e18ccd29f3e2b05c64391945715)
Pour tous
:
![{\displaystyle \operatorname {Re} {\Big (}(C-A)(B-A)^{*}{\Big )}=(1-\cos _{bb^{*}}1)(1-\cos _{cc^{*}}1)-\sin _{bb^{*}}1\cdot \sin _{cc^{*}}1\cdot \operatorname {Re} (bc)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f2721e150d8e2bcc62e701c469afcac0a3c93b1)
Démonstration
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} {\Big (}(C-A)(B-A)^{*}{\Big )}&=(1+\cos _{aa^{*}}1)-(\cos _{bb^{*}}1+\cos _{cc^{*}}1)\\&=(1-\cos _{bb^{*}}1)(1-\cos _{cc^{*}}1)-\cos _{bb^{*}}1\cdot \cos _{cc^{*}}1+\cos _{aa^{*}}1\\&=(1-\cos _{bb^{*}}1)(1-\cos _{cc^{*}}1)-\sin _{bb^{*}}1\cdot \sin _{cc^{*}}1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee9ed6c5c030e1f275a01546206ad5a5588e1c2)
En conservant les notations précédentes :
![{\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\operatorname {Im} (bc)}{\sin _{aa^{*}}1}}{\Bigg )}^{2}={\Bigg (}{\frac {\operatorname {Im} (ca)}{\sin _{bb^{*}}1}}{\Bigg )}^{2}={\Bigg (}{\frac {\operatorname {Im} (ab)}{\sin _{cc^{*}}1}}{\Bigg )}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebe02ea66c31f9ca163ea846f1ea1d14faabd98)
Espaces tangents ![{\displaystyle T_{M}S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364827ca4f6bb0ef2b9c501c6865276e582dd8f5)
modifier
Pour tout
, on note
l'espace tangent à
en
.
Pour tout
,
et
et
sont deux vecteurs formant une base orthogonale de
.
De même, pour tout
,
est une base orthogonale de
.
Transport parallèle sur ![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
modifier
Soient
, soit
, tel que
.
Soit
.
Alors, pour tout
,
est une base orthogonale de
et
est une base orthogonale de
.
En particulier,
donc tous les vecteurs de tous les
ont la même orientation.
On peut ainsi transporter parallèlement un vecteur
le long de la courbe
:
![{\displaystyle \exists \ \mu \in \mathbb {R} ,\ \exists \ \rho \in \mathbb {R} _{+},\ \forall \ \lambda \in \mathbb {R} ,\ u(\lambda )=\rho \cdot e^{\mu M(\lambda )}\cdot M'(\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412e28df9859a6646ddb0314443d8eb53740c7e5)
Triangle sur ![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
modifier
Soient
, et soient
tels que :
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{a}&=BC^{*}\\e^{b}&=CA^{*}\\e^{c}&=AB^{*}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e810ceb87aa55aa9e22e1a711b68e497e202fc02)
On définit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{a}&:\lambda \mapsto e^{\lambda a}\cdot C\\\Gamma _{b}&:\lambda \mapsto e^{\lambda b}\cdot A\\\Gamma _{c}&:\lambda \mapsto e^{\lambda c}\cdot B\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ebab4e09d2db4f69b7d1c1330000a265788bcd)
On supposera que
,
et
sont des géodésiques.
On s'intéresse au lacet
le long de ces géodésiques, et à l'holonomie induite.
Prenons
,
et définissons
.
Alors
et on cherche
et
tels que
.
On cherche donc
et
tels que
, ce qui n'est possible que si
, or cela n'est pas garanti.
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{cl}T_{w}S&\to &T_{w'}S\\p&\mapsto &(w'w^{*})\cdot p\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9993463796e7c94e116b9f78741b2256ef97ea4)
Heuristique sur la loi des cosinus
modifier
Comme nous l'avons vu plus haut,
,
et
donnent le carré des longueurs des arcs de géodésique reliant respectivement
à
,
à
, et
à
. Nous noterons ces arcs de géodésique respectivement
,
et
.
Par ailleurs,
caractérise le cosinus de l'angle que forment les géodésiques
et
.
En effet,
et
sont orthogonaux à
donc appartiennent à
. De même pour
et
. Alors, en supposant que l'arc de géodésique est décrit par la fonction
définie ci-dessus, l'angle entre les arcs de géodésique est l'angle entre ces deux vecteurs, donc son cosinus vaut
.
Paramétrisation de ![{\displaystyle S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
modifier
On peut paramétrer notre sphère unité :
![{\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3},\ vv^{*}=1\iff \exists \ s\in \mathbb {R} ,\ \theta \in \mathbb {R} /(2\pi \mathbb {Z} ),\ v=\cos \theta \cdot \sin _{\mathrm {K} }s\cdot i+\sin \theta \cdot \sin _{\mathrm {K} }s\cdot j+\cos _{\mathrm {K} }s\cdot k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b8fbcd2b7f1cbe6b3d3df59fb9df615edb645d)
Le couple
est unique à une involution près :
, sauf pour le point
.
Supposons deux vecteurs orthogonaux
et
, et posons :
![{\displaystyle u:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{3}\\\lambda &\mapsto &R_{\lambda w}(u_{0})=e^{\lambda w}\cdot u_{0}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d0a2b3a481e15b435d79415a84a6c04c3cfb8)
![{\displaystyle v:\left\{{\begin{array}{cl}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} ^{3}\\\lambda &\mapsto &\operatorname {Im} {\big (}w\cdot R_{\lambda w}(u_{0}){\big )}=w\cdot e^{\lambda w}\cdot u_{0}\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46fc86605fddf39201e66234b9c27e7843683df)
Alors
et
vérifient :
![{\displaystyle uu^{*}=u_{0}u_{0}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f4c2b55cebe24c5064bfffd783f54289d9e501)
![{\displaystyle vv^{*}=v_{0}v_{0}^{*}=(ww^{*})(u_{0}u_{0}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a1adcd3c465bba56b1e852d77bc3e2a4003c16)
![{\displaystyle uv=u_{0}v_{0}=(u_{0}u_{0}^{*})\cdot w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd528d89d15ffbf923bd9ca7de17615e1dd4660)
avec
. En particulier,
, il y a donc orthogonalité des images.
Par ailleurs :
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} \lambda }}=v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce1d3f84cafa2775d3d936b449b0a89a98f3391)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} \lambda }}=-(ww^{*})\cdot u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075eda0e0c9795ae465360ac46f709c458e12b75)
Donc, toute fonction
combinaison linéaire de
et
vérifie l'équation différentielle suivante :
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d^{2}} p}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}+(ww^{*})\cdot p=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383d72900cc26abd15e04d12e55d0eb509e06066)