L'identité de Legendre ou relation de Legendre peut être exprimée sous deux formes :
- comme une relation entre des intégrales elliptiques complètes :
;
- comme une relation entre les périodes et quasi-périodes de fonctions elliptiques.
Les deux formes sont équivalentes dans la mesure où les périodes et quasi-périodes peuvent être exprimées en termes d'intégrales elliptiques complètes. Cette identité a été introduite (pour les intégrales elliptiques complètes) par le mathématicien français Adrien-Marie Legendre en 1811[1] et 1825[2].
Le mathématicien Adrien-Marie Legendre a noté cette relation dans son ouvrage Exercices de calcul intégral sur divers ordres de "transcendantes et sur les quadratures de 1811. Dans cet ouvrage, il établit la forme normale dite de Legendre. Il y introduit également la répartition des intégrales elliptiques en trois catégories[3], à savoir la première, la deuxième et la troisième espèce. A cette époque, Legendre était membre de l'Académie des sciences de Paris[4]. Dans un autre ouvrage, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes de 1825, il dérive son identité de manière encore plus détaillée. Dans cet ouvrage, il a principalement analysé les théorèmes d'addition[5] des fonctions elliptiques.
La première forme d'identité de Legendre exprime le fait que le Wronskien des intégrales elliptiques complètes (considérées comme solutions d'une équation différentielle) est une constante.
Identité de Legendre dans le cas lemniscatique
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Dans le cas lemniscatique, on a
. Les intégrales elliptiques de première espèce traitent les "angles"[traduction souhaitée 1] des lemniscates de Bernoulli et les intégrales elliptiques de deuxième espèce traitent les "angles" d'une ellipse avec
comme rapport des demi-axes associé. L'identité de Legendre pour le cas lemniscatique peut être prouvée comme suit.
On a :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}F\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d2b976adfb2d7ee8828eb09d14fa5852d53dcc)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}E\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]=-{\frac {x\left(1+x^{2}y^{2}\right)}{{\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8973234078ef193f3ce4e3dc7614b7b24e42984)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-x^{4}y^{4}\right)+2x^{3}y^{6}\left(1-x^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}={\frac {-2\,x^{3}y^{2}\left(1-y^{4}\right)}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)^{3}}}}\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]={\frac {-2\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}y^{4}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b035b8c69e260ae640f24fe39f2cde856c7fa37f)
Ces quatre identités s'appliquent :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e30e85854e75f2e94f8d80d36e4840968d4b698)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]+F\left[\arccos(xy),{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right]\right]={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f683eecc666522605456d4e8d483f601932b21f8)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\right]={\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f64ab518a22cff851f4e9770e4f7a1abfcbe32)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]={\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec84f16045021d431832a8fb0d564b9f3b92f656)
On a alors :
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\left\{\left[2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]+x^{2}\left[K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\right\}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}\!\left(y^{2}+1\right)\mathrm {d} y}{\sqrt {\left(1-x^{4}\right)\left(1-x^{4}\,y^{4}\right)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d353aa619bdeec65c51ebe04764c55d57794395f)
En intégrant par rapport à
de 0 à
, on a :
![{\displaystyle \left[K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]\left[2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-2E\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)+F\left(\arccos x,{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa61be926e224df469efb1a43f166096cf8234a)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)-\operatorname {artanh} {\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right]\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a61fb160774fe28063ec78e68dd0ac24a2aef3a)
Selon la règle de L'Hôpital :
![{\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6116e92b33439d8d3f763d206e7a82473f919227)
![{\displaystyle \lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{y}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f37cbe61e9742455d0bb015a841e4c8637521d)
Si la valeur
est insérée dans la dernière identité intégrale mentionnée, alors l'identité suivante apparaît :
![{\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right){\biggl [}2\,E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right){\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{y^{2}}}\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\,\mathrm {d} y=\left[2\arctan y-{\frac {1-y^{2}}{y}}\,\operatorname {artanh} \left(y^{2}\right)\right]_{y=0}^{y=1}=2\arctan 1={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0a09a47f165b1eb80619365023729d6ef0aa2c)
C’est ainsi qu’émerge cet extrait de l’identité de Legendre :
![{\displaystyle 2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0668881d2134b8e9eeb44d8199d25417afd2a85a)
Généralisation pour le cas global non lemniscatique
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On a :
Dérivée de E et K par rapport à
|
|
|
|
On a :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+k^{2}K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36c06313b4242529ada37b711825a5ff1c55c08)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[-E(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-(1-k^{2})K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeb0903fb30fbd510c94a9173d0b70fb67d2fc39)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-(1-2k^{2})K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc47a9941fa0ae9a833da7924198c9d31d1fddb)
En additionnant les deux premières égalités et en soustrayant la troisième, on a :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0906808ba94e272c0ded2f3cc2e7f848aeaa3952)
Or, on vient de voir que, pour
, on a :
![{\displaystyle 2E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)-K^{2}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0668881d2134b8e9eeb44d8199d25417afd2a85a)
Donc, on a :
![{\displaystyle K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a0fcc973dea34eca5735a2a15fa5258a5d7e86)
soit :
![{\displaystyle KE'+EK'-KK'={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/748a1f2393cde78dcb6512235dfc83d83e5015e9)
Ces séries de Maclaurin sont valables pour toutes les valeurs réelles k < 1 :
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35206af2fb8c387061b3aa5fc3855b37eb9f665b)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}k^{2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c22a48127e2ac4df8f2b1ba11b1e7440a45e9098)
On a alors cette paire de formules :
![{\displaystyle K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c263ff566b808373ad08c81083ade4b304bbbb5e)
![{\displaystyle E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\pi }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05173bf94be95e73840dc569c8157b730711023a)
Ces deux formules peuvent être substituées dans cette formule :
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle 2E\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - K^2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{2} }
On peut alors synthétiser le développement en série suivant :
![{\displaystyle {\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{k}}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+2k}{32^{k}(1-2k)}}{\binom {2k}{k}}^{2}{\biggr ]}={\frac {2}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e26f63d808c48a4d1c767e91a655f43b54dd549)
La vitesse de convergence pour cette formule de série se comporte linéairement par rapport aux décimales :
Obergrenze vom Index
|
Wert der Summe
|
Dezimale Nachkommastellen
|
0
|
1
|
1
|
1
|
45/64
|
0,70312500
|
2
|
43065/65536
|
0,65711975
|
3
|
2701125/4194304
|
0,64399838
|
4
|
43945661025/68719476736
|
0,63949353
|
5
|
2805051005757/4398046511104
|
0,63779475
|
Les résultats à la décimale ont été créés en arrondissant.
La fraction 2/π a les premières décimales suivantes :
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}636619772367581343}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3332ae3179977f542e445cf11882a98ad6f0b38)
Le "nom elliptique"[traduction souhaitée 1] est :
![{\displaystyle q(x)=\mathrm {e} ^{-{\frac {\pi \,K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{K(x)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a92c69bf2b71f091e1d94a8f4f62f42e5435c8)
On a :
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)=q(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {-\pi K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}{K(x)}}={\frac {\pi \left[K(x)E\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)+E(x)K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)-K(x)K\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\right]}{x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b024c720c1f50a18ce14dc578fa7ff47b164ec8)
Le "nom elliptique" établit la relation entre la fonction thêta jacobienne et l'intégrale elliptique complète de première espèce :
![{\displaystyle \vartheta _{00}[q(x)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(x)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1+q(x)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17797283b2da602608d4f22d48c27c8465b90da0)
![{\displaystyle \vartheta _{01}[q(x)]=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1-q(x)^{2n}{\bigr ]}{\bigl [}1-q(x)^{2n-1}{\bigr ]}^{2}={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e34fa6c95e7769b36ae95f8405be077e22ea5c0)
- Duren, Peter (1991), "The Legendre relation for elliptic integrals", in Ewing, John H.; Gehring, F. W. (eds.), Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics, New York: Springer-Verlag, pp. 305-315, doi:10.1007/978-1-4612-0967-6_32, (ISBN 0-387-97509-8), MR 1113282
- Karatsuba, E. A.; Vuorinen, M. (2001), "On hypergeometric functions and generalizations of Legendre's relation", J. Math. Anal. Appl. (en), 260 (2): pages : 623–640, MR 1845572
- Legendre, A.M. (1811), Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, vol. I, Paris
- Legendre, A.M. (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, vol. I, Paris
- Duren, Peter "Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics", éditeur= Springer-Verlag, New York, 1991, isbn : 0-387-97509-8, chapitre : The Legendre relation for elliptic integrals, pages : 305-315, doi : 10.1007/978-1-4612-0967-6_32