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En algèbre commutative, un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau noethérien qui n'est pas nécessairement régulier, mais dont la profondeur est égale à sa dimension de Krull. Une singularité de Cohen-Macaulay est une singularité dont l'anneau local est un anneau de Cohen-Macaulay. Les anneaux portent le nom d'Irvin Cohen et Francis Macaulay.

Dans la hiérarchie des anneaux, on a les inclusions suivantes :

Anneau universellement caténaire $\supset$ anneau de Cohen-Macaulay $\supset$ anneau de Gorenstein (en) $\supset$ anneau d'intersection complète $\supset$ anneau local régulier.

Définitions

Suite régulière

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; un élément $a\in R$ est dit régulier si $a\cdot x=0$ pour un $x\in M$ implique $x=0$ .

Une suite $(a_{1},\dotsc ,a_{n})$ d'éléments $R$ est appelée suite $M$- régulière si les conditions suivantes sont remplies :

• $M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M$ ;
• Pour $i<m$ l'image de $a_{i+1}$ dans $M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M$ n'est pas un diviseur de zéro.

Profondeur d'un module

Soit $M$ un module sur un anneau $R$ ; la profondeur $\mathrm {prof} (M)$ de $M$ est la longueur maximale d'une suite $M$-régulière d'éléments de $R$ .

Dimension d'un module

La dimension $\dim(M)$ d'un module $M$ sur un anneau $R$ est la dimension de Krull de $R/\mathrm {Ann} (M)$, où $\mathrm {Ann} (M)$ est l'annulateur de $M$.

Pour un module $M$ de type fini sur un anneau noethérien, on a :

$\dim(M)=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Supp} (M)\}$

où $\operatorname {Ass} (M)$ désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à $M$, et $\operatorname {Supp} (M)$ le support du module.

Pour un module de type fini $M$ sur un anneau local noethérien $R$ on a l'inégalité :

$\operatorname {prof} (M_{m})\leq \min\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}\leq \dim(M)$.

Cohen-Macaulay

Un module de type fini $M$ sur un anneau noethérien $R$ est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux $m$ de $R$ on a  :

$\mathrm {prof} (M_{m})=\dim(M_{m})$.

$R$ est un anneau de Cohen-Macaulay si $R$ en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay.

Exemples d'anneaux de Cohen-Macaulay

• La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
• Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
• Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
• Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
• Un anneau noethérien régulier, comme les entiers $\mathbb {Z}$, ou l'anneau des polynômes $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ sur un corps $K$, ou un anneau de séries formelles $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$
• Un anneau de Gorenstein (en).
• L'anneau des invariants $R^{G}$, où $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et $G$ est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif.

• Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.

Exemples géométriques

• Soit $K$ un corps ; la variété algébrique composée de l'axe des X et de l'axe des Y, est décrite par l'anneau de coordonnées $K[x,y]/(x\cdot y)$. Le point d'intersection est décrit par l'anneau

$R=(K[x,y]/(x\cdot y))_{(x,y)}$

C'est une singularité parce que $R$ est unidimensionnel, mais l'idéal maximum de $R$ ne peut être engendré que par deux éléments. D'un autre côté, $R$ est un anneau de Cohen-Macaulay (et même de Gorenstein), puisque l'idéal maximal ne contient pas que des diviseurs de zéro.

• Une singularité plus compliquée est dans l'anneau

$K[x,y]/(x^{2},x\cdot y)$

L'anneau local associé à la singularité

$(K[x,y]/(x^{2},x\cdot y))_{(x,y)}$

n'est pas un anneau de Cohen-Macaulay. Il est unidimensionnel, mais l’idéal maximal n’est constitué que de diviseurs de zéro, il n’y a donc pas de suite régulière.

Bibliographie

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