Wikipédia:Lumière sur/Corps fini
Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le mercredi 6 février 2008.
En mathématiques et plus précisément dans la branche de la théorie de Galois, un corps fini est un corps (commutatif) dont le cardinal est fini. À un isomorphisme près, un corps fini est entièrement déterminé par son cardinal qui est toujours de la forme pn, une puissance d’un nombre premier. Ce nombre premier n’est autre que sa caractéristique et le corps se présente comme l’unique extension simple du corps premier de dimension n.
Les applications sont essentiellement la théorie algébrique des nombres où les corps finis apparaissent comme une structure essentielle à la géométrie arithmétique. Cette branche a permis, entre autres, de démontrer le grand théorème de Fermat. Les corps finis sont fréquemment utilisés en cryptographie ou en théorie des codes, par exemple pour déterminer des codes correcteurs efficaces.
Remarque sur la terminologie : la définition anglo-saxonne équivalente field d’un corps demande à ce que la multiplication soit commutative. Elle abolit la distinction entre corps commutatif et corps. La convention la plus usitée en France est de préciser si le corps est commutatif on non, même si elle n’est pas générale. C’est celle utilisée dans les quatre références de l’article. Dans le cas des corps finis, la convention est de peu d’importance car, d’après le théorème de Wedderburn, tout corps fini est commutatif. Ce résultat se démontre à l’aide des polynômes cyclotomiques.