Équation de Pauli

Cet article est une ébauche concernant la physique quantique.

L'équation de Pauli est une équation non relativiste de la mécanique quantique qui correspond à celle de Schrödinger pour les particules de spin 1/2 dans un champ électromagnétique.

En 1927, Wolfgang Pauli a postulé cette équation comme étant l'équation de l'électron, puis, en 1928, elle a été démontrée par Paul Dirac comme approximation non relativiste de son équation. En 1969, Jean-Marc Lévy-Leblond l'a redémontrée en linéarisant l'équation de Schrödinger^[1].

Formulation

En notant :

$Ψ (t, \vec{r}) = (\binom{Ψ_{+}}{Ψ_{-}})$ la fonction d'état de la particule, où $Ψ_{\pm}$ est l'amplitude de probabilité d'observer le spin $\pm 1 / 2$ ,
$q$ la charge de la particule, $m$ sa masse,
$𝔸 = (U (\vec{r}, t), \vec{A} (\vec{r}, t))$ le quadripotentiel du champ électromagnétique ambiant, $\vec{B} = \nabla \times \vec{A}$ le champ magnétique,
$\vec{σ} = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3})$ le vecteur des matrices de Pauli.

L'équation de Pauli est :

i ℏ \frac{\partial Ψ (\vec{r}, t)}{\partial t} = (\frac{1}{2 m} {(\vec{P} + q \vec{A} (\vec{r}, t))}^{2} + q U (\vec{r}, t) - \frac{q ℏ}{2 m} \vec{σ} . \vec{B} (\vec{r}, t)) Ψ (\vec{r}, t)

De l'expression précédente se déduit l'Hamiltonien de Pauli:

H = \frac{1}{2 m} {(\vec{σ} . [\vec{P} - q \vec{A} (\vec{r}, t)])}^{2} + q U (\vec{r}, t)

Démonstration

On rappelle que: $\vec{σ} . \vec{B} = \vec{σ} . (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = σ_{x} [\vec{\nabla} \times \vec{A}]_{x} + σ_{y} [\vec{\nabla} \times \vec{A}]_{y} + σ_{z} [\vec{\nabla} \times \vec{A}]_{z}$

Avec les matrices de Pauli:

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Le rotationnel a pour expression:

\vec{\nabla} \times \vec{A} = (\begin{matrix} \nabla_{y} A_{z} - \nabla_{z} A_{y} \\ \nabla_{z} A_{x} - \nabla_{x} A_{z} \\ \nabla_{x} A_{y} - \nabla_{y} A_{x} \end{matrix})

\Rightarrow \vec{σ} . \vec{B} = (\begin{matrix} (\vec{\nabla} \times \vec{A})_{z} & (\vec{\nabla} \times \vec{A})_{x} - i (\vec{\nabla} \times \vec{A})_{y} \\ (\vec{\nabla} \times \vec{A})_{x} + i (\vec{\nabla} \times \vec{A})_{y} & - (\vec{\nabla} \times \vec{A})_{z} \end{matrix})

= (\begin{matrix} \nabla_{x} A_{y} - \nabla_{y} A_{x} & \nabla_{y} A_{z} - \nabla_{z} A_{y} - i (\nabla_{z} A_{x} - \nabla_{x} A_{z}) \\ \nabla_{y} A_{z} - \nabla_{z} A_{y} + i (\nabla_{z} A_{x} - \nabla_{x} A_{z}) & - \nabla_{x} A_{y} + \nabla_{y} A_{x} \end{matrix})

En appliquant cet opérateur au spineur $[ψ] (\vec{r}) = (\begin{matrix} ψ_{+} (\vec{r}) \\ ψ_{-} (\vec{r}) \end{matrix})$ on obtient:

♦ Pour le terme

[\vec{σ} . \vec{B}]_{11} :

(\nabla_{x} A_{y} - \nabla_{y} A_{x}) ψ_{+} = \nabla_{x} A_{y} ψ_{+} - \nabla_{y} A_{x} ψ_{+}

= \nabla_{x} (A_{y} ψ_{+}) - A_{y} \nabla_{x} ψ_{+} - \nabla_{y} (A_{x} ψ_{+}) + A_{x} \nabla_{y} ψ_{+}

= [\nabla_{x} A_{y} - \nabla_{y} A_{x} + A_{x} \nabla_{y} - A_{y} \nabla_{x}] ψ_{+} = [[\vec{\nabla} \times \vec{A}]_{z} + [\vec{A} \times \vec{\nabla}]_{z}] ψ_{+}

♦ Pour le terme

[\vec{σ} . \vec{B}]_{12} :

$\nabla_{y} A_{z} ψ_{-} - \nabla_{z} A_{y} ψ_{-} - i (\nabla_{z} A_{x} ψ_{-} - \nabla_{x} A_{z} ψ_{-}) = : \nabla_{y} (A_{z} ψ_{-}) - A_{z} \nabla_{y} ψ_{-} - \nabla_{z} (A_{y} ψ_{-})$

+ A_{y} \nabla_{z} ψ_{-} - i (\nabla_{z} (A_{x} ψ_{-}) - A_{x} \nabla_{z} ψ_{-} \nabla_{x} (A_{z} ψ_{-}) + A_{z} \nabla_{x} ψ_{-})

= [(\vec{\nabla} \times \vec{A})_{x} + (\vec{A} \times \vec{\nabla})_{x}] ψ_{-} - i [(\vec{\nabla} \times \vec{A})_{y} + (\vec{A} \times \vec{\nabla})_{y}] ψ_{-}

Ce qui permet de conclure:

\vec{σ} . \vec{B} = \vec{σ} (\vec{\nabla} \times \vec{A}) + \vec{σ} (\vec{A} \times \vec{\nabla})

On rappellera: $\vec{P} = \frac{ℏ}{i} \vec{\nabla} \Rightarrow$ $\vec{σ} . \vec{B} = \frac{i}{q ℏ} . \vec{σ} [(\vec{P} \times q \vec{A}) + (q \vec{A} \times \vec{P})] = - \frac{i}{q ℏ} . \vec{σ} [(\vec{P} - q \vec{A}) \times (\vec{P} - q \vec{A})]$

On rappelle la relation, avec

\vec{M}, \vec{N}

deux opérateurs quelconques et I l'opérateur unitaire:

(\vec{σ} . \vec{M}) (\vec{σ} . \vec{N}) = \vec{M} . \vec{N} I + i \vec{σ} (\vec{M} \times \vec{N})

\Rightarrow i \vec{σ} [(\vec{P} - q \vec{A}) \times (\vec{P} - q \vec{A})] = (\vec{σ} . (\vec{P} - q \vec{A}))^{2} - (\vec{P} - q \vec{A})^{2} I

\Rightarrow \vec{σ} \vec{B} = - \frac{1}{q ℏ} [\vec{σ} (\vec{P} - q \vec{A})]^{2} + \frac{1}{q ℏ} [\vec{P} - q \vec{A}]^{2} I

Il vient alors:

H = \frac{1}{2 m} [\vec{P} - q \vec{A}]^{2} + q U - \frac{q ℏ}{2 m} \vec{σ} . \vec{B}

= \frac{1}{2 m} [\vec{P} - q \vec{A}]^{2} + q U + \frac{1}{2 m} [\vec{σ} (\vec{P} - q \vec{A})]^{2} - \frac{1}{2 m} [\vec{P} - q \vec{A}]^{2} I

= \frac{1}{2 m} [\vec{σ} (\vec{P} - q \vec{A} (\vec{r}, t))]^{2} + q U (\vec{r}, t)

Notes

↑ Walter Greiner, Mécanique quantique – Une introduction, Springer éditeur, 1999 (ISBN 3540643478 et 978-3540643470).

Bibliographie

Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 4 : Électrodynamique quantique [détail des éditions].

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[1] Walter Greiner, Mécanique quantique – Une introduction, Springer éditeur, 1999 (ISBN 3540643478 et 978-3540643470).

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