Équation de Whitham

En physique mathématique l'équation de Whitham est une équation générale décrivant une onde de gravité dispersive non-linéaire de surface^[1]^,^[2]. Elle a été établie par Gerald Whitham en 1967^[3].

Formulation modifier

Elle s'écrit de la manière suivante :

{\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+\alpha s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)+\int _{\mathbb {R} }K(x-\xi ){\frac {\partial }{\partial \xi }}s(\xi ,t)\;\mathrm {d} \xi =0.

s(x,t)

donnant l'altitude de la surface dans un référentiel quelconque. Le noyau

K(x-\xi )

est spécifique du problème traité.

Pour les ondes de surface telles que l'onde de Stokes de nombre d'onde $k$ on a^[3] ${\textstyle c(k)={\sqrt {{\frac {g}{k}}\tanh(kh)}}}$ et ${\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$ où $c(\cdot )$ est la vitesse de phase, $g$ la gravité et $h$ la profondeur du milieu au repos. Ainsi, $K(\omega )={\mathcal {F}}\{c(x)\}(\omega )$ , soit la transformée de Fourier de $c$ ⁣ ;

On obtient l'équation de Korteweg-de Vries à partir du développement de $c(k)$ pour des ondes de grande longueur rapportée à l'amplitude $kh\ll 1$ , soit ${\textstyle c(k)={\sqrt {gh}}\left(1-{\frac {1}{6}}k^{2}h^{2}\right)}$ , ${\textstyle K(x)={\sqrt {gh}}\left(\delta (x)+{\frac {1}{6}}h^{2}\,\delta ^{\prime \prime }(x)\right)}$ où $\delta (\cdot )$ est la fonction de Dirac et ${\textstyle \alpha ={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}}$ .

Bengt Fornberg et Gerald Whitham ont étudié le noyau $K(\cdot )$ adimentionné par $g$ et $h$ ^[4] avec $c(k)={\frac {\nu ^{2}}{\nu ^{2}+k^{2}}}$ , $K(x)={\frac {\nu }{2}}\mathrm {e} ^{-\nu x}$ et $\alpha ={\frac {3}{2}}$ . La relation intégro-différentielle qui en résulte peut être réduite à l'équation aux dérivées partielles appelée équation de Fornberg–Whitham^[4], soit $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-\nu ^{2}\right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}s(x,t)+{\frac {3}{2}}s(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)\right)+{\frac {\partial }{\partial x}}s(x,t)=0.$ Certaines solutions exhibent des discontinuités de la dérivée première (en anglais peakon) et d'ondes de choc (déferlement), ces dernières étant absentes des solutions de l'équation de Korteweg-de Vries^[4]^,^[5].

↑ (en) L. Debnath, Nonlinear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Springer, 2005, 737 p. (ISBN 978-0-8176-4323-2, lire en ligne)
↑ (en) P. I. Naumkin et I .A. Shishmarev, Nonlinear Nonlocal Equations in the Theory of Waves, American Mathematical Society, 1994, 289 p. (ISBN 978-0-8218-4573-8)
↑ ^{a et b} (en) Gerald B. Whitham, « Variational Methods and Applications to Water Waves », Proceedings of the Royal Society A, vol. 299, n^o 1456,‎ 1967, p. 6–25
↑ ^{a b et c} (en) B. Fornberg et G. B. Whitham, « A Numerical and Theoretical Study of Certain Nonlinear Wave Phenomena », Philosophical Transactions of the Royal Society A, vol. 289, n^o 1361,‎ 1978, p. 373–404
↑ (en) Gerald B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, John Wiley & Sons, 1974 (ISBN 978-0-471-35942-5, lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Whitham equation » (voir la liste des auteurs).