Anneau intégralement clos

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques et l’algèbre.

En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si p/q est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors p/q appartient à A.

Exemples

Tout corps algébriquement clos est intégralement clos.
Tout anneau intègre à PGCD est intégralement clos^[1], ce qui est le cas de tout anneau factoriel et de tout anneau de Bézout, en particulier (à double titre) de tout anneau principal, donc de tout anneau euclidien comme l'anneau Z.

Démonstration

Soit A un anneau intègre à PGCD.

Soit $P (X) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} X^{i}$ un polynôme unitaire (c'est-à-dire que $a_{n} = 1$ ) à coefficients dans A et x un élément du corps des fractions de A. Cet élément x peut s'écrire p/q, où p et q sont des éléments de A premiers entre eux.

Si x est une racine de P alors

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} {(\frac{p}{q})}^{i} = 0

puis en multipliant par $q^{n}$

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} p^{i} q^{n - i} = 0

Puisque, pour tout i < n, q divise $a_{i} p^{i} q^{n - i}$ , on en déduit que q divise aussi $a_{n} p^{n} = p^{n}$ . Or q et p sont premiers entre eux ; d'après le lemme de Gauss, q doit alors diviser 1, autrement dit q est inversible dans A, donc l'élément x = p/q appartient à A.

Pour tout entier $d \in ℤ$ sans facteur carré, l'anneau $ℤ [\sqrt{d}]$ est intégralement clos si et seulement si $d$ n'est pas congru à $1$ modulo $4$ .
Plus généralement, un anneau intègre A, de corps des fractions K, est intégralement clos si et seulement si tout polynôme unitaire irréductible de A[X] reste irréductible dans K[X]^[2].
Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition).
En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions^[3].

Clôture intégrale

La clôture intégrale d'un anneau $A$ est le plus petit anneau intégralement clos contenant $A$ .

Exemples

Tout anneau intégralement clos est sa propre clôture intégrale.
Pour tout entier $d$ sans facteur carré congru à $1$ modulo $4$ , la clôture intégrale de l'anneau $ℤ [\sqrt{d}]$ est $ℤ [\frac{1 + \sqrt{d}}{2}]$ .
Pour tout corps de nombre $K$ , la clôture intégrale de $ℤ$ est l'anneau des entiers $𝒪_{K}$ de $K$ . Pour tout entier $d$ sans facteur carré, l'anneau des entiers de $Q (\sqrt{d})$ est $ℤ [\sqrt{d}]$ si $d$ n'est pas congru à $1$ modulo $4$ et $ℤ [\frac{1 + \sqrt{d}}{2}]$ sinon.

Références

↑ (en) « Proof that a gcd domain is integrally closed », sur PlanetMath.
↑ (en) Muhammad Zafrullah, Daniel D. Anderson et Pramod K. Sharma, « Factorization of certain sets of polynomials in an integral domain », International Journal of Commutative Rings, vol. 3,‎ 2003 (lire en ligne), Theorem 3.
↑ N. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. VI, § 1, n^o 3.

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[1] (en) « Proof that a gcd domain is integrally closed », sur PlanetMath.

[2] (en) Muhammad Zafrullah, Daniel D. Anderson et Pramod K. Sharma, « Factorization of certain sets of polynomials in an integral domain », International Journal of Commutative Rings, vol. 3,‎ 2003 (lire en ligne), Theorem 3.

[3] N. Bourbaki, Algèbre commutative, chap. VI, § 1, n^o 3.

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