Arc tangente intégral
En mathématiques, la fonction arc tangente intégral est une fonction spéciale, définie comme une primitive de la fonction .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/61/Inverse_Tangent_Integral.svg/330px-Inverse_Tangent_Integral.svg.png)
Définition
modifierLa fonction arc tangente intégral est définie par :
La fonction arc tangente () est considérée ici sur sa branche principale, c'est-à-dire que pour tout nombre réel [1].
Histoire et notations
modifierSpence (1809)[2] a étudié la fonction en utilisant la notation . La fonction a été étudiée aussi par Ramanujan[3].
La notation (et plus généralement , cf. « Généralisation ») est due à Lewin.
Propriétés
modifierLa fonction arc tangente intégral est impaire[1] :
Les valeurs de et sont reliées par l'identité :
- ,
vraie pour tout (ou, plus généralement, pour ). On le prouve en dérivant et en utilisant l'identité [3],[4].
La valeur particulière donne la constante de Catalan [4].
Relation avec d'autres fonctions
modifierDéveloppement en série
modifierLa représentation en série entière de l'arc tangente intégral est :
- ,
qui est absolument convergente pour [1].
Relation avec le dilogarithme
modifierL'arc tangente intégral est étroitement lié au dilogarithme , et peut être exprimé simplement en termes de cette fonction :
Ainsi[1] :
Relation avec la fonction chi de Legendre
modifierL'arc tangente intégral est lié à la fonction chi de Legendre par[1] :
On peut remarquer que peut s'exprimer à partir de l'intégrale , similaire à l’expression de l'arc tangente intégral mais avec la tangente hyperbolique réciproque à la place de l'arc tangente.
Relation avec la fonction zêta de Lerch
modifierL'arc tangente intégral peut également être écrit en termes de fonction transcendante de Lerch :
Généralisation
modifierDe façon similaire au polylogarithme , la fonction :
est définie de manière analogue. Elle vérifie la relation de récurrence[5] :
Par cette représentation en série, on peut voir l'égalité avec les valeurs spéciales , où représente la fonction bêta de Dirichlet.
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse tangent integral » (voir la liste des auteurs).
- Lewin 1981, Section 2.1, p. 38–39
- William Spence, An essay on the theory of the various orders of logarithmic transcendents; with an inquiry into their applications to the integral calculus and the summation of series, London, (lire en ligne)
- Ramanujan, « On the integral », Journal of the Indian Mathematical Society, vol. 7, , p. 93–96 Appears in: Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, , 40–43 p.
- Lewin 1981, Section 2.2, p. 39–40
- Lewin 1981, Section 7.1.2, p. 190
Bibliographie
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent Integral », sur MathWorld
- L. Lewin, Dilogarithms and Associated Functions, London, Macdonald, (MR 0105524, zbMATH 0083.35904)
- L. Lewin, Polylogarithms and Associated Functions, New York, North-Holland, (ISBN 978-0-444-00550-2)