Arc tangente
En mathématiques, l’arc tangente d'un nombre réel est la valeur d'un angle orienté dont la tangente vaut ce nombre.
Notation | |
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Réciproque |
sur |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition | |
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Ensemble image | |
Parité |
impaire |
Valeur en zéro |
0 |
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Limite en +∞ | |
Limite en −∞ |
Asymptotes |
en en |
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La fonction qui à tout nombre réel associe la valeur de son arc tangente en radians est la réciproque de la restriction de la fonction trigonométrique tangente à l'intervalle . La notation est arctan[1] ou Arctan [2] (on trouve aussi Atan, arctg en notation française ; atan ou tan−1, en notation anglo-saxonne, cette dernière pouvant être confondue avec la notation de l'inverse (1/tan)).
Pour tout réel x :
Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc tangente est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle par une réflexion d'axe la droite d'équation y = x.
Parité
modifierLa fonction arctan est impaire, c'est-à-dire que (pour tout réel x) .
Dérivée
modifierComme dérivée d'une fonction réciproque, arctan est dérivable et vérifie[3] : .
Développement en série de Taylor
modifierLe développement en série de Taylor de la fonction arc tangente[4] est :
- .
Cette série entière converge vers arctan quand |x| ≤ 1 et x ≠ ±i. La fonction arc tangente est cependant définie sur tout ℝ (et même — cf. § « Fonction réciproque » — sur un domaine du plan complexe contenant à la fois ℝ et le disque unité fermé privé des deux points ±i).
Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.
La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de π ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus :
- .
Équation fonctionnelle
modifierOn peut déduire arctan(1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :
- ;
- .
Fonction réciproque
modifierPar définition, la fonction arc tangente est la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle : .
Ainsi, pour tout réel x, tan(arctan x) = x. Mais l'équation arctan(tan y) = y n'est vérifiée que pour y compris entre et .
Dans le plan complexe, la fonction tangente est bijective de ]–π/2, π/2[+iℝ dans ℂ privé des deux demi-droites ]–∞, –1]i et [1, +∞[i de l'axe imaginaire pur, d'après son lien avec la fonction tangente hyperbolique et les propriétés de cette dernière. La définition ci-dessus de arctan s'étend donc en : .
Logarithme complexe
modifierPar construction, la fonction arctangente est reliée à la fonction argument tangente hyperbolique et s'exprime donc, comme elle, par un logarithme complexe :
- .
Intégration
modifierPrimitive
modifierLa primitive de la fonction arc tangente qui s'annule en 0 s'obtient grâce à une intégration par parties :
- .
Utilisation de la fonction arc tangente
modifierLa fonction arc tangente joue un rôle important dans l'intégration des expressions de la forme
Si le discriminant D = b2 – 4ac est positif ou nul, l'intégration est possible en revenant à une fraction partielle. Si le discriminant est strictement négatif, on peut faire la substitution par
qui donne pour l'expression à intégrer
L'intégrale est alors
- .
Formule remarquable
modifierSi xy ≠ 1, alors[3] :
où
Autres utilisations
modifier![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Quatre_fonctions_sigmo%C3%AFdes_%E2%80%94_four_sigmoidal_functions.jpg/220px-Quatre_fonctions_sigmo%C3%AFdes_%E2%80%94_four_sigmoidal_functions.jpg)
La forme en S de cette fonction fait qu'elle fait partie des fonctions dites sigmoïdes. Par rapport à la fonction logistique de Verhulst et la fonction erf, elle est celle qui est la plus lisse, c'est-à-dire celle qui est la plus longue à rejoindre ses asymptotes.
Notes et références
modifier- Extraits de la norme ISO 31-11 à l'usage des CPGE, p. 6.
- Programme officiel de l'Éducation nationale (MPSI, 2013), p. 6.
- Pour une démonstration, voir par exemple le chapitre « Fonction arctan » sur Wikiversité.
- Connue des anglophones sous le nom de « série de Gregory », elle avait en fait été déjà découverte par le mathématicien indien Madhava au XIVe siècle. Voir l'article Série de Madhava (en) pour plus de détails.
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifier- Atan2
- Fonction circulaire réciproque
- L'arc tangente de tout rationnel non nul est irrationnel.
- Définition de la fonction arc tangente sur les complexes
Lien externe
modifier(en) Eric W. Weisstein, « Inverse Tangent », sur MathWorld