Colinéarité

En algèbre linéaire, deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ d'un espace vectoriel $𝖤$ sont colinéaires s'il existe un scalaire $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$ ou $\vec{v} = k \vec{u}$ . Deux vecteurs quelconques d'une droite vectorielle sont colinéaires. Quand elle porte sur un couple de vecteurs, la colinéarité est le contraire de l'indépendance linéaire : deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si le couple $(u, v)$ est non-libre.

Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.

La colinéarité est un outil important en géométrie dans l'enseignement secondaire : un couple de points $(A, B)$ du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique $\vec{A B}$ ; si $A$ et $B$ (resp $A^{'}$ et $B^{'}$ ) sont des points non confondus, les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A^{'} B^{'}}$ sont colinéaires si et seulement si les droites $(A B)$ et $(A^{'} B^{'})$ sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.

Exemples

En toute dimension, si $\vec{u}$ est le vecteur nul, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires pour tout $\vec{v}$ dans $𝖤$ , car $\vec{u} = 0 \vec{v}$ ^[1].

Si $\vec{u}$ est un vecteur non nul de $𝖤$ , l'ensemble des vecteurs colinéaires à $\vec{u}$ est la droite $k \vec{u}$ .

Dans un espace vectoriel sur le corps F₂, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils sont égaux^[2].

Géométrie affine

En géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite c’est-à-dire, il existe trois points $A$ , $B$ , et $C$ alignés tels que :

\vec{A B} = \vec{u}

et

\vec{A C} = \vec{v}

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser

L'alignement : les points $A$ , $B$ , et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ sont colinéaires.
Le parallélisme de deux droites : les droites $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles ou confondues si et seulement si les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{C D}$ sont colinéaires.

Relation d'équivalence

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
symétrique : Si un vecteur $\vec{u}$ est colinéaire à un vecteur $\vec{v}$ alors $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{u}$
transitive⁣ : Si un vecteur $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{v}$ et si $\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{w}$ alors $\vec{u}$ est colinéaire à $\vec{w}$

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel^[3].

Calcul en coordonnées

Soient deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans le plan $ℝ^{2}$ , dont les coordonnées sont $\vec{u} = (u_{1}, u_{2})$ et $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ . S'ils sont tous deux non-nuls, la colinéarité des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ se traduit par une relation de proportionnalité entre les couples $(u_{1}, u_{2})$ et $(v_{1}, v_{2})$ . La règle du produit en croix implique : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $u_{1} v_{2} = u_{2} v_{1}$ .

Cette équivalence peut se généraliser à la dimension supérieure. Soient $𝐮$ et $𝐯$ deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée sont

𝐮 = (u_{1}, \dots, u_{n})

𝐯 = (v_{1}, \dots, v_{n}) .

Alors $𝐮$ et $𝐯$ sont colinéaires si et seulement si $u_{i} v_{j} = u_{j} v_{i}$ pour tout indice $i$ et tout indice $j > i$ .

En dimension trois, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul^[4].

Notes et références

↑ « Vecteurs colinéaires - Cours seconde maths - Tout savoir sur les vecteurs colinéaires », sur www.educastream.com (consulté le 27 août 2025)
↑ https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~peyre/enseignement/mat_201.pdf
↑ (en) Flaminio Flamini, A First Course In Algebraic Geometry And Algebraic Varieties, World Scientific, 13 février 2023 (ISBN 978-1-80061-267-9, lire en ligne), ch3
↑ Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PCSI, Editions Bréal, 2003 (ISBN 978-2-7495-0219-9, lire en ligne), p. 107

Liens externes

Voir aussi

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Facteur d'inflation de la variance

Portail de l’algèbre

[1] « Vecteurs colinéaires - Cours seconde maths - Tout savoir sur les vecteurs colinéaires », sur www.educastream.com (consulté le 27 août 2025)

[2] ttps://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~peyre/enseignement/mat_201.pdf

[3] (en) Flaminio Flamini, A First Course In Algebraic Geometry And Algebraic Varieties, World Scientific, 13 février 2023 (ISBN 978-1-80061-267-9, lire en ligne), ch3

[4] Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PCSI, Editions Bréal, 2003 (ISBN 978-2-7495-0219-9, lire en ligne), p. 107

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