Strophoïde

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, une courbe strophoïdale, ou simplement une strophoïde, est une courbe engendrée à partir d'une courbe donnée C et de deux points A (le point fixe) et O (le pôle). Dans le cas particulier où C est une droite, A appartient à C, et O n'appartient pas à C, la courbe est appelée une strophoïde oblique. Si, de plus, OA est perpendiculaire à C, la courbe est appelée une strophoïde droite, ou simplement une strophoïde par certains auteurs. La strophoïde droite est aussi parfois appelée courbe logocyclique.

Construction

La courbe strophoïdale correspondant à la courbe C, au point fixe A et au pôle O est construite de la manière suivante : soit L une droite mobile passant par O et coupant C en K. Soit alors P₁ et P₂ les deux points de L tels que P₁K = P₂K = AK. Le lieu géométrique des pointsP₁ et P₂ est appelé la strophoïde de C relativement au pôle O et au point fixe A. On remarquera que AP₁ et AP₂ sont orthogonaux.

Équations

Coordonnées polaires

Soit la courbe C donnée par $r=f(\theta )$ , où l'origine est prise en O. Soit A le point de coordonnées cartésiennes (a, b). Si $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ est un point de la courbe, la distance de K à A est

d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

.

Les points de la droite OK ont pour angle polaire $\theta$ , et les points à distance d de K sur cette droite sont à une distance $f(\theta )\pm d$ de l'origine. Par conséquent, l'équation de la strophoïde est donnée par

r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}

.

Coordonnées cartésiennes

Soit C d'équations paramétriques (x = x(t) ,y = y(t)). Soit A le point (a, b) et O le point (p, q). Alors, les formules polaires précédentes montrent que la strophoïde est représentée paramétriquement par :

x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),

où

n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.

Une autre formule polaire

La complexité des formules précédentes limite leur utilité en pratique. Il en existe une forme alternative parfois plus simple, qui est particulièrement utile quand C est une sectrice de Maclaurin (en) de pôles O et A.

Soit O l'origine et A le point (a, 0). Soit K un point de la courbe, $\theta$ l'angle entre OK et l'axe Ox, et $\vartheta$ l'angle entre AK et l'axe Ox. Supposons que $\vartheta$ soit donné en fonction de $\theta$ , sous la forme $\vartheta =l(\theta )$ . Soit $\psi$ l'angle en K, donc $\psi =\vartheta -\theta$ . On peut déterminer r en fonction de l en utilisant la loi des sinus : comme

{r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}

.

Soit P₁ et P₂ les points de la droite OK à distance AK de K, numérotés de façon que $\psi ={\widehat {P_{1}KA}}$ et $\pi -\psi ={\widehat {AKP_{2}}}$ . Le triangle $P_{1}KA$ est isocèle d'angle au sommet $\psi$ , donc les angles de la base, ${\widehat {AP_{1}K}}$ et ${\widehat {KAP_{1}}}$ , valent $(\pi -\psi )/2$ . L'angle entre AP₁ et l'axe Ox est alors

l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2

.

Utilisant le fait que AP₁ et AP₂ sont perpendiculaires (car le triangleAP₁P₂ est inscrit dans un demi-cercle), l'angle entre AP₂ et l'axe Ox vaut

l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2

.

L'équation polaire de la strophoïde se déduit alors de l₁ et l₂ d'après les formules précédentes :

r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}

r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}

C est une sectrice de Maclaurin de pôles O et A quand l est de la forme $q\theta +\theta _{0}$ ; dans ce cas l₁ et l₂ ont la même forme, et la strophoïde est soit une autre sectrice de Maclaurin, soit un couple de sectrices ; on peut en trouver une équation polaire simple si on prend l'origine au symétrique de A par rapport àO.

Cas particuliers

Strophoïdes obliques

Soit C une droite passant par A. Alors, dans les notations précédentes, $l(\theta )=\alpha$ , où $\alpha$ est une constante, et $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ ; $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$ . Avec l'origine en O, les équations polaires de la strophoïde correspondante, appelée une strophoïde oblique deviennent

r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}

et

r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}

.

On vérifie facilement que ces deux équations décrivent en fait la même courbe.

Déplaçant l'origine en A (voir, là encore, l'article sectrice de Maclaurin (en)) et remplaçant −a par a, on obtient

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

;

une rotation de $\alpha$ transforme cette équation en

r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}

.

En coordonnées cartésiennes (et en changeant les constantes), on obtient

y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy

.

C'est une cubique, unicursale d'après l'équation polaire. Elle possède un point double en (0, 0), et la droite y=b lui est asymptote.

La strophoïde droite

Posant $\alpha =\pi /2$ dans

r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}

,

on obtient

r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )

.

Cette courbe est appelée la strophoïde droite, et correspond au cas où C est l'axe Oy, O est l'origine, et A est le point (a,0).

L'équation cartésienne est

y^{2}=x^{2}{\frac {a-x}{a+x}}

;

une représentation paramétrique unicursale est :

x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}

y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}

.

La courbe ressemble au folium de Descartes, et la droite x = −a est asymptote aux deux branches infinies. La courbe possède deux autres asymptotes "imaginaires" dans le plan complexifié ${\mathbb {C} }^{2}$ , données par

x\pm iy=-a

.

Strophoïdes de cercles passant par les points fixes

Soit C un cercle passant par O et A. Prenant O pour origine et A en (a, 0), on obtient, dans les notations précédentes, $l(\theta )=\alpha +\theta$ , où $\alpha$ est une constante. Ainsi, $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ et $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$ . Les équations polaires des strophoïdes correspondantes sont alors