Unicursale

En mathématiques, plus précisément en géométrie, une courbe plane est dite unicursale, ou rationnelle, si elle admet un paramétrage tel que ses coordonnées $x$ et $y$ sont toutes les deux des fractions rationnelles du paramètre.

Exemples

Droite

Une droite est unicursale puisqu'elle admet une représentation paramétrique de la forme

$\left\{{\begin{array}{l}x=x_{0}+at\\[3pt]y=y_{0}+bt\end{array}}\right.$

où $\left(x_{0},y_{0}\right)$ sont les coordonnées d'un point de la droite, et ${\vec {n}}{\binom {a}{b}}$ un vecteur directeur de la droite.

Cercle

Un cercle est unicursal. Dans le cas du cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1, on a la représentation paramétrique suivante :

$\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1+t^{2}}}\end{array}}\right.$

En réalité, l'image de $\mathbb {R}$ par cette fonction n'est pas le cercle entier puisqu'il manque le point de coordonnées $\left(-1;0\right)$. Mais on admet que ce point est l'image de $\infty$ par la représentation paramétrique. Ceci est un exemple de compactifié d'Alexandrov de $\mathbb {R}$.

Coniques

Les coniques non dégénérées aussi sont unicursales ; voici par exemple la paramétrisation rationnelle d'une hyperbole équilatère :

$\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t}{1-t^{2}}}\end{array}}\right.$

Cubiques

Caractérisation

Théorème — Une courbe cubique est unicursale si et seulement si elle admet un point double, c'est-à-dire si et seulement si elle est nodale ou cuspidale^{[réf. incomplète]}.

En particulier, une courbe elliptique n’est pas unicursale.

Exemples

Cubiques nodales

Le folium de Descartes a pour représentation paramétrique

$\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {3t}{1+t^{3}}}\\[3pt]y={\dfrac {3t^{2}}{1+t^{3}}}.\end{array}}\right.$

Le point double est l'origine $(0,0)$ du repère, obtenue pour $t=0$ et pour $t=\pm \infty$.

De façon générale, les strophoïdes sont unicursales.

Cubiques cuspidales

La parabole semi-cubique admet pour représentation paramétrique

$\left\{{\begin{array}{l}x=t^{2}\\[3pt]y=t^{3}.\end{array}}\right.$

Elle est même mieux que rationnelle, puisque $x$ et $y$ sont même des polynômes en $t$.

Quartiques

Un exemple de quartique unicursale est la lemniscate de Bernoulli dont une équation paramétrique est

$\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {2t}{1+t^{4}}}\\[3pt]y={\dfrac {2t^{3}}{1+t^{4}}}.\end{array}}\right.$

Algébricité

Proposition

Par élimination de $t$ entre $x$ et $y$, toute courbe unicursale est algébrique.

Réciproque

Une courbe algébrique n'est pas nécessairement unicursale. Elle l'est si et seulement si son genre est 0.

Exemple

On peut montrer que la courbe affine plane d'équation $(x^{2}-1)^{2}-2y^{3}-3y^{2}$^{[incompréhensible]} est de genre 0. Elle est donc unicursale et admet un paramétrage rationnel, par exemple :

${\begin{cases}x&=t(2t^{2}-3)\\y&=2t^{4}-4t^{2}+{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

avec $t={\frac {xy}{x^{2}-y-1}}$.

Contre-exemples

Coniques : Une conique dégénérée n'est pas unicursale, par exemple la « courbe » d'équation $x^{2}=1$ n'a pas de représentation paramétrique rationnelle (une fonction de $t$ qui ne prend que les valeurs 1 et –1 ne peut être rationnelle). Cependant, cette conique dégénérée est constituée de deux composantes, les deux droites d'équation $x=1$ et $x=-1$ qui sont chacune unicursale.

Cubiques : Les cubiques sans point double ne sont pas unicursales. En effet, leur genre vaut 1. Par contre, une cubique ayant un point double est de genre 0.

Applications

Points à coordonnées rationnelles

Si $t\in \mathbb {Q}$ (par exemple si $t$ est un entier), les coordonnées $x(t)$ et $y(t)$ sont elles-mêmes rationnelles. On peut donc utiliser la représentation paramétrique d'une courbe unicursale pour obtenir des points à coordonnées rationnelles de celle-ci.

Exemple : La recherche de points à coordonnées rationnelles sur le cercle unité (voir supra) est liée à celle des nombres pythagoriciens : avec $t=5$, on a

$\left\{{\begin{array}{l}x={\dfrac {1-5^{2}}{1+5^{2}}}={\dfrac {1-25}{1+25}}=-{\dfrac {24}{26}}=-{\dfrac {12}{13}}\\[4pt]y={\dfrac {2\times 5}{1+5^{2}}}={\dfrac {10}{1+25}}={\dfrac {5}{13}}\end{array}}\right.$

où l'on reconnaît le triplet $(5,12,13)$.

Nomogrammes

Clark a utilisé les représentations paramétriques rationnelles du cercle et du folium pour créer des nomogrammes de multiplication (cercle doublement coté avec une droite cotée, folium triplement coté).

Voir aussi

• Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions], chap. IX
• Serge Mehl, « Courbes unicursales », sur ChronoMath