Parabole semi-cubique
En mathématiques, une cubique cuspidale, parabole semi-cubique ou parabole de Neile est une courbe plane algébrique qui a une équation implicite de la forme
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Neil-parab-3.svg/250px-Neil-parab-3.svg.png)
(avec a ≠ 0) dans un système de coordonnées cartésiennes.
La résolution en conduit à la forme explicite
ce qui implique que tout point réel vérifie x ≥ 0. L'exposant explique le terme parabole semi-cubique (une parabole peut être décrite par l'équation ).
La résolution de l'équation implicite pour donne une deuxième forme explicite
peut également être déduit de l'équation implicite en posant
Les paraboles semi-cubiques ont un point de rebroussement, d'où le nom de cubique cuspidale (de l'anglais cusp).
La longueur de l'arc de la courbe a été calculée par le mathématicien William Neile et publiée en 1657[1].
Propriétés des paraboles semi-cubiques
modifierSimilarité
modifierToute parabole semi-cubique (t2 , at3) est similaire à la parabole unitaire semi-cubique (u2 , u3).
Preuve : la similarité (mise à l'échelle uniforme) cartographie la parabole semi-cubique sur la courbe avec u = at.
Singularité
modifierLa représentation paramétrique (t2 , at3) est régulière sauf au point (0 ; 0), où la courbe a une singularité (point de rebroussement). On le voit en remarquant que le vecteur tangent (2t , 3t2) est nul en t = 0.
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Tangentes
modifierPar différenciation de la parabole semi-cubique unitaire on obtient au point de la branche supérieure l'équation de la tangente :
Cette tangente coupe la branche inférieure exactement en un autre point de coordonnées [2]
Pour prouver cette affirmation, il faut utiliser le fait que la tangente rencontre la courbe deux fois en .
Longueur de l'arc
modifierPour déterminer la longueur d'arc d'une courbe , il faut calculer l'intégrale . Pour la parabole semi-cubique , on obtient
qui peut être résolue par le changement de variables .
Exemple : Pour a = 1 (parabole semi-cubique unitaire) et b = 2, c'est-à-dire la longueur de l'arc entre l'origine et le point (4 ; 8), on obtient une longueur d'arc de 9,073.
Développée de la parabole unitaire
modifierLa développée de la parabole (t2 ; t) est une parabole semi-cubique décalée de 1/2 le long de l'axe x :
Coordonnées polaires
modifierPour obtenir la représentation de la parabole semi-cubique (t2 ; at3) en coordonnées polaires, on détermine le point d'intersection de la droite avec la courbe. Pour il y a un point différent de l'origine : . Ce point a une distance depuis l'origine. Avec et (par les identités trigonométriques) on obtient[3]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Neil-parab-p.svg/250px-Neil-parab-p.svg.png)
Relation entre une parabole semi-cubique et une fonction cubique
modifierProjeter la parabole semi-cubique (t2 ; t3) par l'application donne , d'où la fonction cubique y = x3. La pointe (origine) de la parabole semi-cubique est échangée avec le point à l'infini de l'axe des ordonnées.
Cette propriété peut également être dérivée si l'on représente la parabole semi-cubique par des coordonnées homogènes : Dans l'équation (A) le changement de variables (la droite à l'infini a pour équation ) et la multiplication par est effectuée. On obtient l'équation de la courbe en coordonnées homogènes : .
Choisir la ligne comme ligne à l'infini et introduire donne la courbe (affinée) y = x3.
Courbe isochrone
modifierUne propriété déterminante supplémentaire de la parabole semi-cubique est qu'il s'agit d'une courbe isochrone, ce qui signifie qu'une particule suivant sa trajectoire tout en étant attirée vers le bas par la gravité parcourt des intervalles verticaux égaux dans des périodes de temps égales. De cette façon, il est lié à la courbe tautochrone, pour laquelle les particules à différents points de départ mettent toujours le même temps pour atteindre le fond, et à la courbe brachistochrone, la courbe qui minimise le temps qu'il faut à une particule tombante pour se déplacer de son début à sa fin.
Histoire
modifierLa parabole semi-cubique a été découverte en 1657 par William Neile qui a calculé sa longueur d'arc[4]. Bien que les longueurs de certaines autres courbes non algébriques, y compris la spirale logarithmique et la cycloïde, aient déjà été calculées (c'est-à-dire que ces courbes ont été rectifiées), la parabole semi-cubique était la première courbe algébrique (à l'exclusion de la ligne et du cercle) à être rectifiée.
Notes et références
modifier- (de) August Pein, Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten, Druck von W. Stumpf, (lire en ligne)p. 2
- (de) August Pein, Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten, Druck von W. Stumpf, (lire en ligne)p. 26
- (de) August Pein, Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten, Druck von W. Stumpf, (lire en ligne)p. 10
- Alphonse Rebière, Mathématiques et mathématiciens, Librairie Nony & Cie, (lire en ligne), p. 377-378
Bibliographie
modifier- August Pein : Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten, 1875, Dissertation
Liens externes
modifier- (en) Clifford A. Pickover, « The Length of Neile's Semicubical Parabola », The Math Book, 2009
- (en) Eric W. Weisstein, « Semicubical Parabola », sur MathWorld
- (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Neile's Semi-cubical Parabola », sur MacTutor, université de St Andrews.