Cubique résolvante

En algèbre, une cubique résolvante est l'un des nombreux polynômes cubiques distincts, bien que liés, définis à partir d'un polynôme quartique unitaire :

P(x)=x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.

Dans chaque cas :

Les coefficients de la cubique résolvante peuvent être obtenus à partir des coefficients de $P (x)$ en utilisant uniquement des sommes, des soustractions et des multiplications.
La connaissance des zéros de la cubique résolvante de $P (x)$ est utile pour trouver les zéros de $P (x)$ elle-même. Ceci justifie le nom de « cubique résolvante ».
Le polynôme $P (x)$ a une racine multiple si et seulement si sa cubique résolvante a une racine multiple.

Définitions

On suppose que les coefficients de $P (x)$ appartiennent à un corps $k$ dont la caractéristique est différente de 2. Dès que les racines de $P (x)$ sont mentionnées, elles seront supposées comme appartenant à une extension $K$ de $k$ telle que $P (x)$ est développable en facteurs linéaires dans $K [x]$ . Si $k$ est le corps $Q$ des nombres rationnels, alors $K$ peut être le corps $C$ des nombres complexes ou le corps $Q$ des nombres algébriques.

Dans certains cas, le concept de cubique résolvante n'est défini que lorsque $P (x)$ est une quartique sous forme déprimée, c'est-à-dire dans le cas où $a 3 = 0$ .

On peut ajouter que les définitions 4 et 5 données plus bas sont toujours valables, ainsi que la relation entre ces deux cubiques résolvantes, dans le cas ou la caractéristique de $k$ est égale à 2.

Première définition

On suppose que $P (x)$ est une quartique déprimée, c'est-à-dire que $a 3 = 0$ Une définition possible de la cubique résolvante de $P (x)$ est alors^[1]:

R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{0})y-{a_{1}}^{2}.

L'origine de cette définition réside dans l'application de la méthode de Ferrari pour trouver les racines de $P (x)$ . Plus précisément :

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}

En ajoutant une nouvelle inconnue, $y$ , au terme $x 2 + a 2 /2$ , il apparait :

{\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}

Si cette expression est un carré, il ne peut s'agir que du carré de

{\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}.

Mais l'égalité

\left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{1}x-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}

est équivalent à

{\frac {{a_{1}}^{2}}{8y}}=-a_{0}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}

ce qui revient à l'équation $R 1 (y)$ = 0.

Si $y 0$ est une racine de $R 1 (y)$ , alors on déduit des calculs effectués ci-dessus que les racines de $P (x)$ sont les racines du polynôme

x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}

ainsi que les racines du polynôme

x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{1}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.

Il est évident que le calcul n'a d'intérêt que si $y 0 = 0$ , mais puisque le terme constant de $R 1 (y)$ est $- a 12$ , $0$ est une racine de $R 1 (y)$ si et seulement si $a 1 = 0$ , et dans ce cas les racines de $P (x)$ peuvent être trouvées à l'aide de la formule quadratique classique.

Deuxième définition

Une autre définition possible^[1] (en supposant toujours que $P (x)$ est une quartique dépréciée) est

R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}

L'origine de cette définition est similaire à la précédente. Cette fois, on commence la réécriture par :

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}

et un calcul similaire au précédent montre que cette dernière expression est un carré si et seulement si

8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{0}y+4a_{2}a_{0}-{a_{1}}^{2}=0{\text{.}}

Un simple calcul montre que cette seconde résultante est une version décalée de la première :

R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).

Troisième définition

Une autre définition possible^[2]^,^[3] (en supposant encore une fois que $P (x)$ est une quartique déprimée) est

R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y-{a_{1}}^{2}{\text{.}}

L'origine de cette définition réside dans une autre méthode de résolution des équations quartiques, en l'occurrence la méthode de Descartes. Si on cherche à trouver les racines de $P (x)$ en l'exprimant comme un produit de deux polynômes quadratiques unitaires $x 2 + αx + β$ et $x 2 - αx + γ$ , alors

P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (-\beta +\gamma )=a_{1}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

S'il existe une solution de ce système avec $α \neq 0$ (car si $a 1 \neq 0$ , alors ceci est automatiquement vrai pour toute solution), le système précédent est équivalent à

\left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\-\beta +\gamma ={\frac {a_{1}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{0}.\end{array}}\right.

Il découle des deux premières équations que…

\beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right)

Après avoir remplacé, dans la troisième équation, $β$ et $γ$ par ces valeurs, on obtient que

\gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{1}}{\alpha }}\right).

Après avoir remplacé, dans la troisième équation, $β$ et $γ$ par ces valeurs, on obtient l'égalité

\left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{0}{\text{,}}

Ceci équivaut à affirmer $α 2$ est une racine de $R 3 (y)$ . Ainsi, connaître les racines de $R 3 (y)$ permet de déterminer celles de $P (x)$ .

Il existe encore un lien avec une cubique résolvante définie supra :

R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}

Quatrième définition

Une autre définition possible est^[4]

R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{0})y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}-a_{0}{a_{3}}^{2}.

En fait, si les racines de $P (x)$ sont notées $α 1, α 2, α 3$ et $α 4$ alors

R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

un fait découle des relations de Viète . En d'autres termes, R ₄ ( y ) est le polynôme monique dont les racines sont $α 1 α 2 + α 3 α 4$ , $α 1 α 3 + α 2 α 4$ et $α 1 α 4 + α 2 α 3$ .

Il est alors simple de voir les factorisations :

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}

Par conséquent, $P (x)$ possède une racine multiple si et seulement si $R 4 (y)$ possède une racine multiple. Plus précisément, $P (x)$ et $R 4 (y)$ ont le même discriminant.

Si $P (x)$ est un polynôme déprimé, alors

{\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{0}y+4a_{0}a_{2}-{a_{1}}^{2}\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Cinquième définition

Une autre définition est^[5]^,^[6]

R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{3}a_{1}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}-a_{3}a_{2}a_{1}+{a_{3}}^{2}a_{0}{\text{.}}

Si, comme ci-dessus, les racines de $P (x)$ $α 1, α 2, α 3$ et $α 4$ alors

R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

ce qui se déduit encore une fois des relation de Viète. En d'autres termes, $R 5 (y)$ est le polynôme monique dont les racines sont $(α 1 + α 2)(α 3 + α 4)$ , $(α 1 + α 3)(α 2 + α 4)$ et $(α 1 + α 4)(α 2 + α 3)$ .

Il est facile de voir que

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}

Par conséquent, comme pour $R 4 (y)$ , $P (x)$ possède une racine multiple si et seulement si $R 5 (y)$ possède une racine multiple. Plus précisément, $P (x)$ et $R 5 (y)$ ont le même discriminant. Ceci se déduit directement du fait que $R 5 (y + a 2)$ = $- R 4 (- y)$ .

On peut remarquer que si $P (x)$ est un polynôme déprimé, alors

{\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{0})y+{a_{1}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Applications

Résolution d'équations quartiques

Il a été expliqué plus haut comment $R 1 (y)$ , $R 2 (y)$ et $R 3 (y)$ peuvent être utilisés pour trouver les racines de $P (x)$ si ce polynôme est déprimée. Dans le cas général, il suffit de trouver les racines du polynôme $P (x - a 3 /4)$ qui est dans une forme déprimée. Pour chaque racine $x 0$ de ce polynôme, $x 0 - a 3 /4$ est une racine de $P (x)$ .

Factorisation des polynômes quartiques

Si un polynôme quartique $P (x)$ est réductible dans $k [x]$ , alors il est soit le produit de deux polynômes quadratiques, soit le produit d'un polynôme linéaire par un polynôme cubique. Cette seconde possibilité se produit si et seulement si $P (x)$ admet une racine dans $k$ . Afin de déterminer si $P (x)$ peut être exprimé comme le produit de deux polynômes quadratiques, on suppose, par souci de simplicité, que $P (x)$ est un polynôme déprimé. On a vu précédemment que si la cubique résolvante $R 3 (y)$ possède une racine non nulle de la forme $α 2$ pour un certain $α \in k$ , alors une telle décomposition existe.

On peut utiliser ce résultat pour démontrer que, dans $R [x]$ , tout polynôme quartique sans racines réelles peut s'exprimer comme le produit de deux polynômes quadratiques. Soit $P (x)$ un tel polynôme. On peut supposer, sans perte de généralité, que $P (x)$ est unitaire. On peut également supposer, toujours sans perte de généralité, qu'il s'agit d'un polynôme déprimé, car $P (x)$ peut s'exprimer comme le produit de deux polynômes quadratiques si et seulement si $P (x - a 3 /4)$ peut et ce polynôme est un polynôme déprimé. Alors $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 a 2 y 2 + (a 22 - 4 a 0) y - a 12$ . Il y a deux cas :

Si $a 1 \neq 0$ alors $R 3 (0)$ = $- a 12 < 0$ Puisque $R 3 (y) > 0$ si $y$ est suffisamment grand, alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $R 3 (y)$ a une racine $y 0$ telle que $y 0 > 0$ Donc, on peut poser $α$ = $\sqrt y 0$ .
Si $a 1$ = $0$ , alors $R 3 (y)$ = $y 3 + 2 a 2 y 2 + (a 22 - 4 a 0) y$ . Les racines de ce polynôme sont $0$ et les racines du polynôme quadratique $y 2 + 2 a 2 y + a 22 - 4 a 0$ . Si $a 22 - 4 a 0 < 0$ , alors le produit des deux racines de ce polynôme est inférieur à $0$ et donc sa racine est supérieure à $0$ (qui se trouve être $- a 2 + 2 \sqrt a 0$ ) et on peut poser $α$ comme la racine carrée de cette racine. Sinon, $a 22 - 4 a 0 \geq 0$ et dans ce cas,

P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{0}}}}{2}}\right){\text{.}}

Plus généralement, si $k$ est un corps réel clos, alors tout polynôme quartique sans racines dans $k$ peut être exprimé comme le produit de deux polynômes quadratiques en $k [x]$ . En effet, cette propriété peut être exprimée en logique du premier ordre et toute propriété valable pour $R$ l'est également pour tout corps réel clos.

Une approche similaire peut être utilisée pour obtenir un algorithme^[2] permettant de déterminer si un polynôme quartique $P (x) \in Q [x]$ est réductible et, si oui, comment l'exprimer comme un produit de polynômes de degré inférieur ? On supposera à nouveau que $P (x)$ est monique et déprimé. $P (x)$ est réductible si et seulement si au moins une des conditions suivantes est vérifiée :

Le polynôme $P (x)$ admet une racine rationnelle (ceci peut être déterminé à l'aide d'une recherche de racine évidente).
La cubique résolvante $R 3 (y)$ possède une racine de la forme $α 2$ , pour un certain nombre rationnel non nul $α$ (par la même méthode).
Le nombre $a 22 - 4 a 0$ est le carré d'un nombre rationnel et $a 1$ = $0$ .

En effet:

Si $P (x)$ possède une racine rationnelle $r$ , alors $P (x)$ est le produit de $x - r$ et d'n polynôme cubique dans $Q [x]$ , qui peut être déterminé par division polynômiale ou par la méthode de Ruffini.
S'il existe un nombre rationnel $α \neq 0$ tel que $α 2$ soit une racine de $R 3 (y)$ , il a été montré supra comment exprimer $P (x)$ comme le produit de deux polynômes quadratiques dans $Q [x]$ .
Enfin, si la troisième condition est vérifiée et si $δ \in Q$ est tel que $δ 2$ = $a 22 - 4 a 0$ , alors $P (x)$ = $(x 2 + (a 2 + δ)/2)(x 2 + (a 2 - δ)/2)$ .

Groupes de Galois de polynômes quartiques irréductibles

La cubique résolvante d'un polynôme quartique irréductible $P (x)$ peut être utilisée pour déterminer son groupe de Galois $G$ ; c'est-à-dire le groupe de Galois du corps de décomposition de $P (x)$ . Soit $m$ le degré sur $k$ du corps de décomposition de la cubique résolvante (il peut s'agir soit $R 4 (y)$ , soit $R 5 (y)$ ; ils ont le même corps de décomposition). Alors le groupe $G$ est un sous-groupe du groupe symétrique $S 4$ . Plus précisément^[4]:

Si $m = 1$ (c'est-à-dire si le cubique résolvant se factorise en facteurs linéaires dans $k$ ), alors $G$ est le groupe ${e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)$ }.
Si $m = 2$ (c'est-à-dire si la cubique résolvante a une et, à multiplicité près, une seule racine dans $k$ ), alors, afin de déterminer Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre k. On peut déterminer si $P (x)$ est toujours irréductible après avoir ajouté au corps $k$ les racines de la cubique résolvante. Si ce n'est pas le cas, alors $G$ est un groupe cyclique d' ordre k. 4 ; plus précisément, il s'agit de l'un des trois sous-groupes cycliques de $S 4$ par l'un quelconque de ses six $4$ -cycles. S'il est encore irréductible, alors $G$ est l'un des trois sous-groupes de $S 4$ de l'ordre $8$ , chacun étant isomorphe au groupe diédral d'ordre $8$ .
Si $m = 3$ , alors $G$ est le groupe alterné $A 4$ .
Si $m = 6$ , alors $G$ est le groupe entier $S 4$ .

Voir aussi

Résolvante (théorie de Galois) (en)

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Resolvent cubic » (voir la liste des auteurs).

1 2 (en) Jean-Pierre Tignol, Galois' Theory of algebraic equations, World Scientific, 2016, 2^e éd. (ISBN 978-981-4704-69-4, zbMATH 1333.12001), « Quartic equations »
1 2 (en) Brookfield, G., « Factoring quartic polynomials: A lost art », Mathematics Magazine, vol. 80, n^o 1,‎ 2007, p. 67–70 (DOI 10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR 27642994, zbMATH 1227.97040, S2CID 53375377, lire en ligne [archive du 21 février 2015])
↑ (en) Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer-Verlag, 1997 (ISBN 0-387-98650-2, zbMATH 0954.51001)
1 2 (en) Irving Kaplansky, Fields and Rings, University of Chicago Press, coll. « Chicago Lectures in Mathematics », 1972, 2^e éd. (ISBN 0-226-42451-0, zbMATH 1001.16500)
↑ (en) Joseph Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1998 (ISBN 0-387-98541-7, zbMATH 0924.12001), « Galois groups of quadratics, cubics, and quartics »
↑ (en) Bartel Leendert van der Waerden, Algebra, vol. 1, Springer-Verlag, 1991 (ISBN 0-387-97424-5, zbMATH 0724.12001)

Liens externes

(en) David Terr, « Resolvant Cubic », sur MathWorld

Portail de l'analyse

[Tignol-1] 1 2 (en) Jean-Pierre Tignol, Galois' Theory of algebraic equations, World Scientific, 2016, 2^e éd. (ISBN 978-981-4704-69-4, zbMATH 1333.12001), « Quartic equations »

[Brookfield-2] 1 2 (en) Brookfield, G., « Factoring quartic polynomials: A lost art », Mathematics Magazine, vol. 80, n^o 1,‎ 2007, p. 67–70 (DOI 10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR 27642994, zbMATH 1227.97040, S2CID 53375377, lire en ligne [archive du 21 février 2015])

[3] (en) Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and Beyond, Springer-Verlag, 1997 (ISBN 0-387-98650-2, zbMATH 0954.51001)

[Kaplanski-4] 1 2 (en) Irving Kaplansky, Fields and Rings, University of Chicago Press, coll. « Chicago Lectures in Mathematics », 1972, 2^e éd. (ISBN 0-226-42451-0, zbMATH 1001.16500)

[5] (en) Joseph Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag, 1998 (ISBN 0-387-98541-7, zbMATH 0924.12001), « Galois groups of quadratics, cubics, and quartics »

[6] (en) Bartel Leendert van der Waerden, Algebra, vol. 1, Springer-Verlag, 1991 (ISBN 0-387-97424-5, zbMATH 0724.12001)

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