Discussion:Équation de Poisson

Etablissement de l'équation de Poisson : On dispose de deux équations, celle de Maxwell-Gauss : ${\vec {\nabla }}.{\vec {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ et la relation ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V$. On obtiens alors : ${\vec {\nabla }}.-{\vec {\nabla }}V={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$, soit encore $-{\vec {\nabla }}.{\vec {\nabla }}V={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ i.e. $\nabla ^{2}V+{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}=0$ appelée l'équation de Poisson.

Si maintenant, il n'y a aucune charge dans ce cas $\nabla ^{2}V=0$ appelée équation de Laplace.

problème de mélange entre unités CGS-Gauss et unités MKSA pour l'application à l'électrostatique !

Il faudrait revoir les parties sur l'application à l'électrostatique car il y a un mélange entre diverses formulations :

• CGS-Gauss Δφ=-4πρ (dans une approche microscopique pour laquelle ρ est la densité volumique de toutes les charges, situées dans le vide)
• CGS-Gauss Δφ=-4πρ/ε (dans une approche macroscopique où ρ ne représente plus que la densité volumique de charges différentes de celles qui assurent la polarisation du milieu ambiant linéaire, homogène et isotrope, de permittivité (relative) ε)
• MKSA Δφ=-ρ/ε₀ (dans une approche microscopique pour laquelle ρ est la densité volumique de toutes les charges situées dans le vide de permittivité diélectrique ε₀)
• MKSA Δφ=-ρ/ε_rε₀ (dans une approche macroscopique où ρ ne représente plus que la densité volumique de charges différentes de celles qui assurent la polarisation du milieu ambiant linéaire, homogène et isotrope, de permittivité diélectrique relative ε_r)