Discussion:Application (mathématiques)

Bonjour !

Je n'ai pas encore tout vu sur ce site car il est tres vaste ! Auriez vous vu un endroit ou l'on explique l'étude de fonction ?

Si cela n'existe pas, es ce dans le profil de ce site, si oui je peux réaliser un début de page!!

a+

Arno S.

Exemples de fonctions

L'âge est une fonction (prend l'homme et lui associe un nombre):

- non injective (plusieurs hommes peuvent avoir le même âge)
- surjective que si on reduit l'ensemble d'arrivée aux âges possibles

La relation qui à chaque ville associe sa lattitude et sa longitude (est une fonction):

- injective (pour une coordonnée il y a au plus une ville)
- non surjective (il n'y a pas de villes partout)

La relation entre individus et nationalités (n'est pas une fonction), un individus peut avoir plusieurs nationalités.

Là je suis pas sur, ca pourrait être une fonction ni injective, ni surjective (les apatrides) :)

La relation entre chaque état et son chef d'état (est une fonction):

- injective (un chef d'état est chef de au plus 1 état)
- surjective (un chef d'état est chef de au moins un état, exception pour l'Andorre)

La relation qui à tout entier naturel associe son successeur (est une fonction):

- injective (n->n+1)
- non surjective car sur l'ensemble des entiers 0 n'a pas d'antécédant

Fonction vs application

C'est bizarre, on dirait que dans toutes les autres langues (Anglais, Allemand,...) on appelle "fonction partielle" ce que nous appelons "fonction", et "fonction" ce que nous appelons "application". Je pensais qu'en Anglais resp. Allemand les mots "map" resp. "Abbildung" signifiaient "application", et fonction = fonction partielle.

Du coup, en anglais on ne distingue pas "ensemble de départ" (nom officiel ?) du "domaine" (= ensemble de définition). Quel serait le terme adequate ?

Qu'en pensez vous ? ---MFH 10 mar 2005 à 07:36 (CET)

Tout est question de convention, mais dans ce cas précis, il existe quelques arguments, essentiellement d'ordre pédagogique, en faveur du couple (fonction, application) en opposition à (fonction partielle, fonction) :

• Quelqu'un ignorant la définition de ces termes et les rencontrant pour la première fois pensera qu'une « fonction partielle » doit être une « fonction » avec une propriété supplémentaire; or, nous avons ici l'inverse : une « fonction » dans l'acception anglo-saxonne, est un cas particulier de « fonction partielle », alors qu'habituellement, les appellations vont du général au particulier (par exemple, un espace vectoriel normé est un cas particulier d'espace vectoriel, lui-même cas particulier d'espace), et ce pour une bonne raison : en reprenant notre exemple, il existe des espaces vectoriels non normés; transposé aux « fonctions partielles », cela signifie qu'il existe des « non-fonctions » qui sont quand même des fonctions...partielles (!?!). Allez donc vous y retrouver!
• Revenons aux définitions de ces termes ; dans l'acception anglo-saxonne, cela donnerait :

- une « fonction partielle » est une correspondance fonctionnelle

- une « fonction » est une « fonction partielle » applicative

(Rappelons que :

- d'une part, une correspondance est fonctionnelle si on peut recourir à la notation fonctionnelle y = f( x), ce qui n'est possible que si « f( x) » n'offre pas d'ambiguïté, c'est-à-dire si tout élément de l'ensemble de départ a au plus une image par f;

- d'autre part, une correspondance est applicative si elle s'applique à tous les éléments de l'ensemble de départ, donc si tout élément de l'ensemble de départ a au moins une image par f).

Bref, une « fonction » serait définie comme une « fonction partielle applicative ». Encore une fois, pour quelqu'un ne connaissant pas les termes, la définition parait circulaire!

Comparativement, les termes français mène à des définitions plus simples et plus claires :

- une fonction est une correspondance fonctionnelle

- une application est une fonction applicative

• Examinons aussi certaines conséquences :

- les applications linéaires devraient être rebaptisées « fonctions linéaires »; or, en français, les fonctions linéaires désignent déjà autre chose ( les fonctions numériques qui à x, associent a.x ), d'où apparition d'une ambiguïté!

- les fonctions numériques, justement, qui dans l'acception actuelle, sont bien des fonctions et pas seulement des applications (pensez à la fonction 1/x, par exemple) devraient être rebaptisées « fonctions partielles numériques » pour rester cohérent;

- plus généralement, on n'étudierait plus des fonctions (sous-entendu numériques), mais des « fonctions partielles » ! (Au fait, pourquoi à votre avis, étudie-t-on des fonctions et non des applications ? )

-...

En résumé, l'adoption de la terminologie anglo-saxone dans ce cas précis sémerait le trouble dans les esprits, entraînerait des complications inutiles et me semble ainsi contre-intuitive, pour ne pas dire contre-productive.

194.214.213.67 22 avr 2005 à 17:46 (CEST)

l'usage du couple fonction/application pour fonction partielle/fonction était en usage en particulier dans l'enseignement secondaire dans les années 1970-1980 (il me semble que ça a été abandonné, parce qu'il n'y a plus de fonctions partielles). Il n'a jamais été adopté pleinement dans la communauté universitaire. Je le croyais plus ou moins abandonné, mais d'après cet article ce ne serait pas le cas. Il faudrait donc au minimum mentionner l'autre usage (courant en français aussi). Il me semble que les mots "fonction" et "application" étaient utilisés historiquement dans des domaines différents (numérique/géométrie), vague souvenir à préciser et vérifier. Proz 29 août 2006 à 14:34 (CEST) J'ajoute, pour répondre à l'argumentaire ci-dessus, que l'autre point de vue se défend aussi : les choses deviennent plus compliquées avec les fonctions partielles, la composition, en particulier, et ça ne vaut la peine d'introduire cette notion que quand on en a vraiment besoin. Les fonctions numériques par ex. se définissent très bien comme des fonctions d'un sous-ensemble de R dans R. Donc l'alternative, c'est plutôt de parler d'abord de fonction, et quand c'est vraiment nécessaire, c'est à dire dans des conditions assez particulières, de fonction partielle.

Je suppose que tout cela a dû faire l'objet de nombreuses discussions et controverses, en ce qui concerne l'enseignement. Si quelqu'un avait une vision historique plus précise et claire que la mienne ça permettrait probablement de présenter les deux points de vue, en privilégiant celui qui est majoritaire actuellement. Proz 29 août 2006 à 15:10 (CEST)

Aïe, j'ai une autre façon d'opposer fonction à application, apparemment. Pour moi, toute flèche est une application entre deux ensembles, et je réserve le mot fonction pour une application à valeurs réelles ou complexes, à la limite vectorielles ! Ektoplastor, le 29 août, 14:53.

Oui, c'est peut-être plus conforme à l'usage historique (fonction : à valeur numérique). Proz 29 août 2006 à 15:16 (CEST)

Je suis de cet avis. Une fonction sans précision représente presque automatiquement une fonction numérique. D'ailleurs on pense tout de suite aux fonctions linéaires, affines, rationnelles. La notion très générale de fonction qui laisse certains éléments de l'ensemble de départ sans image n'est presque jamais utilisée, mais existe bien. Par contre lorsque l'on cherche à généraliser les fonctions numériques, on définit la notion d'application (en précisant que certains les appellent abusivement des fonctions) et normalement tout est défini à partir des applications (applications linéaires, etc.). Au passage je signale que l'on ne confond jamais application linéaire et fonction linéaire. Oxyde 29 août 2006 à 15:28 (CEST)

Juste un dernier point de détail : une fonction réelle est mesurable est définie seulement presque partout (bon, d'accord, j'exagère un peu, en la prolongeant par 0, on obtient une vraie fonction réelle sans en changer les propriétés pour l'étude probabiliste). Ektoplastor, 17:02

Présentation vulgarisée

J'ai modifié un peu le vocabulaire de la pésentation vulgarisée mais je ne suis pas très convaincue de son bien fondé. Elle ne me paraît pas plus compréhensible qu'une bonne définition. Il me semble que un néophyte ne voit pas plus la transformation que la définition théorique. La fonction me semble davantage correspondre

• tantôt à une correspondance : un prix en fonction d'une quantité achetée, une taille en fonction de l'âge, à un segment on associe sa longueur, à une surface on associe une aire... Je signale que c'est cette idée qui transparait dans le vocabulaire "la fonction f qui à x associe y"
• Tantôt à un déplacement , par la translation t, le point M s'est déplacé en M'
• Parfois seulement à une transformation : une boite dans laquelle rentre un nombre et de laquelle il ressort transformé

Mais il est toujours difficile de combiner vulgarisation et rigueur mathématique. Si quelqu'un a une idée pour modifier l'introduction ce ne serait pas plus mal. HB 9 juillet 2006 à 19:21 (CEST)

le problème de ces exemples, en plus, c'est qu'ils ne font pas ressortir clairement la différence avec la notion d'application. À ce titre, il faudrait des exemples du type la fonction qui à un candidat associe sa place à un championnat (il peut y avoir des éliminés ou non classés). Mais quoi de mieux qu'un exemple de la fonction numérique ?

Contrairement à HB je trouve qu'il faut amortir le choc de la définition formelle actuelle, assez rébarbative. J'aimerais au moins une formulation préliminaire du type : une fonction de l'ensemble E dans l'ensemble F associe à chaque élément de E soit un élément de F appelé image, soit aucun élément. Cette façon de formuler les choses a l'avantage d'être plus "dynamique" car moins symétrique en E et F.

Et de ce fait, il me semble plus simple d'entamer par la définition d'une application.

Enfin il y a un point non mentionné, c'est l'usage de la notion de fonction en physiques, qui n'est pas celui des maths, mais ça risque de polluer encore plus le débat Peps 10 juillet 2006 à 00:36 (CEST)

Pierre Richard en "prof de maths" dans "la moutarde me montre au nez" (1974)...ça vaut le déplacement !!! Soit la fonction exp(-x).sin(x)...la dérivée est exp(-x).(cosx-sinx),elle s'annule pour x=pi/4...Fonction croissante ,décroissante....

Soit l'image de f qui constitue un sous espace vectoriel....

L'acteur est plus vrai que nature dans ce role...

Frydman Charles

Besoin d'aide

Voila j'ai un petit problème, et je ne trouve pas la réponse sur Wiki:

c'est un exemple:

$l(x)=f(x+2)$

comment faire pour calculer $l(-3)$? ( précision : $f(-3)=1$)

j'espère que vous avez assez de renseignement,merci de m'expliquer si possible

--bibiche 10 septembre 2006 à 16:13 (CEST)

Changement de variable : $X=x+2$ donc l(x)=f(x+2) ⇒ l(X-2)=f(X) et l(-3)=f(-1). Où est le problème ? Grimlock 10 septembre 2006 à 16:18 (CEST)

Encore plus simple: En utilisant le principe de substitution, remplacer directement $x$ par $-3$ dans l'expression « $l(x)=f(x+2)$ » (pas de changement de variable). Ce qui donne: $l(-3)=f(-3+2)$. Comme $-3+2=-1$, on a bien $l(-3)=f(-1)$. $\square$ 147.210.22.149 29 novembre 2006 à 15:08 (CET)

Reprise de l'article

Je suis d'accord avec le sens général des modifications entreprises par Ektoplastor. J'ai un peu repris l'intro. Détail : j'ai enlevé la référence aux fonctions à valeurs vectorielles, parce que j'avais déjà réécrit autrement, et que ça demande une précision, les applications linéaires sont à valeurs vectorielles (et est-ce à préciser dans l'intro ?).

Autre point : mentionner Zermelo-Fraenkel au début de l'article me semble excessif. C'est à rejeter en fin d'article.

Enfin il faut quand même mentionner l'ancien point de vue (fonction comme fonction partielle) à mon avis. Proz 8 février 2007 à 23:14 (CET)

Précision : j'ai enlevé "En règle générale, l'existence d'applications repose sur l'axiome du choix", parce que sans précision supplémentaire, ça ne veut pas dire grand chose, et parce qu'on peut éviter de mentionner l'axiome du choix dans l'intro. Proz 8 février 2007 à 23:31 (CET)

On peut évidemment construire des applications sans l'axiome du choix. Mais il est difficile pour la majeure partie des mathématiques disposer des applications en nombre suffisant (surtout en analyse). Je pense qu'il faut donner une définition informelle dès l'introduction, puis un paragraphe histoire où justement on explique comment les applications ont été introduites et où on renvoie à un article sur le sujet (très large). Enfin seulement on peut donner le paragraphe de définition. Cela va exactement en ton sens, si je ne fais pas d'interprétation abusive. Ekto - Plastor 8 février 2007 à 23:45 (CET)

Pour l'analyse : il me semble que si tu veux des applications en nombre suffisant, tu parles donc d'analyse fonctionnelle. En analyse réelle les fonctions dont on dispose "naturellement" suffisent (autant que ça ait un sens). Une forme très faible d'axiome du choix (l'axiome du choix dépendant) est suffisante pour faire de l'analyse réelle.

En fait j'ai l'impression que tu écris en pensant effectivement à l'analyse. Mais la notion de fonction est générale. On en parle aussi en algèbre, en combinatoire, en logique, en informatique ... Il faut que tout le monde puisse s'y retrouver. Il serait bien que le lecteur lambda (étudiant de terminale ou de première année de fac) puisse lire une définition un peu plus formelle (peut-être), et surtout les définitions élémentaires : composition, injection etc. (style ce que l'on trouve dans un bouquin de deug ou de taupe) dans la première partie de l'article. Dans la suite évidemment on peut aller plus loin. Proz 9 février 2007 à 00:24 (CET)

Sans aller jusque dans l'analyse fonctionnelle, les fonctions usuelles ne suffisent visiblement pas en analyse réelle. En analyse (moyennant l'axiome du choix), on dispose d'un nombre non dénombrable d'applications régulières. En oubliant l'axiome du choix, on doit définir les fonctions de manière récursive, ce qui me semble insatisfaisant. Je ne connais pas l'axiome du choix indépendant mais ça m'intéresserait de lire un article sur le sujet. En attendant, j'irais voir dans une bibliothèque.

Sinon, oui, merci, évidemment qu'on rencontre des applications partout. (Là on défonce vraiment des portes, non ?) Tiens, j'ai oublié de mentionner que l'ensemble d'arrivée est nécessairement non vide, si l'ensemble de départ l'est.

C'est vrai qu'il est souhaitable de précéder la partie Définition d'une définition élémentaire et des propriétés qui en découlent. Mais je maintiens de devoir créer un paragraphe Histoire au tout début de l'article.

Ekto - Plastor 9 février 2007 à 00:47 (CET)

D'accord bien-sûr pour le paragraphe historique (pas facile par ailleurs). L'axiome du choix dépendant (pas indépendant) : tu as l'énoncé dans axiome du choix. Sinon, l'analyse sans axiome du choix n'est pas l'analyse récursive (le problème c'est plutôt le tiers-exclu). Mais bon tout ça n'est pas si important, je ne prétends pas que l'axiome du choix ne sert pas mais il sert assez tard. Borel conteste l'axiome du choix par ex. Dans le § sur la théorie des ensembles, d'une part on peut dire le contraire avec d'autres arguments (qu'est-ce qu'une fonction intéressante ?), suffisamment de fonctions serait déjà moins contestable, d'autre part tu peux être sûr d'être mal interprété, puisque pour des tas de gens fonction n'est pas forcément fonction en analyse. (Détail mineur : pas besoin de schéma de remplacement pour l'existence de l'image d'une fonction = ensemble de couples, ni d'invoquer d'axiome pour un élément dans un ensemble non vide, je peux corriger mais tu as l'air en train d'éditer ...). Proz 9 février 2007 à 10:27 (CET)

Deux ensembles sont distincts s'ils ne contiennent pas les mêmes ensembles. Il existe un ensemble, l'ensemble vide, qui ne contient aucun élément. Bien que ça fait longtemps que je n'ai plus touché à la logique, mais ce sont là deux axiomes indépendants l'un de l'autre desquels on déduit qu'un ensemble est non vide s'il contient au moins un élément...

Sinon, comment démontrer que la collection des f(x) est un sous-ensemble de F sans le schéma de remplacement ? Pour moi, le schéma de remplacement donne justement pour tout ensemble A l'existence d'un ensemble B contenant tous les y tels que g(x,y,...) où g dépend éventuellement de paramètres. Me trompe-je ?

Ekto - Plastor 9 février 2007 à 10:36 (CET)

A non vide : c'est par définition A contient au moins un élément. Tu choisis A différent de l'ensemble vide, je n'y avais pas pensé, c'est certes possible, mais bien contourné (on définit normalement être vide avant l'ensemble vide) !

Remplacement : ça n'est utile que si g est une classe (définie par une formule). Pour un ensemble de couples l'argument que tu as donné je crois pour l'ensemble de départ fonctionne pour l'ensemble image (par compréhension, et suffisamment de fois l'axiome de la réunion sur le graphe). Proz 9 février 2007 à 11:57 (CET)

Il est écrit:

Par contre, si F est vide, l'unique sous ensemble de E×F, l'ensemble vide, ne définit pas d'application  : la seconde relation fonctionnelle ne peut être vérifiée.

Les éléments de l'ensemble vide vérifie tout ce qu'on veut. Oxyde 9 février 2007 à 12:30 (CET)

Ca y est j'ai compris : l'image est l'ensemble des éléments de l'ensemble d'arrivée tels qu'il existe une préimage. Du fait qu'on sait déjà que les éléments sont dans un ensemble, on a besoin que du schéma de compréhension. Est-ce ça ?

Non ??? Tu considères F vide et E non vide je suppose et, il n'est pas indiqué E non vide. Oxyde 10 février 2007 à 19:17 (CET)

pas besoin de l'ensemble d'arrivée, il suffit de dire que le graphe est un ensemble, voir l'article couple (mathématiques) (autant être exact, mais tout ça c'est du détail, et à reléguer en fin d'article) Proz 9 février 2007 à 22:20 (CET)

Pour tout x dans E, il existe y appartenant à F tel que ... Or F est l'ensemble vide. Il n'existe donc pas d'application de F dans l'ensemble vide. Ici, ce ne sont pas les éléments de l'ensemble vide qui vérifient une propriété. Ma phrase est légèrement mal tournée. Ekto - Plastor 9 février 2007 à 14:28 (CET)

A poursuivre

J'ai un peu nettoyé l'article, essayé de compléter ou d'harmoniser sur certains points, relégué la théorie des ensembles (après corrections et explicitation de la formalisation alternative, utilisée précédemment implicitement) en fin d'article. Il manque toujours des exemples illustratifs simples, comme déjà mentionné par HB dans cette page de discussion, des schémas également. Il faudrait parler d'image et d'image réciproque d'un sous-ensemble. Dans la suite, parler de l'usage de la notion de fonction en physique (mentionné par Peps) me semble une bonne idée, j'ajouterais la même chose pour l'informatique. Proz 21 octobre 2007 à 02:41 (CEST)

Remarques de HB (d · c · b) sur la reprise

Changement de titre de fonction vers application

l'article précédent distinguait la fonction et l'application : celui ci semble dire qu'une fonction est seulement une application numérique. Cela me fait grincer des dents : certes ma formation date de ces fameuses années 70, mais je ne dois pas être la seule à faire le distingo : fonction =au plus une image, application = une image et une seule. Faire fi de cette définition qui a duré au moins 30 ans me semble un peu léger. Une allusion dans le corps de l'article me semble judicieux

le fait de faire disparaitre l'article sur la fonction pour l'appeler application rend plus difficile l'introduction de l'aspect historique sur la notion de fonction (voir le site chronomath et leibniz)

Je n'ai rien compris. Peux-tu être plus clair dans ta distinction entre fonction et application ?

année 70 et plus : une fonction de A vers B est un ensemble non vide de couples ordonnés (x;y) avec x dans A et y dans B tel que à chaque x de A correspond au plus un y (c-à-d 0 ou 1 y) . Le correspondant de x (quand il existe) est noté f(x) ou image de x. L'ensemble des x possédant une image est appelé domaine de définition de f (on préfère maintenant le terme d'ensemble de définition car le terme de domaine semble recouvrir d'autre concepts). Ainsi, on dira « f est une fonction de R dans R qui à x associe 1/x. Son ensemble de définition est R* ». Et on dira « g est une application de R* dans R qui à x associe 1/x ». Mais je t'engage à lire l'article Correspondance et relation qui précise très bien les choses.

Ma formation date de 2 ans, et j'ai aussi appris « fonction = au plus une image, application = une image et une seule »... on devrait au moins préciser que cette distinction-là existe. — Florian, le 9 février 2007 à 22:10 (CET)

Travail sur l'ensemble de départ

Disparait du même coup le travail sur l'ensemble de départ qui transforme une fonction en une application. L'allusion à ce travail me semble important car une fonction est souvent rencontrée par son expression. la recherche du bon ensemble de départ que je continue à appeler l'ensemble de définition est une préoccupation importante.

Tu parles du domaine de définition. Oui, c'est important (voir par exemple les opérateurs non bornés). En fait il suffit de supprimer la deuxième relation fonctionnelle. L'image n'est pas toujours définie. Par contre le domaine de définition est toujours un ensemble en appliquant le théorème de compréhension, par restriction on se ramène donc à un ensemble.

Je ne comprends pas "il suffit de supprimer la deuxième relation fonctionnelle ". Le fait que le domaine de définition soit un ensemble ne me pose pas de problème d'éthique et je n'ai pas besoin de citer le théorème de compréhension. Le fait que le premier ensemble de départ ne définisse pas une application est important car tu ne peux alors pas parler de restriction (rectriction de quoi ?) alors qu'on parlait de restriction d'une fonction sans problème.

Je ne comprends pas "il suffit de supprimer la deuxième relation fonctionnelle ". Le fait que le domaine de définition soit un ensemble ne me pose pas de problème d'éthique et je n'ai pas besoin de citer le théorème de compréhension. Le fait que le premier ensemble de départ ne définisse pas une application est important car tu ne peux alors pas parler de restriction (rectriction de quoi ?) alors qu'on parlait de restriction d'une fonction sans problème.

Désolé il s'agissait en fait de l'axiome de compréhension. Le fait que la collection des x telle que l'image soit définie soit un ensemble n'a rien d'évident. C'est un axiome indépendant des autres. Je peux toujours définir une application comme un sous-ensemble G du produit ExF intersectant chaque fibre en au plus un point. Je définis alors la restriction à E' comme l'intersection de G avec E'xF. Si E' est le domaine de définition, alors la restriction intersecte chaque fibre en exactement un point. Ce que tu appelles fonction est une application définie sur un sous-ensemble de E. Le fait que ça soit un sous-ensemble demande d'avoir la bonne théorie axiomatique. Donc, ton approche est intuitionniste. Tu définis a priori l'application que tu souhaites, mais tu vois que tu es obligé de restreindre le domaine de définition. Amha, ce n'est pas démodé. Mais le vocabulaire change.

C'est typiquement ce qui se passe pour les opérateurs non bornés. Pour citer un exemple riche, à une fonction f réelle d'une variable réelle de carré integrable tu associes sa dérivée. L'application linéaire que tu obtiens n'est pas définie partout, seulement sur un sous-ensemble dense, qui est en fait un espace de Sobolev, tu l'auras compris.

Mais application et fonction sont des termes qui doivent remonter à Bourbaki, ça ?

La différence entre les deux n'est pas nouvelle. Et cela m'étonne qu'il y a trente ans, on utilisait un vocabulaire complètement différent. Je crains que si on commence à faire référence à toutes les réformes de l'éducation nationale ... Ekto - Plastor 9 février 2007 à 18:03 (CET)

Article pour puriste

Les préoccupations sur l'axiome du choix et le travail sur des applications dont l'ensemble de départ et/ou l'ensemble d'arrivée est vide me parait une préoccupation de puriste. Il y a, à mon avis, à faire bien autre chose avant d'en arriver là. Peut être par exemple citer des exemples pratiques et basiques de fonctions....

Puriste, moi ? Mais tu as raison : on doit commencer par une partie Histoire. (Commençons donc par le commencement : rédigeons l'article Histoire des fonctions !).

Comme on le dit souvent, la logique mathématique vient un peu en dernier.

Bon courage pour la reprise. HB 9 février 2007 à 16:40 (CET)

Merci. Ekto - Plastor 9 février 2007 à 16:57 (CET)

fonction et application

Je remets en place la version de 82.230.232.194 qui a été revertée : elle contient des corrections essentiellement typographiques du paragraphe de HB (que je trouve très clair et agréablement synthétique tel qu'il est, par ailleurs). L'affirmation ajoutée "Celui-ci [l'usage] n'a d'ailleurs jamais été adopté par la communauté mathématique dans son ensemble", est évidente et n'a pas besoin d'être référencée précisément. Proz 12 février 2007 à 23:17 (CET)

Ce n'est pas parce la tendance est de confondre application et fonction que la communauté scientifique n'a jamais vraiment adopté la distinction entre les deux notions, ou alors peut-être parles-tu dans le cadre de l'enseignement ? Il y a d'ailleurs encore des ouvrages (plus rares) qui font encore cette distinction entre relation fonctionnelle et applicative. Oxyde 13 février 2007 à 00:02 (CET)

S'il y a une tendance à la confusion, il faudrait citer qqn qui l'a dénoncée et non véhiculer une telle affirmation. Ekto - Plastor 13 février 2007 à 00:37 (CET)

Tu cites qui ? :-) Oxyde 13 février 2007 à 00:48 (CET)

(réponse à Oxyde) Pour "jamais dans son ensemble", je comprends "jamais unanimement", ce qui me semble clair, vu la littérature en français, et l'influence de l'anglais (si je ne me trompe on a toujours dit "partial function"). En récursivité (où c'est vraiment nécessaire) on a toujours parlé de fonction partielle par exemple. Sur le fond je pense que tout ça a peu d'importance, sauf pour le débutant qui peut être troublé si jamais il rencontre deux définitions différentes sous le même nom (et qu'il s'en rend compte), et pour cela le paragraphe "fonction et application" est utile. Proz 13 février 2007 à 01:04 (CET)

Pour Oxyde : qu'est ce que j'en sais ! Tu noteras le conditionnel !

Pour Proz : D'accord avec toi, cependant, partiel s'utilise en logique, mais l'usage peut changer suivant les domaines de mathématiques ; ou les domaines scientifiques. Ekto - Plastor 13 février 2007 à 01:07 (CET)

Pour Ekto, ce n'est pas très encyclopédique, le sourçage est de rigueur (Le règlement intérieur p. 5)

Pour Proz, je suis d'accord ça n'a pas beaucoup d'importance. Surtout que la distinction entre les deux notions ne va jamais plus loin qu'un chapitre dans les livres où elle est faite. Oxyde 13 février 2007 à 01:23 (CET)

Voyons, Oxyde, je n'ai jamais défendu cette information. Mais je ne demande pas de sourcer l'affirmation mais de citer ouvertement un mathématicien ou quelqu'un de bien placé et de reconnu et de donner les références de cette citation. (Oui, parce qu'on source une information, mais on cite un avis et une opinion, hors, là c'est un avis et une opinion, un POV). En attendant, c'est à supprimer, comme tous les POV ... Article 458-6746-123-BE43 du sixième amendement du règlement intérieur Ekto - Plastor 13 février 2007 à 01:32 (CET)

Après quelques renseignements pris à droite et à gauche, le notion de fonction comme relation fonctionnelle, permet de donner un sens à la question suivante:

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f de R dans R $x\mapsto {1 \over x}$

Et cela consiste alors à déterminer la plus grande partie D de R, telle que la restriction de f à D soit une application. Sinon on est obligé de dire voila une application f de R dans R $x\mapsto {1 \over x}$ (ce qui faux); et de poser la question est-elle bien définie ? Oxyde 14 février 2007 à 11:30 (CET)

On peut parler du domaine de définition de f(x)=1/x sur R (au sens de l'expression 1/x). Proz 14 février 2007 à 20:58 (CET)

Erreur de définition?

N'y a-t-il pas une erreur dans la section Théorie des ensembles, pour la propriété d'existence? Il me semble qu'exiger que le graphe satisfasse que pour tout x, ∃ y   (x, y) ∈ G fait de G un monstre qui contient tous les ensembles! --85.4.157.61 (d) 23 septembre 2009 à 20:44 (CEST)

Vous avez raison. Proz (d) 10 octobre 2009 à 16:13 (CEST)

Une étrange dualité dans les discussions: question sur l'ensemble d' arrivée

Je vois que dans ces pages la discussion se déroule surtout autour de l'ensemble de départ. Dans les pages en Anglais, c'est l'ensemble d' arriveé qui en fait l'objet (ceci n'est pas une blague). Depuis 1960, j'ai inévitablement rencontré un grand nombre de livres (principalement en Anglais) commencant par Halmos, Bartle, Herstein etc. (1960-70) jusqu'au présent (Gries & Schneider (2010), Krantz (2005), Velleman (2009) qui définissent la fonction simplement comme un ensemble de paires (avec la propriété bien connue) mais rien de plus, donc simplement G au lieu de (E, F, G). Dans mes recherches concernant l'utilisation de fonctions dans des applications tres diversifiées, la définition simple s'est montrée tellement supérieure que j'ai cessé d'utiliser la fonction avec ensemble d'arrivée attaché depuis 1990. Ma question est: ou peut-on trouver un traitement systématique démontrant les avantages d'attacher un ensemble d'arrivée a la notion de fonction? En d'autre mots: est-ce qu'il y a des arguments qui justifient ce choix? Boute (d) 31 juillet 2012 à 16:43 (CEST)

Ca dépend de à quoi on s'intéresse. Cette définition est évoquée dans le paragraphe sur la théorie des ensembles. Proz (discuter) 4 mars 2016 à 21:52 (CET)

Une question : comment définissez-vous une fonction surjective si vous ne connaissez pas l'ensemble d'arrivée ? Bien sûr, on doit pouvoir aussi se passer de la surjectivité, après tout, il est équivalent de dire que $f:E\to F$ est surjective (selon la définition habituelle) et de dire que l'ensemble $G$ (identique à la fonction selon votre définition alternative) a son ensemble image égal à $F$. Je viens de constater au détour d'une question sur math.stackexchange.com que la définition anglo-saxonne est différente. Ça m'interpelle quelque peu de voir la définition formelle de l'article en:Function (mathematics) et à côté de ça de voir des articles en:Surjective function et en:Codomain.
kiwipidae (discuter) 7 septembre 2016 à 10:41 (CEST)

Fonction vs application (bis)

Je vois bien que c'est une question déjà abordée, mais comme je viens d'être confronté à la question de l'ensemble d'arrivée, je vais rebondir sur l'ensemble de départ. Je n'ai jamais vu au cours de mes études supérieures de mathématiques, en France, une définition de fonction qui soit différente de application. Cela signifie en particulier qu'il a toujours été exigé que l'ensemble de définition soit égal à l'ensemble de départ. J'ai effectivement vu, si mes souvenirs sont exacts, quelque chose de différent en terminale, mais je trouve que, loin d'apporter une clarté pédagogique, ça complique au contraire inutilement les choses à un moment où la connaissance mathématique (et formalisée) de l'étudiant est en pleine formation. Et même sans considérer cela, c'est douteux pédagogiquement. Par exemple, la fonction $x\to 1/x$ est continue. Elle est continue sur son ensemble de définition, mais elle n'est évidemment pas définie en 0, donc elle est définie et continue sur $]-\infty ,0[\cup ]0,+\infty [$. Alors que si l'on dit que $x\to 1/x$ est une fonction sur $\mathbb {R}$, on en arrive à penser qu'elle n'est pas continue (sous entendu, pas continue en 0), ce qui est idiot puisque 0 ne fait pas partie de l'ensemble de définition. C'est un piège bien connu, qui est rendu possible en particulier par ce glissement de définition entre la terminale et le supérieur. La moindre des choses serait de signaler les usages alternatifs du terme fonction, au lieu de faire croire au lecteur que c'est ainsi et jamais autrement. kiwipidae (discuter) 7 septembre 2016 à 10:45 (CEST)

Surtout quand l'usage "alternatif" est ultra-majoritaire. C'est une séquelle de l'enseignement français des années 1970. Tout cela a déjà été discuté, mais la définition marginale a quand même évacué celle majoritaire. Proz (discuter) 28 avril 2017 à 17:18 (CEST)

Je ne comprendrai jamais comment des gens capables de distinguer (et d'y voir un intérêt) les notions de surjectivité et d'injectivité sont incapables de distinguer les notions symétriques d'applicativité et de fonctionnalité (ou n'y voient pas d'intérêt). Pour rappel, à la marge des fonctions il y a la notion plus générale de relation et un calcul qui va avec. --Epsilon0 ε₀ 28 avril 2017 à 18:42 (CEST)

La seule façon d'avancer, et pour ne pas recommencer tous les 10 ans, c'est d'améliorer le sourçage. On ne va pas trouver je pense de discussion sur le sujet. Je viens de vérifier que Van der Waerden Modern Algebra (trad; anglaise 49) pour function et mapping, Bourbaki théorie des ensembles 1970 (je ne sais pas d'où sortent les années 1950 dans l'article), Rudin Analyse réelle et complexe (traduction 1978), Godement Analyse 1 1996 définissent tous de façon identique fonction et application. Ceci pour prendre quelques livres influents sur une période assez longue, mais je n'ai jamais trouvé la définition alternative dans un livre de math, seulement dans un article de l'Universalis, et une allusion dans un bouquin de math sup (Ramis Deschamps Audoux) au fait que c'est la définition utilisée dans le secondaire (à l'époque évidemment), prudemment ils ne définissent qu'application et pas fonction. Bref, on pourrait un peu retravailler le paragraphe "fonction et application" qui est essentiellement correct la définition usuelle en résumé, avec mention de l'usage alternatif (j'ai des doutes sur le choix des exemples par ailleurs). Il y aura un autre problème qui est le fork fonction (mathématiques).Proz (discuter) 28 avril 2017 à 19:55 (CEST)

Dictionnaire des mathématiques modernes, Lucien Chambadal 1969. Fonction, synonyme d'application en pratique terme réservé au cas où l'ensemble d'arrivée est réel ou complexe; (on réserve encore le nom de fonction à une application définie sur une partie non précisée d'un ensemble donné...)HB (discuter) 28 avril 2017 à 20:26 (CEST)

Cossart et Théron, 4eme, programme de 1971 : une relation est une fonction si une flèche au plus part de chaque élément de E, ... est une application si une flèche et une seul ....

Vissio analyse Terminale CDE 1971 : c'est cette façon de procéder (c-a-d ne pas donner l'ensemble de définition) qui nous a conduits à distinguer entre application définie sur un ensemble et fonction définie dans un ensemble E l'ensemble de définition étant un sous-ensemble de E

Queyzanne et Revuz, 2e C, 1972: soit f une fonction numérique dont l'ensemble de départ est X, son ensemble d'arrivée est R. Soit D inclus dans X son ensemble de définition, l'application f' associée à f applique D dans R

avant cette date dans les livres scolaires on ne parle pas du distingo semble-t-il(d'après les livres de mes cartons, au collège apparait dans les nouveaux programme de 1968 et disparait dans ceux de 1985, soit 17 ans, c'est long)

LeLong Ferrand 1977 :une fonction numérique sur X est une application numérique de X vers R

on peut augmenter le florilège mais pour dire quoi exactement en synthèse? HB (discuter) 28 avril 2017 à 21:29 (CEST)

Archive Bourbaki 1954 Document 53 pp25 - 27 : La relation... est appelée relation fonctionnelle...si elle satisfait à la condition suivante; quel que soit x, il existe au plus un y tel que R(x,y). A toute relation fonctionnelle on attache un objet nouveau qu'on appelle une fonction ...On appelle champs de définition de la fonction f l'ensemble E des éléments x pour lesquels il existe y tel que R(x,y). C'est une partie E de E. On dit que f est définie sur E et dans E... Au lieu de parler d'une fonction définie sur E et prenant ses valeurs dans F', on parle d'une application de E dans F'. HB (discuter) 29 avril 2017 à 00:16 (CEST)

Merci pour l'enquête en particulier sur les programmes du secondaire. J'aurais dû préciser : jamais trouvé le distinguo dans un livre de mathématiques du supérieur, même de classe prépa de l'époque. On pourrait dire aussi que l'on ne trouve plus le distinguo après 1985. Je crois qu'on peut aller un peu au delà à la limite des règles en se fondant sur des sources primaires pour éviter ce genre de modification ce genre de modification de bonne foi mais mal informée, et ça me semble nécessaire pour les mêmes raisons d'ajouter des références dans le résumé. Proz (discuter) 30 avril 2017 à 08:18 (CEST)

J'ai du mal à comprendre exactement ta pensée et l'orientation que tu veux donner au RI. Si j'en crois ton argumentation tu sembles dire que les termes sont synonymes assez largement dans les livres du supérieur. Mais tu sembles condamner ce genre de modification qui donne, certes sans source, le contenu de dictionnaire de Chambadal et semble se rapprocher un peu de ton idée (pas de différence nette entre application et fonction - seulement une question d'usage). En tout état de cause, l'avis d'Ambigraphe et le contenu de ses sources (Christian Houzel, « Fonction (notion de) », Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1997 - Jean-Louis Ovaert et Jean-Luc Verley, « Fonctions (représentation et approximation des) », Dictionnaire des mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1997 - Stella Baruk, « Fonction », Dictionnaire des mathématiques élémentaires, Éditions du Seuil, 1995.) nous seraient utile. HB (discuter) 30 avril 2017 à 09:41 (CEST)

PS: normalement, si le RI est un reflet fidèle de l'article, aucune source n'est nécessaire car elle figure déjà dans la paragraphe concernée. HB (discuter) 30 avril 2017 à 09:41 (CEST)

Désolé pour l'erreur de diff qui rendait mon propos incohérent. Je suis au courant et habituellement d'accord pour le RI. Mais force est de constater que le RI actuel est en contradiction avec le reste de l'article, et que, je suppose vu les 17 année d'enseignements de la version fonction comme fonction partielle dans le secondaire, on risque encore ces interventions de contributeurs qui modifient le RI sans lire l'article. L'article très intéressant de Houzel est historique, et peut être utilisé, tout l'article est sur le développement de la notion de fonction dont la définition ensembliste la plus générale apparaît chez Fréchet en 1909, et il conclut "c’est la notion générale de fonction ou application utilisée de nos jours". L'article de Ovaert et Verley me semble aller bien au delà de ce qui est à traiter sur cet article (peut-être sur l'article fonction, mais il me semble qu'un titre plus explicite serait préférable). Proz (discuter) 30 avril 2017 à 11:00 (CEST)

Ok donc on peut reprendre un RI du type de celui du 14 mai 2016 que l'on peut sourcer sans problème par Chambadal(Dictionnaire des mathématiques modernes, Larousse, 1969). On peut également sourcer Bourbaki année 50 par l'archive (année 54) que j'ai donnée et détailler davantage : Bourbaki définit aussi la fonction et distigue les fonction définies sur (i.e. application) des fonctions définies dans. Enfin on peut remettre Chambadal pour l'autre référence demandée (fonction = ensemble d'arrivée numérique). Je te laisse la mise en place et l'exploitation de Houzel. HB (discuter) 30 avril 2017 à 17:59 (CEST)

D'accord en gros. Un détail : ça paraît clair que l'identification "fonction" "application" date de bien avant Bourbaki et ne peut leur être attribuée comme actuellement (cf. le livre de van der Waerden, traduction de l'édition allemande de 1937, qui a été très influent, ça peut préexister). Le document de 1954 donne des indications, je suppose sur l'élaboration de leurs éléments, mais n'a pas dû être public. Si tu peux également ajouter la période où la distinction existait dans le secondaire (1968-1985) avec références aux programmes, dont tu sembles disposer, ce serait bien. Je pense aussi qu'il faut hiérarchiser du fait qu'il y a peu de référence et aucune récente qui fait la distinction fonction application sur le domaine de définition (l'Universalis, qui la fait, ne datant pas ses articles), mais je te laisse faire au mieux, et peut ensuite compléter brièvement à partir de Houzel, sur l'apparition en 1909 de la définition ensembliste moderne. Proz (discuter) 1 mai 2017 à 10:04 (CEST)

Exposé historique

Leibniz

L'exposé de Houzel ne coïncide pas exactement avec ce qui existait dont la source n'est pas indiquée (Bouveresse-Itard-Salé ?), par ex. "le terme de fonction a été introduit par Leibniz (1692) dans un contexte géométrique : il s’agit pour lui de portions de lignes droites qui dépendent d’un point variable sur une courbe, comme la tangente ou la normale." Proz (discuter) 2 mai 2017 à 02:53 (CEST)

La source est bien (Bouveresse-Itard-Salé p. 33) mais cela parait difficile de l'ajouter à chaque bout de phrase. Nous avons donc non concordance partielle entre nos sources (1694 ou 1692 ? - abscisse ordonnée courbure ou portion de ligne ? qu'appelle-t'on portion de ligne ? une longueur (oui si j'en crois cette citation note 82 et La source primaire: Journal des savants 1694, p.404 ? (proche d'abscisse, ordonnée, courbure) ou un segment ?(nettement différent). je te laisse affiner, me contentant de confirmer le contenu de (Bouveresse-Itard-Salé p. 33)

 HB et Proz :, je n'ai pas les sources utilisées jusqu'ici mais en voici d'autres que j'ai qui me semblent utiles pour apporter des précisions historiques  : A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et dédales, 1986 [détail des éditions] chap. 6 Le concept de fonction et le développement de l'analyse, Youschkevitch, A. P. “The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century” Archive for History of Exact Sciences, vol. 16, no. 1, 1976, pp. 37–85 (traduit en français), Ici une synthèse de ces 2 sources.
Un Fou (discuter) 2 mai 2017 à 22:48 (CEST)

 HB et Proz :, d'après Youschkevitch 1976, p. 56 le terme "fonction" est utilé par Leibniz en août 1673 dans un manuscrit intitulé Methodus tangentium inversa seu de functionibus (« La méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions »). Infos reprises dans Dahan-Peiffer p217 (Youschkevitch et Monna 1972 donnés en biblio en fin de chap.) et dans La révolution mathématique de Barbin p262 (Youschkevitch cité en ref). À la page 244 des Éléments d'histoire des mathématiques (Note historique, FVR III.62) « [...] en 1698, il [Bernoulli] se met d'accord avec Leibniz pour donner à une telle quantité le nom de « fonction de x ». [...] Jusque-là, et déjà dans un manuscrit de 1673, Leibniz avait employé ce mot comme abréviation pour désigner une grandeur « remplissant telle ou telle fonction » auprès d'une courbe ». Cette première occurence n'est pas donnée par toutes mes sources. Vous êtes ok pour le mentionner dans l'article ? Peut-être créer un article sur l'histoire de la notion de fonction, non ? Un Fou (discuter) 4 mai 2017 à 20:56 (CEST)

Je me posais justement la pertinence de développer ici l'histoire de la notion de fonction. l'article fonction (mathématiques) serait peut-être le meilleur endroit. On pourrait ne laisser ici que le lien entre fonction et application. (Suggestion seulement). HB (discuter) 5 mai 2017 à 23:54 (CEST)

Je suis d’accord avec HB. L’historique du mot « Fonction » me semble hors sujet sur le présent article. Quant au terme « application », Stella Baruk le renvoie à l’allemand Abbildung, apparemment suite à la correspondance [sic] entre Dedekind et Cantor. La fonction a un intérêt local, c’est ce qui permet de calculer l’image d’une valeur. L’application a un intérêt global, elle met en relation deux ensembles. Ambigraphe, le 7 mai 2017 à 15:03 (CEST)

Je suis d'accord mais il y a un problème d'organisation. Cet article s'est appelé "fonction (mathématiques)" jusqu'en février 2007, et il en reste la trame (le renommer a été une erreur à mon avis). Je pense également que l'article principal doit s'appeler "fonction", un terme qui a une histoire bien plus riche, historiquement pas réductible à sa définition ensembliste (et même encore aujourd'hui, si on pense à l'usage en informatique). Mais il sera difficile de ne pas doublonner entre le deux articles, tant les termes sont devenus interchangeables dans pas mal de contextes (comme en témoignent de nombreuses sources). Proz (discuter) 8 mai 2017 à 09:55 (CEST)

S’il est possible de redécouper les historiques des différents articles, tant mieux, mais je ne sais pas le faire. En revanche, je suis perplexe face à l’idée d’« article principal ». Si l’on peut développer l’article « Fonction », allons-y, mais je suis réticent à la fusion. Ambigraphe, le 8 mai 2017 à 19:59 (CEST)

Notation

Divergence aussi au sujet de nos sources concernant la notation : pour (Bouveresse-Itard-Salé p. 34) Bernouilli représente par X et Φx une fonction de x (et non fx). la notation fx venant d'Euler en 1734.HB (discuter). Même son de cloche chez Cajori A History of mathematical Notations §643 φx pour Bernoulli et f(x/a + c) pour Euler, première occurence de f et des parenthèses. 2 mai 2017 à 10:28 (CEST)

Pour f/φ je pense que c'est quand même le concept et le choix de la notation qui importent plus que le choix de la lettre et il est possible que Houzel ait simplifié. Il insiste en réalité plutôt sur les aspects fonction comme expression (polynomiale etc.) / fonction dont le graphe est une courbe "arbitraire" (présents dès le début tous les deux). Pour le reste Houzel ne donne pas de source précise, donc il vaut probablement mieux que tu reprennes ce que j'ai écrit à partir de Bouveresse-Itard-Salé (que je n'ai pas) pour la cohérence (et finalement avoir accès directement au texte de Leibniz ça n'est pas si mal pour comprendre de quoi il s'agit). Proz (discuter) 2 mai 2017 à 20:26 (CEST)

(Bouveresse-Itard-Salé) ne donnent pas de source non plus . Dans des cas comme cela, il suffit peut-être d'être moins précis que nos sources pour trouver leur dénominateur commun. HB (discuter) 2 mai 2017 à 20:51 (CEST)

Pour 1692 : c'est Leibniz Acta Erudit. Lips., 1692, "De Linea ex Lineo numero infinitis" voir https://books.google.fr/books?id=-ZcOx7mALMYC&pg=PA377 (c'est quand même plus clair en français en 1694), cité par Cavaillès "Remarques sur la formation de la théorie abstraite des ensembles" (p 45 du recueil "philosophie mathématique"). JE pense que l'on peut être impréci sur certaines dates, effectivement, tant que Leibniz, Bernouilli et Euler snt cités. Proz (discuter) 2 mai 2017 à 21:59 (CEST)

je suis bien d'accord, si il y a trop de divergences mieux vaut être imprécis. Mais je pense être en mesure de clarifier en apportant sources secondaires (en plus de celles données plus haut) et primaires sur Leibniz (1673, 1692, 1694), Bernoulli (1698, 1718) Euler (1734, 1748, 1755), les différentes définitions et notations. Pas avant demain soir cependant. Un Fou (discuter) 2 mai 2017 à 23:04 (CEST)

Sources

• Israel Kleiner (en), « Evolution of the Function Concept : A Brief Survey », College Mathematics Journal, vol. 20, n^o 4,‎ 1989, p. 282-300 (lire en ligne)
• A. F. Monna, « The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue », Archive for History of Exact Sciences, vol. 9, n^o 57,‎ 1972, p. 57-84 (DOI 10.1007/BF00348540)
• Dieter Rüthing, « Some Definitions of the Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki », The Mathematical intelligencer, n^o 4,‎ 1984, p. 72-77 (DOI 10.1007/BF03026743)
• Adolf P. Youschkevitch, « The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century », Archive for History of Exact Sciences, vol. 16, n^o 1,‎ 1976, p. 37-85 (lire en ligne)

Exemple initial

L’ensemble des prénoms chrétiens évoqué en introduction me semble trop flou. Pour donner un exemple non numérique, on peut citer la répartition des élèves sur les chaises d’une salle de classe (en général injective mais pas forcément surjective), la distribution des mois de naissance pour les membres d’une famille (en général ni injective ni surjective), la répartition des parts de tarte (a priori surjective mais pas injective), l’attribution des brosses à dents (a priori bijective). Ambigraphe, le 7 mai 2017 à 16:15 (CEST)

Définition de la corestriction

J'ai découvert ça par hasard. Mais la notion - que je ne connaissans pas malgré toutes mes connaissances math. - n'est pas définie clairement. Quelqu'un pourrait-il compléter la chose? UKe-CH (discuter) 30 novembre 2023 à 10:36 (CET)