Discussion:Courbure

Plan possible pour cet article.

Les courbures sont classées par ordre de difficulté.

• Courbure d'un arc ==> Courbure d'un arc
• Courbure d'une surface ==> Courbure moyenne puis Courbures principales puis courbure de Gauss
• Courbure d'une variété riemannienne ==> Courbure sectionnelle puis Courbure scalaire puis courbure de Ricci

Avis sur la question ?

nihil obstat Peps 21 juillet 2006 à 16:38 (CEST)

Courbure d'une droite

La courbure d'une droite n'est-elle pas plutôt infinie? (je lis courbure nulle dans l'article!) Nico29 8 février 2007 à 15:02 (CET)

La courbure est l'inverse du rayon de courbure. Dans le cas d'une droite c'est le rayon de courbure qui est infini (les portions de cercles de rayon se rapprochant de l'infini ressemblent de plus en plus à des droites). Courbure forte veut dire virage serré. Peps 8 février 2007 à 21:37 (CET)

Calcul explicite et définition  : problème de signe

Bon, encore un article pour lequel ma maitrise du sujet est trop faible pour que j'intervienne directement. Je décèle une contradiction apparente entre la définition : norme du vecteur accélération pour une courbe paramétrée par son abscisse curviligne (ce qui implique qu'une courbure est par construction positive) et le calcul explicite qui conduit à un nombre signé (de même signe que y"). Ma première impulsion a été de mettre tous les calculs explicites entre valeurs absolues mais un petit tour sur mathcurve me donne des rayons de courbures signés (voir ici ou là). Du coup, je ne sais plus comment corriger l'article et me contente de signaler le problème. HB (discuter) 27 décembre 2013 à 11:24 (CET)

PS : la consultation de ma seule source immédiatement disponible (Lelong-Ferrand Arnaudies T3 Géométrie p 321 confirme la définition par la norme (donc le nombre positif). D'où vient donc la définition par le nombre signé? HB (discuter) 27 décembre 2013 à 11:37 (CET)

Bon, je vois que depuis 2 ans le problème n'a toujours pas été résolu. Entretemps j'ai trouvé au moins une source pour la courbure algébrique (Patrice Tauvel Géométrie) qui prend cependant bien soin de différencier les deux termes : courbure=valeur positive, courbure algébrique= courbure signée et uniquement pour une courbe plane. Je mets donc un bandeau signalant la contradiction.

Mais au delà de ce problème interne, il y a il me semble un problème de structure :

1. Les sections 1. Courbure d'un arc et 2. Définition de la courbure d'un arc plan parlent toutes les deux de courbure d'arc.
2. La seconde section définit la courbure comme la norme du vecteur accélération (i.e. courbure positive) en contradiction avec la section 1. qui précise les deux définitions (il faudrait trouver des sources) . Ensuite, on dit que c'est la dérivée seconde par rapport à l'abscisse curviligne (vecteur ? ou valeur numérique ?)
3. Les formules de la section 2. sont celles de la courbure algébrique malgré la définition qui y est donnée (norme du vecteur accélération)
4. les formules ont un problème d'homogénéité avec présence ou absence de la variable de part et d'autre de l'égalité

Il me semble que, puisqu'il existe un article dédié courbure d'un arc, c'est dans celui-ci que l'on doit mettre le développement mathématique. Dans l'article courbure d'un arc, toutes les formules sont déjà présentes sauf le calcul de d²r/ds².

je propose de supprimer ici la totalité de la section 2. Je pense qu'il serait bon d'autre part d'aller améliorer l'article courbure d'un arc. RI plus conséquent, définitions et formules sourcées... HB (discuter) 11 mars 2016 à 08:02 (CET)

Courbure d'une surface

Bonjour à tous, et notamment à HB car mon intervention rejoint la section précédente, laissée sans suite. Dans le résumé introductif il est écrit « Une « selle de cheval » possède au contraire un point de courbure négative. ». Cette phrase est fausse et ambiguë : fausse car le signe de sa courbure ne concerne pas qu'un point (au moins pour la surface mathématique « en selle de cheval » la plus simple), ambiguë parce que le signe de la courbure dépend de quelle courbure on parle (courbure moyenne ou courbure de Gauss), distinction cruciale qui n'est faite que dans la section « Introduction des courbures en un point à partir de l'endomorphisme de Weingarten » (bien trop loin et avec un titre trop technique). Il n'y a d'ailleurs aucune raison de privilégier l'un des deux invariants. — Ariel (discuter) 14 janvier 2025 à 10:38 (CET)

Comme je l'avais déjà signalé plus haut, ma compétence se limite à la notion de courbure d'un arc. Dans le RI de cet article généraliste, je tords le nez en lisant qu'un cercle est de  courbure positive constante, le lien renvoyant sur un article concernant la courbure d'une variété riemannienne, le gap entre l'objet simple qu'est le cercle et l'objet théorique qu'est la variété rend sans intérêt ce type de lien, le contenu étant inaccessible pour celui qui lit l'exemple (il suffirait d'écrire que le cercle est de courbure constante égale à l'inverse du rayon)

Le problème me parait identique pour la selle de cheval et si, en plus, il y a ambiguité entre courbure en un point et courbure de la surface, cette précision est plus source de confusion que d'éclaircissement.

il me semble Ariel, que la solution est dans ta question : le RI devrait être un résumé du contenu de l'article. Indiquer assez rapidement que ce terme s'emploie dans beaucoup de domaines mathématiques avec des sens différents et éviter des exemples trop complexes, trop techniques ou ambigus. Mais, comme je suis ici un peu hors mon champs de compétence je te laisse faire pour la suite. HB (discuter) 14 janvier 2025 à 18:42 (CET)