Discussion:Flexion (matériau)

Calculs

L'article n'est pas un cours, j'ai donc retiré les exemples de calculs, mais je les place ici pour qu'ils puissent resservir ailleurs, par exemple dans un wikilivre ou à la wikiversité.

Auteur original de ces calculs : Utilisateur:La Cigale, 17 janvier 2006 à 12:52.

Déplacé par : cdang | m'écrire 25 septembre 2008 à 14:40 (CEST)

Flexion trois points

Problème

Soit la poutre de longueur $L$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une force $F$ distante de $a$ de $A$ et de $b$ de $B$.

Déterminez les lignes de $N$, $V$ et de $M$ le long de la poutre.

Solution

La aussi, on détermine en premier lieu les réaction d'appui :

• $F\times a-B\times L=0$ donne $B={\frac {a}{L}}F$ ou bien $B={\frac {a}{a+b}}F$ ;
• $-A\times L+F\times b=0$ donne $A={\frac {b}{L}}F$ ou bien $A={\frac {b}{a+b}}F$.

Pour la détermination des efforts intérieurs, il faudra procéder par intervalles. En premier, étudions l'intervalle (1) : $0\leq x<a$ :

• $N_{1}(x)=0$
• $A-V_{1}(x)=0$ qui donne $V_{1}(x)=A$ $V_{1}(x)={\frac {b}{a+b}}F$ et ensuite
• $-A\times x+M_{1}(x)=0$ qui donne $M_{1}(x)=x{\frac {b}{a+b}}F$

A présent l'intervalle (2) : $a<x\leq L$ :

• $N_{2}(x)=0$
• $B+V_{2}(x)=0$ qui donne $V_{2}(x)=-B$ ou bien $V_{2}(x)=-{\frac {a}{a+b}}F$
• $-B\times (L-x)+M_{2}(x)=0$ qui donne $M_{2}(x)=(L-x){\frac {a}{a+b}}F$

Comme la force F agit exactement à $x\,=\,a$, il n'est formellement pas possible de décider à quel intervalle appartient ce point ; l’effort tranchant $V(a)$ à cet endroit est donc indéfini. L'ambiguïté n'existe que pour $V(a)$, car :

• $N_{1}(a)=N_{2}(a)=0$ est bien défini
• $M_{1}(a)=a{\frac {b}{a+b}}F={\frac {ab}{a+b}}F$ et $M_{2}(a)=(L-a){\frac {a}{a+b}}F={\frac {ba}{a+b}}F$ donne $M_{1}(a)=M_{2}(a)$ est aussi bien défini.

Poutre sur deux appuis avec une charge répartie uniforme

Problème

Soit la poutre de longueur $6m$ reposant sur deux appuis simples en $A$ et $B$ assujettie à une charge linéaire constante $280kg$ telle représentée en Fig. 3.

Déterminez les diagrammes de $N$, $V$ et de $M$ le long de la poutre.

Solution

Les réactions d'appuis se déterminent aisément en formulant l'équilibre des moments autour de $A$ une fois et autour de $B$ une deuxième fois :

• $B\times L-qL\times {\frac {L}{2}}=0$ donne $B={\frac {1}{2}}qL$
• $-A\times L+qL\times {\frac {L}{2}}=0$ donne $A={\frac {1}{2}}qL$

Ensuite on coupe la poutre en la position $x$, on remplace la partie coupée par les efforts intérieurs $N$, $V$ et de $M$, les appuis par les réactions d'appui et on formule l'équilibre :

• $N(x)=0$
• $A-V(x)-q\times x=0$
• $V(x)=q({\frac {1}{2}}L-x)$
• $-A\times x+qx\times {\frac {x}{2}}+M(x)=0$

ce qui donne, avec $A={\frac {1}{2}}qL$, $M(x)={\frac {1}{2}}qx(L-x)$

Diagramme des efforts de cohésion

• Les efforts normaux $N(x)$ sont nuls tout le long de la poutre.
• L'effort de cisaillement est maximal aux appuis : $V_{A}=V(x=0)=+{\frac {qL}{2}}$, respectivement $V_{B}=V(x=L)=-{\frac {qL}{2}}$. Entre ces deux valeurs, $V(x)$ est linéaire, avec $V({\frac {L}{2}})=0$.
• Le moment $M(x)$ décrit une fonction parabolique le long de la poutre. Sa valeur est maximale en $x={\frac {L}{2}}$ ou elle vaut $M_{Max}=M({\frac {L}{2}})={\frac {1}{2}}q{\frac {L}{2}}(L-{\frac {L}{2}})={\frac {1}{8}}qL^{2}$.