Discussion:Foncteur

Généralisation des morphismes ?

c'est pas une généralisation des morphismes! ou au moins qu'on nous dise qu'une catégorie a une structure!! et puis l'histoire de covariant et contravariant n'est pas compréhensible

Ben les catégories ont une structure : la loi de composition des flèches ; et , de fait, les foncteurs sont des morphismes de cette structure (pour les petites catégories, sinon, il faut généraliser aux classes propres). D'autre part, la définition de contravariant demanderait peut-être à être explicitée, mais elle est rigoureuse : un foncteur contravariant est une application vérifiant les mêmes propriétés qu'un foncteur (covariant), sauf que la compatibilité avec la composition des flèches devient : $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$.--Dfeldmann (d) 29 mai 2011 à 11:16 (CEST)

« généralisation des morphismes » ? ce serait plutôt une généralisation du paramétrage si l'on se réfère à OcaML : « Un foncteur est un module qui est paramétré par un autre module, tout comme une fonction n'est qu'une valeur paramétrée par d'autre valeurs (les arguments). En gros, cela permet de paramétrer un type par une valeur, ce qui est impossible à faire directment en OCaml. » Quoi qu'il en soit, cet article fait un traitement beaucoup trop microcosmique des foncteurs. C'est un paradigme ! 82.246.178.45 (discuter) 20 octobre 2014 à 18:05 (CEST)

Bonjour. Un peu dans La Même Veine :

À l'entrée "FONCTEUR", ont trouve en Définition d'Introduction :

- En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.

Et ici :

"MORPHISME :

- application (flèche) entre deux objet d'un categorie.

Voyez-vous la Contradiction ?

- Si la deuxième définition, celle de MORPHISME est juste, alors c'est une Notion qui semblerait n'appartenir qu'à la Théorie Des Catégories.

Or, si c'est le cas, comment un FONCTEUR serait une "Généralisation à...", car dans ce dernier cas, cela ne suppose-t-il pas que la notion de Morphisme appartient à un "Niveau Inférieur" de l'Édifice Mathématiques, celui de l'Algèbre Général et de ses Structures ?

Ou vraiment, la Définition du Foncteur est fausse, et la notion de Morphisme n'apparaît que dans, et n'Appartient qu'à la TDC ?

Si vous pouviez m'Éclairer, j'en serais Très Heureux ^_^ Khwartz (discuter) 18 mai 2021 à 19:00 (CEST)

Bonjour Khwartz  ; en fait, cette "définition" dans l'introduction, et avec un lien sur morphisme qui n'est pas clair (je viens de le préciser) n'a pas pour but d'être utile , mais plutôt de permettre à l'utilisateur, soit de voir que ça ne l'intéresse pas, soit de deviner vaguement de quoi il s'agit ; il lui faudra alors lire l'article pour que cela devienne rigoureux. Cela dit, d'une part, il y a en effet plusieurs définitions de "morphisme" : celle de l'Algèbre générale (on parle plutôt de théorie des modèles/structures) , et celle, qui la généralise, de la théorie des catégories (pour laquelle on préfère souvent parler de flèches, justement pour ne pas créer de confusions) ; d'autre part, de fait, la Catégorie des catégories (avec les restrictions qu'il faut pour ne pas créer de paradoxe de Russell) a bien pour objets les catégories (surprise) et pour morphismes (pour flèches) les foncteurs. Cordialement,Dfeldmann (discuter) 19 mai 2021 à 08:24 (CEST)

Bonjour Dfeldmann 🖖

Merci d'avoir Pris Le Temps de Partager ton point de vue et pour cet Éclairage :)

Cependant, quelque chose me chagrine : dans sa conférence "La Théorie Des Catégories pour les Nuls" (cf mes autres commentaires dans les discussions), Anatole Khélif, sur la chaîne YouTube "Idea in Science", semble Très Clairement DIFFÉRENCIER// les Morphismes des Foncteurs.

En effets, dans ses exemples, le terme Morphisme (et ses différents genres : homoéo, mono, iso, ...) semble ne désigner que// les relations INTERNES aux Catégories, et les FONCTEURS, et Applications qui "Envoient", une Catégories dans une autres.

Mais effectivement, les Morphismes semblent alors plus Généraux, que les Morphismes de l'Algèbre des Structures.

Ça me ferait plutôt voir la caractérisation des Morphismes dans l'autre sens d'ailleurs :

- les Morphismes de l'Algèbre des Structures comme une utilisation RESTRAINTE alors des Morphismes (au sens le plus large).

Je te semble "raconter des Bêtises" ? ^^ Khwartz (discuter) 20 mai 2021 à 23:19 (CEST)

Remarque :

Il me semble que cette définition de Morphisme confirme ma compréhension :

"Morphisme

application (flèche) entre deux objet d'un[e] categorie" intra Wikip.

Mais ne devrait-on pas préciser "en TDC" ? Ou toute Structure Algébrique, est de toute façon une Catégorie ? Auquel cas, comment pourrait-on parler de Morphismes en Algèbre des Structures, ou même Théorie des Modèle, sans faire appel à la TDC ? Stp

Question :

Recommenderais-tu des ouvrages, sites, publications, relativement "abordables" sur ces sujets : TDC, Algèbre Des Structures, Théorie Des Modèles,

qui pourraient me permettre de mieux appréhender comment la TDC s'Articule avec les autres Théories ? Khwartz (discuter) 20 mai 2021 à 23:32 (CEST)

"Fonctions"

L'article dit qu'un foncteur est la donnée de deux "fonctions". Il me semble qu'en toute rigueur, une fonction va d'un ensemble dans un ensemble et que, sauf à se limiter à des "petites catégories", il est délicat de parler d'une fonction allant d'une catégorie dans une autre. Dans S. Lang, Algèbre, tr. f. 2004, p. 66, un foncteur (covariant) d'une catégorie A dans une catégorie B est défini comme une "règle" associant à chaque objet de la catégorie A un objet de la catégorie B et à chaque morphisme de la catégorie A un morphisme de la catégorie B, certaines conditions devant être satisfaites. On dirait donc que Lang évite de parler de "fonction" dans ce contexte. Il est possible (je n'en sais rien) que certains auteurs patentés parlent de fonctions d'une catégorie dans une autre, mais dans ce cas, il serait peut-être bon de signaler que la terminologie n'est pas uniforme. Il est dommage aussi que l'article ne soit pas du tout sourcé. Marvoir (discuter) 16 juin 2014 à 10:14 (CEST)

Bonjour.

De ce que j'ai compris, un Foncteur est une FONCTION SUR UNE FONCTION, au sens que cela "envoie" une Fonction d'un premier Ensemble, ou Catégorie, vers un autre ensemble ou Catégorie.

Par exemple, au lieu de juste lier un Élément x de l'Ensemble de Départ A, à un Élément x' de l'Ensemble d'Arrivée B, c'est le couple (x, f(x)), où x et f(x) sont tous deux éléments de A, qui a une Image dans l'Ensemble d'Arrivée B, qui est lui-même un couple (x', f(x')), je dirais "le Couple IMAGE PAR le Foncteur de A vers B".

Je renvoie à une vidéo de Idées In Sciences, exposé par Anatole Khélif : "Les Catégories pour les nuls".

Est-ce que tout le monde d'accord avec mon Explication Succinte ? Khwartz (discuter) 19 mai 2021 à 00:30 (CEST)

Plus précisément, il semble que ce soit utilisé surtout en Théorie Des Catégories, pour Étudier les Structures, les Comparer, par justement ce genre de "Fonctions" que sont les Foncteurs.

Par exemple, on peut Comparer la Catégorie des Groupes Abéliens avec une autre Catégorie de Structure Algébrique, et voir comment on peut Les Mettre en Relation l'une l'autre, par quel.s Foncteur.s on peut "envoyer l'une dans l'autre".

Je me trompe ? Khwartz (discuter) 19 mai 2021 à 00:41 (CEST)

Enfin, il semble donc que, dans la Nomenclature de la TDC, les "Fonctions" "Internes" sont en fait les Morphismes, et qu'au final il s'agit de Comparer le "Morphisme de Départ" avec le "Morphisme Image", par// le Foncteur. Khwartz (discuter) 19 mai 2021 à 00:57 (CEST)

Doutes sur un exemple cité de foncteur d'oubli

Deux exemples sont actuellement cités de foncteur d'oubli:

- depuis la catégorie des groupes abéliens vers celle des groupes en général;

- depuis la catégorie des groupes vers la catégorie des ensembles.

Si le second exemple correspond bien à ce que je crois comprendre de la notion de foncteur d'oubli, le premier me semble complètement différent. Dans le second, on fait correspondre un objet - un groupe - à une «partie» de cet objet, à savoir l'ensemble sous-jacent. On change donc d'objet, en en oubliant une partie. Dans le premier exemple, on garde le même objet, mais en élargissant la catégorie dans laquelle on le considère.

Je suis novice en la matière, mais j'ai quand même l'impression que le premier exemple est erroné. Peut-on me le confirmer?

David Olivier (discuter) 16 mars 2017 à 16:40

Dans le premier exemple, on "oublie" que le groupe est commutatif. Dans le second exemple, on étend aussi la catégorie. Theon (discuter) 16 mars 2017 à 18:35

La notion de foncteur d'oubli est tout à fait informelle mais je crois comprendre tes réticences, David. Je crois que n'importe quel foncteur covariant pourrait être appelé un foncteur d'oubli. Par exemple, de ton point de vue, le foncteur évident des groupes vers les monoïdes est un foncteur d'oubli si l'on considère qu'un groupe est $(G,\cdot ,e,i)$ (où $e$ est le neutre et $i$ l'application « élément symétrique »), mais n'en est pas un si l'on considère qu'un groupe est un monoïde vérifiant la propriété supplémentaire que tout élément a un symétrique. Anne, 16/3/17

Theon: Oui, il y a bien un «oubli» dans les deux exemples, mais il est d'ordre complètement différent. Dans le second exemple, on «oublie» une partie de l'objet lui-même. Du coup, plusieurs objets différents dans la catégorie d'origine (plusieurs groupes différents, par exemple) peuvent correspondre à un même objet (au même ensemble, dans cet exemple) dans la catégorie cible. Dans le premier exemple, par contre, l'objet reste entièrement le même, et on l'envisage simplement dans une catégorie différente plus large (on «oublie», non quelque chose de l'objet, mais une contrainte définissant la catégorie). En particulier, le foncteur est alors forcément injectif (si on peut dire, s'agissant de classes). Anne: Le foncteur Grp vers Set fait correspondre $(G,\cdot )$ à $G$; on a au passage réellement enlevé quelque chose, qu'on ne peut pas retrouver (puisqu'à un ensemble donné peuvent généralement correspondre différentes lois de composition internes). Mais dans le passage que tu dis, $(G,\cdot ,e,i)$ vers monoïdes, qui passe de $(G,\cdot ,e,i)$ à $(G,\cdot ,e)$, on omet bien quelque chose - l'application «inverse» - mais elle reste implicitement présente, puisqu'on a gardé la loi de composition, et que pour cette loi donnée il ne peut exister qu'une seule application inverse. C'est d'ailleurs pour ça qu'on écrit généralement $(G,\cdot )$ et non $(G,\cdot ,e,i)$ (le neutre aussi étant implicite dans la lci). En somme, on n'a rien oublié, on omet juste de mentionner un objet redondant. Il me semble qu'on ne devrait donc pas parler de foncteur d'oubli. Maintenant, comme tu le dis, la notion est informelle, et c'est un peu «des goûts et des couleurs», mais peut-être qu'on peut dire quand même qu'un foncteur d'oubli est forcément un foncteur non injectif. David Olivier (discuter) 17 mars 2017 à 17:11 (CET)

J'ajoute une considération sur le comportement différent dans les deux cas du passage à l'objet libre. Quand on construit le groupe libre sur un ensemble, correspondant au foncteur Grp vers Set, on explose le groupe comme quand on transforme du sucre en barbe-à-papa. Quand on construit le groupe abélien libre sur un groupe (foncteur Ab vers Grp), on ratatine au contraire le groupe en prenant son quotient par son groupe dérivé. Il me semble que ces deux comportements différents correspondent à deux sortes de foncteurs différents. David Olivier (discuter) 17 mars 2017 à 17:24 (CET)

Tes remarques sont pleines d'intérêt. Le site ncatlab.org ne donne pas une définition explicite du foncteur d'oubli. Il le relie à la notion de foncteur libre par l'intermédiaire de la notion de foncteurs adjoints. Tout cela demande réflexion. Theon (discuter) 20 mars 2017 à 17:59 (CET)

Après quelques semaines de réflexion, je vais essayer de donner deux arguments selon lesquels il vaut mieux considérer le foncteur depuis la catégorie des groupes abéliens vers celle des groupes en général comme un foncteur d'oubli.

Argument n°1 : Dans une catégorie ${\mathcal {C}}$ munie d'un objet terminal et de produits finis, on peut introduire la notion de groupe objet. L'intérêt de cette notion est qu'elle introduit la notion de groupe en utilisant exclusivement les outils disponibles en théorie des catégories (morphismes, foncteurs, etc.). Si on prend pour ${\mathcal {C}}$ la catégorie des ensembles, un groupe objet est un groupe au sens usuel. Si on prend pour ${\mathcal {C}}$ la catégorie des espaces topologiques, un groupe objet est un groupe topologique. Mais curieusement, si on prend pour ${\mathcal {C}}$ la catégorie des groupes, un groupe objet est un groupe commutatif. On peut donc considérer que le foncteur qui associe à un groupe commutatif (groupe objet dans la catégorie ${\mathcal {Grp}}$) le groupe sous-jacent (groupe objet dans la catégorie ${\mathcal {Set}}$) relève d'un oubli, en passant de la catégorie ${\mathcal {Grp}}$ à la catégorie ${\mathcal {Set}}$ dans lesquelles est défini le groupe objet.

Argument n°2 : Lorsqu'on a deux foncteurs adjoints F et G, on peut définir une monade. Et réciproquement, si on part d'une monade, on peut en déduire deux foncteurs adjoints F' et G' définissant cette monade, le foncteur G' étant incontestablement un foncteur d'oubli, puisqu'il associe à un couple seulement l'une de ses composantes en oubliant l'autre. Or, si on prend pour F le foncteur de ${\mathcal {Grp}}$ vers ${\mathcal {Ab}}$ qui, à un groupe, associe son quotient par le groupe dérivé, et pour G le foncteur de ${\mathcal {Ab}}$ vers ${\mathcal {Grp}}$ qui associe à un groupe abélien le même groupe dans la catégorie ${\mathcal {Grp}}$, on peut vérifier que ces deux foncteurs sont adjoints. La catégorie ${\mathcal {Grp}}$ forme donc une monade et quand on reconstitue un couple (F', G') de foncteurs adjoints définissant la même monade, on constate que F' et G' sont équivalents aux foncteurs F et G initiaux. G' étant un foncteur d'oubli, on ne peut que conclure que G aussi. Theon (discuter) 30 mai 2017 à 10:14 (CEST)

Exemples de foncteurs

Bonjour - Wikipédia évite la redondance ; il y a déjà bien assez de matière...

En ce sens, il conviendrait d'éliminer la redondance introduite par l'extraction du pseudo-article Exemples de foncteurs (sans interlangues...) au motif de sa longueur. Les exemples sont en principes en nombre limité, et exemplaires...

Si quelqu'un pouvait s'occuper de compléter l'article principal avec ce qui manquerait depuis les exemples, il me resterait à supprimer la page d'exemples, sans regrets.

TigH (discuter) 7 août 2023 à 14:17 (CEST)

C'est fait. Tu peux supprimer l'article Exemples de foncteurs.Theon (discuter) 8 août 2023 à 10:03 (CEST)