Discussion:Fraction continue généralisée

Matrices : sources et choix ?

1. ${\begin{pmatrix}h_{n-1}&h_{n}\\k_{n-1}&k_{n}\end{pmatrix}}$ + en:Modular group#Number-theoretic properties
2. ${\begin{pmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{pmatrix}}$ Thomson, L. M. Milne, The Calculus Of Finite Differences, 1933 + Keith Matthews, Some continued fractions identities + http://www.fq.math.ca/Scanned/37-4/advanced37-4.pdf (p. 3) + http://www.fq.math.ca/Scanned/15-3/hoggatt2.pdf + A. J. van der Poorten, Symmetry and Folding of Continued Fractions + A. J. van der Poorten, An Introduction to Continued Fractions + https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/vdp3.pdf (« this idea is apparently due to Hurwitz (c. 1917), Frame (1949), and Kolden (1949), independently but popularized by VDP »)
3. ${\begin{pmatrix}h_{n}&k_{n}\\h_{n-1}&k_{n-1}\end{pmatrix}}$ http://www.math.utah.edu/~hooper/Papers/ContinuedFractionsResearchReport.pdf
4. ${\begin{pmatrix}k_{n-1}&h_{n-1}\\k_{n}&h_{n}\end{pmatrix}}$ http://fermatslasttheorem.blogspot.fr/2005/12/continued-fractions-and-matrices.html
5. ${\begin{pmatrix}h_{n-1}&k_{n-1}\\h_{n}&k_{n}\end{pmatrix}}$ http://physics.gu.se/~ostlund/pubs/pra86.pdf

Le choix 1 me semblait le plus naturel (voir Fraction continue généralisée#Transformations de Möbius) mais le 2 semble plus sourçable, et plus commode pour la preuve de Fraction continue d'un irrationnel quadratique#Développement purement périodique. Comment réconcilier les deux ? plus précisément : comment rendre 2 aussi "naturel" que 1 ? Je sais bien qu'une façon de botter en touche serait de tout ramener aux continuants, comme George Chrystal, Algebra, an Elementary Text-Book, vol. 2 (voir aussi http://www.dm.unito.it/~cerruti/ac/cfracfact.pdf et http://books.google.fr/books?id=lTUP4A5qdWUC&pg=PA243 ) mais ça me semble moins "naturel". Anne (discuter) 11/5/14 à 22h

En refeuilletant (en) Gilles Lachaud, « Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions », dans Algebra and Topology 1988, Taejon, Korea Inst. Tech., 1988 (lire en ligne), p. 1-56 (p. 6), j'ai compris pourquoi le choix 2 était tout aussi naturel (voire plus) et pouvait lui aussi se formuler en termes de transformations de Möbius. Sauf objections, je compte remplacer le choix 1 par le 2 dans tous les articles où je l'avais introduit (avec toutes les harmonisations qui vont avec, dans les énoncés et preuves). Anne (discuter) 16 mai 2014 à 20:33 (CEST)