Discussion:Infiniment petit

Axiomes

Je serais pour inverser la redirection et faire une page d'homonymies. {{User:STyx/Signature}} 11 septembre 2007 à 17:23 (CEST)

Infinitésimal s'utilise en analyse classique et infiniment petit en analyse non-standard , et les 2 termes sont infiniment voisins . Ils sont distincts si on utilise l'axiome de choix et identiques si on ne l'utilise pas.--Tv 21 septembre 2007 à 15:23 (CEST)

Réponse tardive, mais c'est plus compliqué que ça. L'analyse non standard exige d'ajouter des axiomes. Michel421 _{parfaitement agnostique} 9 octobre 2010 à 10:21 (CEST)

oui, et alors ? Quand tu as eu ton premier cours de mathématique un peu sérieux, on t'a asséné l'ensemble des axiomes de la logique ? Tu as commencé par les "principia" de Whitehead et Russell ?Claudeh5 (d) 9 octobre 2010 à 21:30 (CEST)

Et je n'ai pas non plus débuté par les hyperréels. Michel421 _{parfaitement agnostique} 9 octobre 2010 à 22:39 (CEST)

Une petite correction: l'analyse non-standard n'exige pas d'axiomes au-dela de ZFC. Tkuvho (d) 10 octobre 2010 à 00:24 (CEST)

A ma connaissance, il y a deux prédicats supplémentaires par rapport à l'analyse classique.Claudeh5 (d) 10 octobre 2010 à 08:22 (CEST)

La theorie de Nelson (IST) ajoute des axiomes, mais IST est "conservative" par rapport a ZFC, c'est a dire qu'on peut tout reduire a ZFC, de toute facon a un certain niveau. De quels predicats s'agit-il? Tkuvho (d) 10 octobre 2010 à 14:36 (CEST)

Il y a au moins un prédicat standard. IST est une extension conservative de ZFC, mais IST n'ajoute pas de nouveaux nombres, les nombres qui sont "non-standard" existent déjà dans la théorie classique. C'est du moins ce que dit l'article en:Internal set theory. Michel421 _{parfaitement agnostique} 10 octobre 2010 à 15:45 (CEST)

C'est tout a fait exact, mais qu'entend on par la phrase "dans la theorie classique"? La theorie classique est base sur ZFC tandis que IST ne l'est pas. Ce n'est qu'une facon de parler. Quand on demontre que IST est un extension conservative de ZFC ce qu'on demontre en effect c'est qu'il est isomorphe aux hyperreels, qui eux peuvent etre construit a l'interieur de ZFC (au moins une certaine version). Tkuvho (d) 10 octobre 2010 à 15:54 (CEST)

Si IST est une extension conservative de ZFC ça veut dire que tout théorème de ZFC est un théorème d'IST (mais pas l'inverse). Michel421 _{parfaitement agnostique} 11 octobre 2010 à 22:30 (CEST)

Tout a fait. Tout theoreme de IST qui n'utilize pas les nouveaux predicats est egalement un theoreme de ZFC. IST est isomorphe aux hyperreels de Robinson, et un meta-theoreme de Robinson affirme que toute demonstration non-standard peut etre traduite en une demonstration classique, au moins theoriquement. Tkuvho (d) 12 octobre 2010 à 15:22 (CEST)

Si j'ai bien compris là tu parles d'un modèle de IST dans ZFC. So what? Il y a aussi des modèles dénombrables de ZFC, ceci alors que ZFC entraîne l'existence d'ensembles non dénombrables. C'est juste que le mot "dénombrable" n'a pas le même sens dans la théorie représentée que dans la méta-théorie représentante. Michel421 _{parfaitement agnostique} 12 octobre 2010 à 17:29 (CEST)

non-standard?

Je soutiens effectivement l'idee d'une page independante pour les infinitesimaux. Le redirection vers analyse non-standard n'a aucun sens. Archimede est-il sense d'avoir fait de l'analyse non-standard? Leibniz, lui aussi? Et Cauchy? Tkuvho (d) 7 octobre 2010 à 04:52 (CEST)

Archimède, non (en fait je pense qu'il est plus près de l'approche par les limites) ; Leibniz pas encore mais Robinson se réclame un peu de lui (mais pour le moment pas d'autre source que WP) ; Cauchy non, mais là je sais que c'est un sujet sensible. Michel421 _{parfaitement agnostique} 9 octobre 2010 à 10:21 (CEST)

Comment ça, "n'a aucun sens" ? L'origine de l'analyse non standard est justement de fonder l'analyse du XVIIIe siècle, de Leibniz, Newton, les Bernoulli, ...Claudeh5 (d) 9 octobre 2010 à 21:27 (CEST)

Justement, les infinitesimaux sont bien plus ancients que les hyperreels! Ils meritent donc un article independant. Tkuvho (d) 9 octobre 2010 à 22:17 (CEST)

L'age n'a rien à faire là.Claudeh5 (d) 10 octobre 2010 à 08:21 (CEST)

Obsolete?

L'affirmation que les infinitesimaux historiques sont une notion obsolete ne represente pas un consensus de tous les authorites, voir par exemple l'article de John Bell dans la Standford Encyclopedia of Philosophy. Tkuvho (d) 21 octobre 2010 à 16:54 (CEST)

C'est la SIA, encore une variante de l'analyse non standard - bof ..... Michel421 _{parfaitement agnostique} 22 octobre 2010 à 23:08 (CEST)

Standford Encyclopedia is a serious source and John Bell is a major philosopher. His work in smooth infinitesimal analysis is a separate issue. The "obsolete" claim is a position of the Weierstrass school and should be either identified as such, or deleted altogether. Tkuvho (d) 23 octobre 2010 à 22:27 (CEST)

I just read the paper, and added the link to the article ; however it says nothing such, it doesn't say infinitesimals are or are not obsolete, it describes their history, from the Greeks to NSA & SIA. Besides, I know of no textbook that teaches calculus the way Leibniz did. Michel421 _{parfaitement agnostique} 24 octobre 2010 à 14:51 (CEST)

Bell writes: "It may be said that Leibniz recognized the need for the first, but not the seccond type of infinitesimal and Nieuwentijdt, vice-versa. It is of interest to note that Leibnizian infinitesimals (differentials) are realized in nonstandard analysis, and nilsquare infinitesimals in smooth infinitesimal analysis". If these two types of infinitesimals are "realized" respectively in nsa and sia, obviously we have one historian who does not think they are obsolete. You may feel otherwise, meaning that you are persuaded by the Weierstrassian school. This should be made clear in the article. If you wish to retain the claim that infinitesimals are obsolete, such a claim should be properly attributed. Tkuvho (d) 24 octobre 2010 à 16:42 (CEST)

Well, then it should be attributed to ..... the math community at large. That said, feel free to edit the article if you like that. Michel421 _{parfaitement agnostique} 25 octobre 2010 à 12:51 (CEST)

Introduction

Je pense que l'introduction est trop volumineuse, il faudrait la re-dispatcher dans le corps de l'article dans lequel on pourrait mettre la partie historique.

De plus, Archimède n'a pas "utilisé des infinitésimaux" comme ça directement. Ça mérite d'êre mieux sourcé. Michel421 _{parfaitement agnostique} 29 mai 2011 à 12:43 (CEST)

Archimede a oui utilise des infinitesimaux dans La methode comme ca directement selon les recherches de Heiberg et Netz. On pourra voir http://en.wikipedia.org/wiki/The_method . Tkuvho (d) 29 mai 2011 à 17:09 (CEST)

En suivant ce lien je lis : « Archimedes did not admit infinitesimals as part of rigorous mathematics, and therefore did not publish his method in the formal treatises that contain the results. In these treatises, he proves the same theorems by exhaustion » Michel421 _{parfaitement agnostique} 29 mai 2011 à 23:30 (CEST)

Sa méthode est basée sur des observations de mécanique en imaginant de petits triangles, etc... et a trouvé les bonnes réponses, mais peut-on dire que c'est un usage direct des infinitésimaux ? Michel421 _{parfaitement agnostique} 30 mai 2011 à 00:05 (CEST)

Dans ses "traites formels" il n'a pas inclu les infinitesimaux, mais dans La Methode, ecrit sous forme de lettre, il les a bien inclus. Ceci est note dans l'article anglais. Netz considere que ceci constitue un usage direct des infinitesimaux. Tkuvho (d) 30 mai 2011 à 06:04 (CEST)

Il serait preferable d'attribuer a Archimede, non pas les infinitesimaux mais les indivisibles. Tkuvho (d) 29 décembre 2011 à 14:32 (CET)

A propos de l’INFINIMENT PETIT :

Je récuse le mot INFINIMENT petit officiellement utilisé depuis belle lurette, c’est-à-dire une chaîne d’éléments divisibles, qui n’aurait pas de fin, n’est –à mon humble avis et pas seulement- pas imaginable. Car une échelle minimale, au-dessus de laquelle il n’y a rien, s’y oppose. En d’autres mots : il existe une limite inférieure à la divisibilité de l’espace...... « Extrêmement » petit me semble plus raisonnable. Car à l’état actuel de nos connaissances rien ne peut être plus petit que l’échelle de Planck ! La singularité –supposée au moment du Big Bang- que prévoit la relativité générale disparaît si l’on tient compte de la gravité quantique....--2A02:1811:5289:7000:557A:C786:C2F7:A987 (discuter) 25 août 2019 à 18:28 (CEST) alessandro pendesini

On est content d'avoir votre avis. Mais sur Wikipédia, on aime bien s'en tenir aux qvis d'experts reconnus, Euler, Weierstrass, Robinson..., lesquels n'ont pas la prétention de savoir comment se comporte l'espace-temps à l'échelle de Planck, et savent en revanche qu'en mathématiques, seuls importent la précision des définitions et la rigueur des raisonnements (à suivre le vôtre, on serait obligé de conclure que l'entier 10^100 et le réel 10^(-100) n'existent pas non plus).--Dfeldmann (discuter) 25 août 2019 à 19:19 (CEST)

Merci pour vos remarques…. La question n’est pas de savoir « comment se comporte l'espace-temps à l'échelle de Planck, » comme vous affirmez, mais de savoir s’il existe une plus petite longueur de la longueur de Planck !..... Par extension et abus de langage, (nous fait remarquer Jean-Pierre Luminet) on appelle ces extrêmes « l’infiniment grand » et « l’infiniment petit », bien que rien de ce qui est physiquement accessible ne soit infini (en particulier, on a tout lieu de croire que la plus petite longueur possible, dite « longueur de Planck », est non nulle mais égale à 10-³³ cm). La concentration infinie de l’Univers en un seul point infiniment petit, prévue au moment du Big Bang par la relativité générale, disparaît quand on tient compte de la gravité quantique (nous fait remarquer Carlo Rovelli). La raison est simple : la gravité quantique est justement la découverte qu’il n’existe pas de points infiniment petits. Il existe une limite inférieure à la divisibilité de l’espace. L’Univers ne peut pas être plus petit que l’échelle de Planck, car il n’existe rien de plus petit que cette échelle. La singularité prévue par la relativité générale classique disparaît dès qu’on tient compte de la gravité quantique....--2A02:1811:5289:7000:E934:A0AB:59AD:2221 (discuter) 26 août 2019 à 07:34 (CEST)

Passionnant. Et donc, le nombre 10^(-1000) n'existe pas.--Dfeldmann (discuter) 26 août 2019 à 08:00 (CEST)

Michel421 (discuter) 18 décembre 2021 à 15:19 (CET)