Discussion:Lemme de Zorn

J'ai repris et complété le texte d'Aldoo (+m), qui avait été complété maladroitement par un utilisateur anonyme. CD 24 jan 2005 à 19:23 (CET)

Utilisations du lemme de Zorn

Après avoir pas mal repris l'article, j'ai un peu essayé d'organiser la section "applications" (renommée en "utilisations") pour éviter le côté "liste" de théorèmes, mais ce n'est pas fini. Pour l'algèbre c'est assez orienté théorie des corps (mais ça suit l'article de Zorn). Il reste à faire (ne pas hésiter à intervenir, pour la section topologie par ex.). Proz (d) 19 octobre 2009 à 03:08 (CEST)

Maximum ?

L'expression "Principes du maximum pour l'inclusion" me heurte. Est-elle sourçable ou améliorable ? Anne Bauval (d) 5 juin 2010 à 10:14 (CEST)

"Principe du maximum", "maximal principle" est utilisé par Rubin & Rubin (entre autres, voir les refs) pour une relation d'ordre, mais aussi bien pour indiquer un élément maximal (1), que pour indiquer une chaîne maximale pour l'inclusion (ex Hausdorff). Là il s'agit du sens (1), dans le cas particulier de l'inclusion, pas d'une expression autonome. Améliorable, peut-être, pas de raison spéciale de s'attacher à cette formulation, mais je ne vois pas le problème en fait. C'est "du maximum" plutôt que "de maximalité" ? Proz (d) 23 janvier 2011 à 13:35 (CET)

Oui, c'est le mot maximum que je trouve gênant, et ces refs en anglais disant maximal ne répondent pas à ce pb de traduction. Anne Bauval (d) 24 janvier 2011 à 02:07 (CET)

J'avais d'abord cru que c'était l'expression dans son ensemble. Maximum est apparemment une erreur de traduction de ma part (si ça laisse entendre qu'il s'agit de l'existence d'un maximum). Principe de maximalité conviendrait-il (c'est au moins utilisé pour Hausdorff) ? Je ne vois pas vraiment de ref. en français précisément pour les "maximal principles" qui est une terminologie probablement de Rubin & Rubin, mais reprise par Campbell et Moore. Proz (d) 24 janvier 2011 à 02:36 (CET)

En revérifiant : c'est tout simplement l'expression utilisée par Zorn, qui dit bien "maximum principle", et c'est là que je l'avais prise. Ceci dit si ça induit une ambiguïté ... Proz (d) 24 janvier 2011 à 03:13 (CET)

Super comme sourçage, on peut pas faire mieux ! alors peut-être une note (à appels multiples, ça coûte rien) qui le donne, et qui souligne que ça n'a rien à voir avec maximum ? (je sais bien qu'"élément maximal" est déjà expliqué et multiplement lié, mais sait-on jamais ...) Anne Bauval (d) 24 janvier 2011 à 21:46 (CET)

Je propose plutôt de remplacer "principe du maximum" par "principe de maximalité" (rmq : c'est dit ainsi dans le résumé en français de l'article de Campbell), et de ne garder "principe du maximum" que quans Zorn est cité (guillemets). Ca parait plus simple. Proz (d) 25 janvier 2011 à 22:48 (CET)

A propos du th. de point fixe

Que faut-il préciser (contenu évasif ...), que la preuve n'est pas dans Bourbaki 1939 ? (c'est bien le cas). Rmq : la démonstration par définition par récurrence ordinale (ou sur un bon ordre par le th. de Zermelo) étant quand même très intuitive, et des énoncés voisins connus (voire l'énoncé lui-même ?), il semble clair que les gens savent le démontrer, la "première démonstration" publiée n'a pas grande importance (l'intérêt de celle de Kneser est son élégance et je crois comprendre qu'il l'attribue bien à Zermelo) ... Je suis un peu surpris que le "théorème" soit nommé "souvent" Bourbaki-Kneser, parce que je ne me souviens pas l'avoir entendu (j'entends théorème de point fixe pour ma part), ou lu. Il est connu que les théorèmes de point fixe sont multi-attribués). Sur en: c'est en:Bourbaki-Witt theorem (je ne propose pas de le traduire). Proz (d) 6 mai 2012 à 17:35 (CEST)

Bon, tu me rassures en disant « c'est bien le cas » car je craignais, en lisant cet évasif « pas ou très peu » (il faut choisir !), que mon « (sans preuve) » dans la note 18 soit une erreur d'interprétation de ce que H. Kneser raconte. C'est dans de:Extensive Abbildung (page que, rassure-toi, je n'ai aucune intention de traduire ni même lier, mais qui est maintenant liée au bon Kneser, or je travaille sur cette tribu ces temps-ci) que je suis tombée sur ce nom de théorème (de point fixe) de Bourbaki-Kneser. Moi aussi c'était la première fois que j'entendais ce nom. Je me suis convaincue rapidement qu'il était pourtant répandu, mais je n'ai pas jugé utile de sourcer ça. Anne (d) 6 mai 2012 à 18:59 (CEST)

La bonne requête c'est plutôt ça, remarque que [1] (que je n'ai jamais entendu non plus) c'est pire, et que par contre https://www.google.fr/search?hl=fr&q=%22Bourbaki-Witt%22 et https://www.google.fr/search?hl=fr&q=%22Bourbaki-Kneser%22 ... (je n'ai pas d'explication, il me semble qu'en France au moins ça ne s'utilise guère, tous ces gens ont d'autres titres de gloire).
C'est pas ou très peu suivant les sections (si je me souviens bien il y a quand même quelques demos simples, j'ai dû écrire "pas" d'après Campbell et vérifier), le fascicule est toujours présent dans les éditions récentes du volume de théorie des ensembles, à la fin, n'hésite pas à reformuler si tu vérifies (sinon j'essaierai de regarder à nouveau, mais pour Zorn je suis sûr). Proz (d) 6 mai 2012 à 21:21 (CEST)

Merci bien, à suivre donc. Je sais bien que les sources primaires sont mal vues par ici, mais ça me semblait plus intéressant de découvrir l'article de Kneser (qui se fait mousser tout en restant honnête) et comprendre pourquoi certains manuels parlent de "Bourbaki-Kneser", que de citer ces manuels (ce qui reste faisable). Anne (d) 6 mai 2012 à 22:47 (CEST)

A dire vrai je ne suggérais pas de citer ces manuels mais plutôt qu'ils n'étaient pas si nombreux ("parfois" plutôt que "souvent"). C'est une excellente idée d'avoir mis un lien sur l'article de Kneser (déjà cité) qui est intéressant en soi, même si je comprends mal l'allemand, et ok pour ne pas citer les manuels. Pour tout dire, autant je comprends que le lemme de Zorn s'appelle ainsi car Zorn en a montré l'utilité même s'il est loin de l'avoir découvert le premier, autant je trouve qu'attribuer un tel résultat (aussi proche) de cette façon (aussi bien à Bourbaki qu'à Kneser) est assez étrange (eux n'ont rien demandé), mais bien-sûr, comme ça existe, c'est utile de le citer ... Proz (d) 7 mai 2012 à 00:36 (CEST)

Je tombe aujourd'hui par hasard sur en:Bourbaki–Witt theorem et sur Les pages liées au lien rouge « Théorème de Bourbaki-Witt » mais ne sais pas s'il vaut mieux faire un modèle lien ou un redirect vers ici. Anne (d) 3 novembre 2012 à 14:28 (CET)

Un article théorème de point fixe sur les ensembles ordonnés qui regrouperaient un certain nombre de résultats (celui-ci, et éventuellement d'autres, comme Knapster-Tarski ou celui attribué chez nous à Kleene) serait utile et éviterait la dispersion. cela éviterait de prendre partie pour une attribution (souvent fantaisiste à mon avis, si Bourbaki, Kneser, Witt ne citent personne c'est que c'est bien connu, du folklore éventuellement), mais permettrait de les mentionner. Pour celui-ci, Moschovakis l'attribue à Zermelo (qui l'a utilisé mais je crois sans le mettre en évidence explicitement). Comme source il y a Moschovakis (au moins pour celui que tu cites et le cas dénombrable). Proz (d) 3 novembre 2012 à 16:28 (CET)

J'ai ajouté dans Théorème de Zermelo un article de Kanamori. Il me semble qu'il contient « presque » (seulement presque hélas et je ne trouve pas de source plus explicite donc peut-être que je me trompe) un théorème de point fixe identique à celui de Lemme de Zorn#Démonstration par intersection et propriété de clôture mais en remplaçant l'hypothèse « ensemble non vide strictement inductif » (1, 4) par l'hypothèse plus faible (2, 4). Les arguments sont quasiment les mêmes que dans Lemme de Zorn#Démonstration par réunion de chaînes bien ordonnées, mais ça permettrait de simplifier ce § et d'y ajouter ce théorème un peu plus fort.

Théorème de point fixe des ensembles ordonnés (sans AC). — Soient (P, ≤) un ensemble ordonné dans lequel toute partiebien ordonnéepossède une borne supérieure et g : P → P une application expansive, c'est-à-dire vérifiant x ≤ g(x) pour tout x de P. Alors g possède au moins un point fixe.

Démonstration

Appelons g-ensemble toute partie C de P bien ordonnée et telle que pour tout x de C,

x = sup {g(y) | y ∈ C et y < x}.

(En particulier, ∅ est un g-ensemble.)

Si C et D sont deux g-ensembles, l'un est un segment initial de l'autre. En effet, soit I la réunion des segments initiaux à la fois de C et de D et montrons par l'absurde que I est égal à C ou D : sinon, I aurait un plus petit majorant strict dans C, soit mC, et un plus petit majorant strict dans D, soit mD, et l'élément

mC = sup {g(y) | y ∈ C et y < mC} = sup {g(y) | y ∈ I} = sup {g(y) | y ∈ D et y < mD} = mD

pourrait alors être ajouté à I pour former un segment initial commun à C et D, contredisant la maximalité de I.

On en déduit que la réunion M de tous les g-ensembles est encore un g-ensemble. En particulier, M est bien ordonné et

g est croissante sur M,

donc

{g(y) | y ∈ M} est bien ordonné.

Soit z sa borne supérieure. Alors M ∪ {z} est un g-ensemble donc z ∈ M donc g(z) ≤ z donc g(z) = z.

Corollaire (avec AC). — Tout ensemble inductif au sens « faible » (2,3) possède un élément maximal.

Démonstration

Soit (E, ≤) inductif au sens (2,3). Considérons l'ensemble P de ses parties bien ordonnées et ordonnons-le par inclusion. Définissons (à l'aide d'une fonction de choix) une application g de P dans P par : si C a des majorants stricts, soit x l'un d'eux et g(C) = C ∪ {x}, sinon, soit g(C) = C. Alors g possède un point fixe, c'est-à-dire que E possède une partie bien ordonnée C sans majorant strict. Par hypothèse sur E, C a cependant un majorant, qui est alors maximal dans E.

Anne 26/12/14 2h58

Bien sûr il y a un théorème de point fixe indépendant de l'axiome du choix pour toutes les versions. Je me suis fait aussi la réflexion l'autre jour en relisant que c'est artificiel de ne pas avoir remarqué que le théorème de point fixe avait aussi une démonstration dans le style de la seconde. Maintenant je trouve plus progressif de suivre d'abord la preuve "intuitive" qui consiste plutôt à ajouter un élément au bout de la chaîne qu'à l'étendre (principale différence entre la preuve que tu proposes et celle actuelle je crois), à l'aide de la fonction de choix, les démonstrations étant au final très proches (je ne vois pas de réelle simplification, tout se traduisant simplement entre une présentation et l'autre). C'est ce qui fait aussi la transition entre la première preuve ordinale et la seconde. Je propose plutôt de procéder comme actuellement (pas d'objection par ailleurs à démontrer le lemme par l'absurde plutôt que par tiers-exclu ou autre amélioration), de remarquer ensuite qu'il y a un théorème de point fixe sous-jacent, démontré comme tu le proposes, sachant qu'on a pas besoin de refaire les preuves quand elles sont quasi-identiques (lemme), et de faire ainsi l'articulation avec la 3-ième démonstration. Ca me semble même utile de donner des variations qui ne sont pas gratuites mais éclairent finalement le théorème à travers ses démonstrations. Par ailleurs je crois que si le théorème de point-fixe est énoncé le plus souvent dans un cadre chaîne totalement ordonnée plutôt que bien ordonnée c'est que c'est ainsi qu'on s'en sert, par exemple Moschovakis ne l'énonce que dans le cadre (1,4) mais sa démonstration par récurrence ordinale ou sur un bon ordre (Hartog) est évidemment valide pour (2,3). Proz (discuter) 27 décembre 2014 à 01:58 (CET)

• Je ne comprends pas ton « Maintenant je trouve plus progressif de suivre d'abord la preuve "intuitive" qui consiste plutôt à ajouter un élément au bout de la chaîne qu'à l'étendre (principale différence entre la preuve que tu proposes et celle actuelle je crois), à l'aide de la fonction de choix » et ne vois pas à quel(s) morceau(x) de l'article il fait référence.
• Pour moi, la « principale différence entre ce que je propose et la version actuelle » (des 2 § « Démonstration par réunion de chaînes bien ordonnées » et « Démonstration par intersection et propriété de clôture ») est — c'est ce qui me faisait douter de moi mais tu m'as rassurée — que « mon » théo de point fixe est plus fort que celui de la version actuelle, et que sa preuve est plus simple à la fois que celle de Moschovakis (qui se fatigue sur un « problem in the limit case if the set {σ(x) | x < y} is not a chain in P ») ni celles de Kanamori, et que celle de notre théo de point fixe actuel (qui, comme celle de Bourbaki, m'est incompréhensible car seulement « lisible pas à pas »). Je suis d'accord que ce que je propose ne simplifierait pas le § démo par union de chaînes (ni ne le compliquerait à mon avis : la méthode est équivalente), mais ça fournirait un théo plus fort (que celui du § suivant) avec une preuve lisible. Je ne propose pas d'enlever la preuve « illisible » mais seulement de reformuler celle déjà lisible, et d'en formuler le théo de point fixe qui s'y cache. Anne 28/12/14 2h08 et 15h17

J'ai le même vécu que toi pour la démonstration "Bourbaki" (~ Zermelo 1908 si j'ai bien compris en survolant Kanamori, ce serait à dire, je n'avais jamais vérifié moi-même directement), il y a toujours quelque chose qu'on ne retrouve pas quand on veut la refaire. La démonstration actuelle est aussi la "directe" que reprend Kanamori en fin d'article. Elle a cet avantage d'être directe, d'être dans la lignée du paragraphe précédent (c'est vraiment la définition par récurrence). Ce que tu proposes est intéressant, mais même si c'est sur le fond équivalent c'est me semble-t-il un degré d'abstraction supplémentaire de voir l'argument comme th. de point fixe (la même démarche que de voir une définition par récurrence sur les entiers comme un point fixe), et d'ailleurs la déf. des g-chaînes est plus immédiate. Donc pour reprendre et préciser ma proposition : ce serait plutôt d'introduire une section intermédiaire sur le th. de point fixe introduit à partir de la dém. directe en glissant vers la dém. que tu proposes (qui paraît en gros celle de Kuratovski qui la donne pour l'inclusion, si je n'ai pas lu trop vite Kanamori), ce qui fait ainsi une liaison entre les présentations des deux démonstrations (celle par union et celle par intersection). Ca donnera de plus de l'unité à l'ensemble. On peut s'appuyer sur l'article de Kanamori que tu as cité.

Peut-être un non-dit qu'il vaut mieux expliciter : pour moi l'objectif de cette section est autant (si ce n'est plutôt) de présenter les diverses démonstrations ou variantes et leurs liens que de démontrer (sur cet article et j'ai la même position sur les articles dont le sujet est un théorème en général, donc pas partisan dans ce cas des boîtes déroulantes et du style de rédaction qu'elles induisent). Proz (discuter) 29 décembre 2014 à 04:33 (CET)

Réponse aux modif. des interventions et commentaires en boîte de résumé : oui j'ai bien vu la version avec chaînes bien ordonnées, ce n'est pas fini (cf. mon commentaires en boîte de résumé sur l'article). La version du th. de point avec chaînes bien ordonnées n'est effectivement pas explicitement dans Kanamori, mais quasiment p 300 (pour l'inclusion). Proz (discuter) 30 décembre 2014 à 12:46 (CET)

Oui, d'où mon « « presque » (seulement presque hélas… ) » (le 26/12/14 2h58 juste avant les boîtes déroulantes) : c'est dans le cas particulier de l'inclusion et il suppose que le sup existe pour toute partie. Il est dur à lire parce que chaque preuve renvoie à la précédente, mais je n'ai pas l'impression que cette hypothèse lui sert. Pour généraliser, il m'a fallu les 3 idées supplémentaires que j'ai encadrées de balises de centrage.

J'avais bien vu que tu es en plein travail et que ça s'annonce bien, c'est pourquoi je me gardais d'intervenir, même en pdd à part pour ajouter ces balises.

Sinon, complètement d'accord avec ton objectif encyclopédique et ta stratégie, car on ne peut pas savoir ce que vient chercher "le" (multiple !) lecteur. Pour moi, c'était au départ parce que mon meilleur étudiant de L3topologie, à la fin de mon dernier cours (merci pour ton aide sur ℕ × B), venait de me demander comment on démontre ça, et je lui avais conseillé de voir ici, puis j'avais constaté que ce serait probablement trop long à lire pour lui, qui comprend vite mais n'est pas supposé connaître grand chose. Anne 30/12/14 20h03

L'idéal serait que l'étudiant de L3 trouve malgré tout son bonheur, peut-être en reprenant l'intro pour guider la lecture ... Peut-être également qu'il faudrait détailler l'étape (certes très simple) de la démonstration, qui est que la réunion des g-chaînes et une g-chaîne (d'un autre côté ça devient vraiment "cours"). Merci également pour ces échanges qui me sont utiles à moi aussi.

Pour résumer je crois qu'il y a deux fils pour présenter la dém. du lemme de Zorn : comme une définition par récurrence généralisée + fonction de choix, ou comme un th. de point fixe + fonction de choix. Les deux sont très liées (def. par récurrence et point fixe), tout ça est subjectif (avec sources quand même) mais je pense que l'approche "définition par récurrence" est plus intuitive, et que la dém. directe dans le style Zermelo 1904 (réunion de chaînes) en est très proche même si elle convient aussi pour le point fixe. On a peut-être commencé nos études à peu près à la même époque (mi années 70), où le lemme de Zorn se démontrait en prépa de façon expéditive, et je pense par point fixe (peut-être pas explicite) + méthode Bourbaki (en reconstituant), je n'en ai pas retiré grand chose.

En reprenant ce que tu écrivais sur la démonstration de Moschovakis : ce n'est pas qu'il se "fatigue" sur le cas limite, c'est juste qu'il a pris pour son théorème de définition par récurrence une fonction (une fonctionnelle si on avait la classe des ordinaux) totale, d'où son ajout du bottom et son cas supplémentaire qui en fait ne sert pas en fait dans la construction par récurrence. Mais on l'adapte directement à la restriction aux chaînes bien ordonnées. Proz (discuter) 2 janvier 2015 à 13:03 (CET)

Merci, je l'ai maintenant vraiment lue, et comprise. Mais je préfère ce théo de point fixe, et mon étudiant en était très content. Crois-tu qu'on puisse le généraliser encore plus, en :

Soit (P, ≤) un ensemble ordonné dans lequel toute partie bien ordonnée possède un majorant, alors toute application expansive de P dans P possède au moins un point fixe ?

Anne 4/1/15 20h22

En utilisant la même méthode ça fonctionne avec l'axiome du choix (pour choisir un majorant dans le cas limite) mais je ne pense pas que cette réponse te convienne. Sans axiome du choix je ne vois pas comment faire. Proz (discuter) 5 janvier 2015 à 00:21 (CET)

Variations sur la définition d'ensemble inductif

Dans la définition de « strictement inductif », nous demandons d'abord que l'ensemble soit non vide (sans doute pour que strictement inductif implique inductif). Lang, dans Real and Functional Analysis et Undergraduate Algebra, oublie de choisit de ne pas le faire (je n'ai pas accès à l'appendice de son Algebra donné en référence pour voir si là-bas il n'oublie pas). Ceci me rend méfiante réticente pour sa seconde condition (toute chaîne non vide a une borne sup) : pourquoi « non vide » ? D'ailleurs il met aussi ce « non vide » dans sa définition de « inductif », ce qui n'est pas classique (cf. Bourbaki) et que nous nous gardons de faire. Je trouve qu'il vaudrait mieux oublier Lang et prendre une définition de « strictement inductif » plus simple et plus cohérente avec celle de « inductif » (elle impose donc aux ordres strictement inductifs d'avoir un plus petit élément, mais ça ne pose aucun problème je crois). Anne 26/12/14 11h

Ca revient juste à demander ou non un plus petit élément. Est-ce que vraiment il y a toujours dans les applications un plus petit élément (qui ne sert vraiment à rien pour la démonstration)  ? L'intérêt de la version faible (1,4) c'est qu'elle demande un minimum de connaissances (pas besoin de bon ordre) et d'imagination (pas besoin de se creuser pour chercher un majorant). Lang propose bien la version qui est indiquée, Moscovakis celle avec plus petit élément. On peut mentionner les deux (et que ça n'a pas grande importance). Proz (discuter) 27 décembre 2014 à 00:29 (CET)

J'avais bien vu tout ça, sauf Moschovakis pour lequel je te fais confiance et l'appendice de Algebra auquel je n'ai pas non plus accès. Tu confirmes donc que la réf à cet appendice source honnêtement notre définition actuelle de « strictement inductif » ? Les 2 autres ouvrages de Lang ci-dessus ne conviendraient pas comme réf car il y sort des sentiers battus : là-dedans, un ordre strictement inductif et un ordre inductif ont le droit d'être vides et du coup il est obligé d'ajouter non vide dans les énoncés. Si cette originalité sert juste à s'autoriser des ordres sans plus petit élément, à quoi bon ? dans les exemples qu'il donne, il y en a toujours un (comme dans la déf et les exemples de Zorn 1935). C'est vrai que ce plus petit élément ne sert à rien pour la démonstration mais autoriser son absence alourdit et dépareille les définitions sans vraiment augmenter la généralité du théorème : même si (ce dont je doute jusqu'à preuve du contraire) il existe une application naturelle à un ordre sans plus petit élément, il suffit d'en ajouter un. Anne 27/12 2h11

Il me semble, mais je revérifie demain, là je ne suis plus en état, bon on se demande bien pourquoi imposer un plus petit élément mais il est possible que ça ne soit pas une vraie restriction (sachant, on est bien d'accord ?, que ce serait très disgracieux de devoir ajouter un ppe, qu'on peut certes toujours ajouter, pour appliquer un théorème qui n'en a pas vraiment besoin). A ce moment on pourra plutôt privilégier celle que tu préfères en signalant malgré tout l'autre comme variante (c'est un bouquin influent quand même, parler d'inhabituel c'est un peu délicat ...). Proz (discuter) 27 décembre 2014 à 02:35 (CET)

Oui effectivement dans "Algebra" aussi il précise que l'ensemble partiellement ordonné est non vide dans chaque énoncé de théorème, et pas dans la définition de "strictly inductively ordered set" en cohérence avec ce que tu as lu de lui ailleurs. Je n'ai pas d'exemple d'application du lemme de Zorn avec un ordre sans plus petit élément, et d'ailleurs plutôt que d'en ajouter un, on peut prendre tous les éléments au dessus d'un élément donné ce qui pour le coup est naturel et parfois utile (élément maximal au dessus d'un élément donné), donc vraiment pas du tout d'objection à privilégier plus nettement la version avec plus petit élément. Ceci dit pour savoir ce qui est le plus usuel, je ne sais pas. La même question se pose pour la notion voisine de cpo (voir la version anglaise de Ordre partiel complet (informatique), version française à revoir d'ailleurs, pointed cpo et cpo), et je n'ai pas l'impression qu'il y ait un choix privilégié ... Proz (discuter) 27 décembre 2014 à 12:03 (CET)

Merci pour la vérif, ton début de modif dans l'article, et ton « vraiment pas du tout d'objection à privilégier plus nettement la version avec plus petit élément », qui m'autorise à continuer cette modif. Si je traitais (en commentaire de diff le 27/12 2h11) le choix de Lang d'« inhabituel », c'est qu'il l'est au moins dans sa déf de « inductif » (pour strictement inductif, moins courant, peut-être aussi mais tu me fais douter un peu). Je comprends mieux à présent ses choix : il a sans doute voulu autoriser les strictement inductifs sans plus petit élément (par le même souci d'économie que toi) puis a aligné sa déf personnelle de inductif sur sa déf de strictement inductif (ce que tu as préféré ne pas faire et je suis d'accord, mais c'est cette incohérence chez nous qui m'a gênée). Son souci d'économie est contestable : outre que sa généralisation n'en est pas vraiment une et ne sert à rien, ce qu'il gagne d'un côté il le perd en élégance de l'autre à chaque fois qu'il doit vérifier qu'un ordre donné est « non vide et Lang-inductif » ou « non vide et Lang-strictement-inductif ». Anne 28/12 10h37