Discussion:Lemme des bergers
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Lemme ou principe ? modifier
Bonjour,
J'écris au sujet du Lemme des Bergers. En lisant l'article, je suis presque certain qu'on parle du principe des bergers, mais je n'en suis pas tout à fait certain. Sinon très bon article, la formulation simple puis complexe est excellente. Merci à l'auteur
Une petite tache ? modifier
On lit dans l'article :
Principe des bergers — Étant donnés deux ensembles quelconques, X et Y, de cardinaux respectifs a et b, et une surjection f : X → Y telle que les ensembles f-1( { y } ), pour y élément de Y, aient tous même cardinal c, alors on a a = b × c.
Bourbaki lui aussi suppose dans l'énoncé (voir référence donnée dans l'article) que f est surjective, et pourtant cette hypothèse est superflue : elle ne joue aucun rôle dans la démonstration et il est clair que l'énoncé reste vrai si on suppose que f n'est pas surjective : dans ce cas, il existe un ensemble f-1( { y } ) qui est vide, donc, par hypothèse, tous les ensembles f-1( { y } ) sont vides, donc f ne prend aucune valeur, ce qui n'est possible que si X est vide. Donc les cardinaux a et c sont tous deux nuls, donc l'énoncé est bien vrai. (Mais, je le rappelle, ce développement est inutile, car la surjectivité de f n'est pas utilisée dans la démonstration.)
L'hypothèse selon laquelle f est surjective me fait donc l'effet d'une tache, mais puisque cette tache est dans Bourbaki, je laisse les choses en l'état.
P.S. La typographie de l'énoncé n'est peut-être pas très heureuse. On voit à peine le - dans l'exposant -1. Marvoir (d) 11 novembre 2010 à 10:20 (CET)
- Ok pour le p.s., je vais améliorer (mais n'hésite pas à repasser si tu trouves une meilleure idée). Ok aussi pour le fait que c'est une tache (que je n'avais jamais remarquée), mais pour la laisser (pour pas dérouter des lecteurs mal à l'aise avec l'ensemble vide en rajoutant un cas somme toute pas "utile"), à moins qu'une autre source l'énonce sans tache. Je vois que tu as précisé ton édition de Bourbaki. Le n° de page est le même dans cette autre édition. Est-il le même partout ? ¨Et le n° de la proposition (qui évite de préciser dans quelle édition) ne suffit-il pas ? Anne Bauval (d) 11 novembre 2010 à 12:43 (CET)
- La Théorie des Ensembles de Bourbaki a d'abord été publiée en fascicules (j'ignore les dates précises, mais c'était avant 1970). Je me souviens d'avoir remarqué (je ne sais plus si c'était à propos de la théorie des ensembles ou de l'algèbre) qu'il y avait des différences structurelles (numérotation des propositions, par exemple) entre les fascicules et l'édition ultérieure en livre. Il me semble qu'il vaudrait donc mieux préciser l'édition. (À mon avis, c'est une règle générale.) Je crois avoir lu que l'édition Springer de 2006 est une réimpression identique de l'édition de 1970. On pourrait peut-être ajouter à la référence la mention "réimpr. Springer 2006, p. III.41" et mettre un lien vers Google Livres ? (En fait, pour l'éd. de 1970, il vaudrait peut-être mieux mettre aussi "p. III.41", car la numérotation n'est pas continue dans tout le livre, elle repart à chaque chapitre.) Marvoir (d) 11 novembre 2010 à 13:39 (CET)
Représentation schématique partiale modifier
Dans la représentation schématique du Lemme des Bergers, les moutons considérés ont deux pattes, ce qui peut être désobligeant vis-à-vis de ceux qui en ont trois, quatre ou cinq , voire plus. Didier Mazot (discuter) 2 janvier 2023 à 20:02 (CET)