Discussion:Loi normale multidimensionnelle

Plan mis en place

Je viens de changer le plan (faut bien se lancer un jour...). Je dois avouer etre encore un peu perplexe sur la partie remarques diverses, caar je comprends que tu veuilles les garder telles quelles Jct et d'un autre cote, je me dis que c'est aussi des proprietes de la loi qui auraient donc leur place dans la case proprietes. Je vais dans les jours a venir essayer de completer les deux dernieres parties, je pense que ce serait bien de prendre en compte aussi les remarques de Vivares. En resume, maintenant je pense qu'il ne reste plus qu'a remplir et a reprendre deux trois trucs de la version anglaise et on aura quelque chose d'encore mieux qu'avant. Oliv9053 (d) 27 juillet 2008 à 16:13 (CEST)

Petite reorganisation ?

Une question pour laquelle je ne connais pas la réponse. Pour l'instant il me semble que l'article part tres vite dans le detail du comment se definit la loi. Ne serait il pas interessant de passer les sections actuelles (intro incluse) dans une section definition et ajouter une section par exemple Applications (j'ai en tete notamment l'algorithme EM pour les estimations de mixtures de gaussiennes, typiquement classification de tissus dans le cerveau a partir d'IRMs) ou encore Proprietes (distance de Kullback entre deux gaussiennes, entropie, ...).

Oliv9053 (d) 24 juillet 2008 à 01:34 (CEST)

Je ne suis pas sûr de comprendre la nouvelle organisation. Il me semble effectivement raisonnable de transférer la partie détaillée de l'introduction dans un paragraphe du corps de l'article. De là à donner exactement le même poids à des informations générales sur le sujet de l'article et à des informations très spécialisées ? Il me semble que ces dernières trouveraient mieux leur place dans un article spécialisé.

Je ne suis pas sur moi meme de l'organisation a adopter. Effectivement, mes exemples sont peut etre trop detailles et les applications meriteraient peut etre d'etre uniquement mentionnees rapidement e intro. Cela dit, une explication de comment sont obetnues les formules que j'ai rajoutees dans le tableau sur la droite serait peut etre interessante. Ou bien cla est il trop detaille et inutile ? Honnetement, je debute dans wikipedia donc je ne sais pas repondre a ca ... Oliv9053 (d) 24 juillet 2008 à 14:48 (CEST)

Il existe plus ou moins une norme que je ne maîtrise pas pour la description des lois de probabilité (voir, par exemple, Loi normale et le liens qu'elle contient). D'une manière générale, ce n'est pas propre aux lois de probabilité, les démonstrations précises sont à éviter au profit éventuellement de grandes lignes, comme c'est le cas dans cet article. Je n'ai pas critiqué les exemples cités (qui ne représentent rien pour moi !), simplement j'avais cru comprendre que la quasi-totalité de l'article actuel qui tente de définir la loi serait regroupée dans un fourre-tout opposé à une autre partie contenant ces exemples. Je ne suis pas du tout opposé à l'existence d'un paragraphe Applications qui, on peut le contester, serait relativement court et renverrait, éventuellement un peu plus tard, à des articles spécialisés. Jct (d) 24 juillet 2008 à 15:18 (CEST)

Tes remarques me paraissent pertinentes. J'ai deux applications en tete dans mon domaine des maths appliquees au traitement d'images medicales mais en regardant un peu dans wikipedia elles sont deja en partie exposees dans d'autres articles (classification des tissus du cerveau, article EM, voir l'exemple detaille ; et imagerie du tenseur de diffusion, ou en fait chaque pixel de l'image est une gaussienne 3D de moyenne nulle representant les directions de diffusion de l'eau). Donc je ne ferai que les mentionner ici et relier aux articles correspondants pour dire que cette loi n'est pas seulement jolie mathematiquement mais aussi utile en pratique. Pour finir, j'ai du mal a voir ou mettre la partie detaillee de l'introduction... Peut etre une section resume apres avoir montre comment la loi se construit ... Le plan pourrait donc ressembler a : l'actuel sur la construction de la loi + section Resume de la formulation (ancienne intro detaillee) + Remarques diverses + applications (si elles ne finissent pas donnees rapidement en intro) Oliv9053 (d) 25 juillet 2008 à 05:27 (CEST)

Désolé de paraître discourtois mais j'ai du mal à répondre à deux contradicteurs à la fois. A la suite du débat avec HB je propose le plan suivant :

• 0. Introduction telle que réécrite par HB sans les références à des problèmes qui me paraissent trop particuliers pour trouver leur place ici.
• 1. Description de la loi (incluant le contenu de Remarques diverses).
• 2. Propriétés (distance de Kullback, entropie, ...).
• 3. Applications (mixtures de gaussiennes, IRM, EM, imagerie du tenseur de diffusion, ...)

Accessoirement, pour quelle raison le n a-t-il été remplacé par N dans les formules mais pas dans sa définition (loi unitaire à plusieurs variables) ? Jct (d) 24 juillet 2008 à 09:34 (CEST)

C'est un oubli. J'ai tente de remplacer tous les n et p par des N pour harmoniser mais il en restait quelques uns. C'est corrige. Oliv9053 (d) 24 juillet 2008 à 14:48 (CEST)

Une suggestion

Comme je vous vois hésiter sur la forme de l'article, je me permets d'intervenir seulement en page de discussion car je maitrise techniquement trop mal le sujet. Il n'est pas judicieux de déplacer l'intro dans une partie car l'intro doit être un résumé de l'article, mais je suis d'accord avec Oliv9053 pour qu'il y ait une hiérarchie dans le plan et que l'intro soit allégée. Il semblerait d'autre part qu'il y ait du contenu à prendre dans l'article anglais. Je propose donc

Comme intro

On appelle loi normale multidimensionnelle, ou loi multinormale ou loi de Gauss à plusieurs variables, une loi de probabilité qui est la généralisation multidimensionnelle de la loi normale.

Alors que la loi normale classique est paramétrée par un scalaire $\mu$ correspondant à sa moyenne et un second scalaire $\sigma ^{2}$ correspondant à sa variance, la loi multinormale est paramétrée par un vecteur ${\boldsymbol {\mu }}$ de $\mathbb {R} ^{N}$ représentant son centre et une matrice définie positive ${\boldsymbol {\Sigma }}$ de $\mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {R} ^{N}$ représentant sa matrice de variance-covariance.

Sa fonction de densité est définie de $\mathbb {R} ^{N}$ dans $\mathbb {R}$ de la manière suivante :

Pour un vecteur ${\boldsymbol {x}}$ de $\mathbb {R} ^{N}$ et en notant ${\boldsymbol {\theta }}=\left({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}\right)$

$f\left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{N/2}\left|{\boldsymbol {\Sigma }}\right|^{1/2}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }}\right)^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\left({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }}\right)}.$

Elle est habituellement notée $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\,\Sigma )$ par analogie à la loi normale unidimensionnelle.

Elle a de nombreuses applications comme en probabilité dans le cas des mixtures gaussiennes ou en imagerie médicale pour la classification des tissus dans une IRM (à compléter).

Comme plan

• 1. Construction
  • 1.1 Rappel sur la variable de Gauss (inchangé)
  • 1.2 Loi unitaire à plusieurs variables (inchangé)
  • 1.3 Loi générale à plusieurs variables (inchangé)
• 2. Propriétés (actuelle section 4, à développer)
• 3. Domaines d'application (à développer)

Je vous laisse mettre en place dans l'article ce qui vous semble judicieux dans mes propositions. HB (d) 25 juillet 2008 à 09:19 (CEST)

• Selon wikipedia:Conventions_de_style#Comment débuter un article ? Un article commence par une courte introduction (par exemple une définition), où l'on reprend le titre de l'article. Il s'agit ici de faire en sorte que le lecteur sache immédiatement de quoi l'article traite. On met en caractères gras la première mention du sujet de l'article. Il me semble que l'introduction proposée va un peu au-delà de cette recommandation, tout en négligeant des informations contenues dans l'article actuel. Je ne vois pas pourquoi refuser d'en faire un paragraphe.
• Pourquoi faire dès l'introduction un sort à certaines applications très spécialisées et ne pas attendre le paragraphe Domaines d'application pour en parler ? Là encore, je crois qu'il s'agit de détails trop précis pour une introduction.
• En quel sens le paragraphe Remarques diverses qui ne fait que préciser ce qui précède (je m'aperçois qu'il n'y avait pas de raison évidente de le séparer de Loi générale à plusieurs variables) devrait-il être plus développé que les autres ? Jct (d) 25 juillet 2008 à 10:33 (CEST)

Je voyais plutôt un résumé introductif comme il est décrit dans l'article détaillé Wikipédia:Résumé introductif ne se limitant donc pas à une seule phrase. La proposition que je faisais s'inspirait de l'introduction de loi normale, la section 2. avait pour vocation de regrouper les propriétés présentes (comme le fait que les lois marginales sont normales) et futures (comme celles proposées par Oliv9053). Mais je vois que tu as une idée très précise de la forme que doit prendre cet article et je te laisse tranquille. HB (d) 25 juillet 2008 à 12:40 (CEST)

Il ne me reste plus qu'à présenter des excuses, Wikipedia:Résumé introductif semblant contredire (à moins que je n'aie encore rien compris) Wikipedia:Conventions de style auquel il renvoie. L'introduction actuelle me paraissait un peu effrayante pour quelqu'un qui veut s'informer sur un sujet qu'il ne maîtrise pas mais la version proposée est moins agressive.

Je maintiens, par contre, que l'introduction ne pourrait contenir que des références à des applications très générales ou d'importance historique. En jetant un coup d'oeil sur les pages liées, je m'aperçois qu'elles recoupent plus ou moins les cas présentés par Oliv9053. Aucun d'entre eux ne répondant à l'un ou l'autre de ces deux critères, il me semble que leur place est dans la partie Domaines d'application.

D'autre part, cette controverse m'a fait réfléchir au fait que le Remarques diverses n'est rien d'autre qu'une liste de six résultats classiques concernant la Loi générale à plusieurs variables et il ne me paraît raisonnable de les joindre à ce paragraphe sans isoler l'un d'eux. A ce que je crois comprendre, la partie Propriétés devrait comprendre les notions... que je ne comprends pas. Jct (d) 25 juillet 2008 à 17:04 (CEST)

Où est la définition de la loi normale multidimensionnelle ?

Contrairement à l'article de la Wikipédia de langue anglaise, cet article (de mathématiques, qu'on le veuille ou non, et non élémentaires) ne donne à aucun moment de définition de la loi dont il traite. On parle au début de loi non dégénérée mais il n'est dit nulle part ce que cela signifie. Pour quelqu'un qui connaît le sujet, l'article semble traiter uniquement le cas non dégénéré, mais (et la Wikipédia de langue anglaise le dit avec netteté, en indiquant qu'il s'agit d'un cas fréquent en statistiques), la loi normale multidimensionnelle n'admet pas nécessairement une densité (elle peut ne pas être absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue ; c'est le cas ssi la matrice des covariances est non inversible, ce qui équivaut à l'existence d'un hyperplan affine contenant le support de la loi). Qu'on veuille éviter les démonstrations est une chose (encore qu'elles pourraient figurer sous forme de boîtes déroulantes), mais on ne peut se dispenser de définir les notions introduites.Vivarés (d) 27 juillet 2008 à 12:38 (CEST)

Calmons nous, calmons nous... Il est vrai qu'il manque des choses a l'article et comme l'a deja mentionne HB, il y a du bon a prendre dans la version anglaise. Cela dit, il me semble que l'article dans l'etat actuel definit quand meme plutot bien la distribution gaussienne dans le cas non degenere ($\Sigma$ inversible), il suffirait de le rappeler explicitement. Je viens de faire une modif pour avoir le nouveau plan propose dans cette page. Par rapport a la version anglaise, il manque peut etre effectivement le debut du general case ou il est dit voila quand on peut dire qu'un vecteur aleatoire suit une loi normale multivariee. Oliv9053 (d) 27 juillet 2008 à 16:13 (CEST)

À vérifier

À vérifier et compléter par quelqu'un de compétent. HB 12 juillet 2006 à 18:47 (CEST)

Affirmation à préciser

Il est affirmé en remarque : "Si des variables de Gauss sont décorrélées, leur matrice de covariance est diagonale, ce qui assure leur indépendance". Ceci s'applique dans le cas où les variables en question sont les composantes d'un vecteur aléatoire dont la loi est normale multidimensionnelle. Mais il se peut que des variables de Gauss soient les composantes d'un vecteur aléatoire dont la loi n'est pas normale multidimensionnelle, auquel cas le fait qu'elles soient non corrélées n'implique pas leur indépendance. Vivarés 2 décembre 2006 à 14:10 (CET)

Différence à préciser. Jct 3 décembre 2006 à 11:50 (CET)

Formulation inexacte

La phrase suivante, telle quelle, est inexacte :

"En combinant les remarques précédentes, on aboutit au résultat selon lequel toute combinaison linéaire, en d'autres termes, toute somme de variables de Gauss est une variable de Gauss." (fin de citation)

Ceci suppose (comme ce n'est pas rappelé dans la phrase) que les variables de Gauss en question soient les composantes d'un vecteur gaussien. Bien entendu, les composantes d'un vecteur aléatoire gaussien sont des variables aléatoires gaussiennes, mais la réciproque est fausse.

Contre-exemple (classique): soient X et S deux variables aléatoires réelles indépendantes, la première de loi normale centrée réduite, la seconde (discrète) prenant les deux valeurs +1 et -1 avec pour chacune la probabilité 0,5. Posons Y = S X. On vérifie aisément (fonction de répartition) que Y est aussi de loi normale centrée réduite. On a (relation entre évènements): (X + Y = 0) = (S = -1) U (S = 1, X = 0) donc P(X + Y = 0) = P(S = -1) + P(S = 1) P(X = 0) = 0,5 puisque P(X = 0) = 0. Ceci prouve que X + Y n'est pas une variable aléatoire à densité ((X + Y = 0) étant de probabilité non nulle), a fortiori ce n'est pas une variable aléatoire gaussienne. Ceci prouve encore que le vecteur aléatoire (X, Y), à composantes gaussiennes, n'est pas gaussien.

Pour couronner le tout, on vérifie aisément que les deux variables gaussiennes X, Y sont non corrélées ; mais elles ne sont pas indépendantes, sinon la somme X + Y serait gaussienne. L'équivalence entre non corrélation et indépendance pour les composantes d'un vecteur aléatoire gaussien ne s'étend pas à des variables aléatoires gaussiennes quelconques (cf. mon propos de 2006 (Affirmation à préciser)).

En conclusion, une formulation correcte est la suivante (mais est-elle intéressante ?) :

Toute combinaison linéaire des composantes d'un vecteur gaussien est une variable aléatoire gaussienne.

--Vivarés (d) 25 juillet 2008 à 20:19 (CEST)

OK. Je comprends enfin ce qui avait été lancé sans explications il y a plus d'un an. C'est un peu plus détaillé dans [[1]]. Jct (d) 26 juillet 2008 à 12:00 (CEST)

Complément : la propriété précédente est intéressante en ce qu'elle est caractéristique de la loi normale multidimensionnelle. En fait, il y a une réciproque : si un vecteur aléatoire est tel que toute combinaison linéaire de ses composantes soit une variable aléatoire gaussienne (on considère la loi certaine de valeur 0 comme un cas particulier "dégénéré" de loi normale), alors ce vecteur aléatoire est gaussien ; cela peut se démontrer à l'aide des fonctions caractéristiques. En fait, les vecteurs aléatoires gaussiens sont souvent définis ainsi. Cette caractérisation pourrait être incorporée à l'article. Vivarés (d) 26 juillet 2008 à 17:54 (CEST)

Paire/couple

La correction du 7 mars 2009 à 16:46 est-elle conforme à Couple (mathématiques) ? Jct (d) 8 mars 2009 à 10:51 (CET)

Bien sûr. Ceci est conforme au langage mathématique usuel, qui distingue bien couple, paire. Un vecteur aléatoire à deux composantes s'appelle usuellement couple aléatoire. On parle par exemple de la covariance d'un couple de variables aléatoires: si E est l'espace vectoriel des variables aléatoires de carré intégrable (sur un espace probabilisable donné), la covariance est une forme bilinéaire sur E, en particulier c'est une fonction définie sur l'ensemble E² = E x E des couples de telles variables aléatoires (une paire est un ensemble à deux éléments, notion bien distincte de celle de couple). --Vivarés (d) 8 mars 2009 à 12:07 (CET)

Je ne suis pas sûr de comprendre la réponse à la question posée. Bien sûr signifie-t-il que cette terminologie est conforme à Couple (mathématiques)#Notion de couple#Propriété caractéristique selon lequel les les deux éléments d'un couple ne peuvent être intervertis (dans ces conditions la covariance dépendrait, me semble-t-il, de l'ordre des variables) ou s'agit-il d'une terminologie spécifique aux probabilités ? Jct (d) 9 mars 2009 à 10:26 (CET)

Oui: la terminologie est conforme. Cela n'empêche pas la propriété dite de symétrie de la covariance (forme bilinéaire symétrique), à savoir que les deux couples (X, Y) et (Y, X), différents si X ≠ Y, ont cependant la même covariance. Il ne s'agit nullement d'une terminologie spécifique aux probabilités : selon le langage actuel des mathématiques, toute fonction de deux variables (c'est le cas de la covariance) est définie sur un ensemble de couples. --Vivarés (d) 9 mars 2009 à 14:39 (CET)

Lien vers les autres langues

J'ai constaté qu'il n'y a pas de lien vers les versions dans d'autres langues de cet article dans le bandeau de gauche. Je voulais lier cet article à l'équivalent en anglais, qui contient de très jolies figures, très pédagogiques : https://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution mais j'ai constaté qu'il existe tout un tas de langues liées. Comment faire pour que ces liens vers autres langues soient affichés ? Mes connaissances du codage wiki sont insuffisantes... — Le message qui précède, non signé, a été déposé par Baleine de lyon (discuter), le 24 décembre 2021 à 06:46 (CET)