Discussion:Produit de convolution

merci

un grand merci à ceux qui ont contribués à vulgariser cet article.

De la part d'un étudiant non matheux, mais qui utilise souvent ces outils. Mamelouk

Merci à la grande âme qui a rédigé cet article pour son explication intelligible et structurée du produit convolution. Ca fait plaisir de voir que ceux qui ont compris cherchent à expliquer les choses de manière sensible !

Sot Grenhut, étudiant qui aurait dû être matheux

Est-ce moi ou la plupart des convolutions calulculées de moins l'infini a l'infini divergent?. Or, on devrait obtenir une fonction de x. mais l'infini fois une fonction de x ca donne quoi? Que donne exp[2x]*exp[-5x]? Les bornes d'integrations ne devraient pas plutôt etre de 0 à x??? Car dans l'exemple que je donne, j'obtiens l'infini qui multiplie exp[-5x]/7 avec les bornes infinies.

La réponse se situe dans l'article "Pour que cette définition ait un sens, il faut que f et g satisfassent certaines hypothèses ; par exemple, si ces deux fonctions sont intégrables au sens de Lebesgue (c'est-à-dire que l'intégrale de leur module est finie), leur produit de convolution est défini pour presque tout x et est lui-même intégrable." Tufugo (discuter) 3 janvier 2014 à 10:52 (CET)

modif

pareil, bonne page. J'ai précisé que le produit est commutatif et distributif, car j'ai un peu ticquer en arrivant à l'exemple de la somme pondéré de dirac.Pour moi c'est propriétés n'etaient pas acquisent. Je pense aussi qu'il serait intéressant de parler de l'utilisation des produits en TIS. Sinon, dans les exemples, j'ai un doute sur celui avec la porte. Je pense qu'il est faux. Donc si quelqu'un pouvait indiquer une ref ou une demo. Char Snipeur

Un lien qui pourrait être intéressant, qu'en pensez vous? http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html

Structure de l'article

Je tien tout d'abord à noter que la partie vulgarisation permet effectivement d'avoir facilement une approche matériel de la chose. Chapeau car ce n'est pas toujours évident en maths!

Par contre l'article ma parait mal structuré. On a une immense introduction dans laquelle on trouve définition, propriétés, utilisation dans différent domaines; et puis la suite de l'article ne contient en gros que la partie vulgarisation. Je propose donc comme structure:

• Intro beaucoup plus courte
• Définition (elle peut rester dans l'intro sans doute)
• Propriétés
• Approche Vulgarisée
• Utilisation

Pour la structure on peut se référer à Projet:Mathématiques/Recommandations

Je trouverais également chouette que les propriétés soit démontrer.

Bongilles 19 mai 2007 à 22:57 (CEST)

manque une partie plus théorique

bonjour,

je trouve la partie vulgarisée très bien construite et claire, mais je pense qu'il faudrait ajouter une partie plus théorique, ça éviterait les questions du genre "Que donne exp[2x]*exp[-5x]?".

on peut aussi parler du probleme de l'associativité, on a également tout plein de proposition et théorème relatif (son support, la convolution dans L1(R^d), dans (L^p)x(L^q), régularité, le pb de l'élément neutre...)

qu'en pensez-vous?

Explication du produit de convolution de matrices

Je pense qu'il serait intéressant de reprendre cette explication qui permet d'avoir une représentation visuelle d'un produit de convolution de deux matrices...

http://replay.web.archive.org/20090131121814/http://www.siteduzero.com/tutoriel-3-80697-les-filtres-de-convolution.html — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 193.48.179.66 (discuter)

Ce genre de formules aura certainement plus sa place sur Produit matriciel et Traitement d'images. Je vous invite à faire cette même proposition sur les pages de discussion concernées. Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 28 avril 2011 à 13:29 (CEST)

Produit de convolution et transformée de Fourier

Cette section porte

« on en déduirait que la transformée de Fourier inverse de la fonction constante u :x↦1 devrait être la fonction de Dirac ; c'est évidemment absurde, mais cela s'explique en remarquant que u n'est intégrable sur R en aucun sens possible. »

Pourquoi absurde? Le paragraphe Convolution de l'article Distribution de Dirac énonce avec tranquillité

« La transformée de Fourier de la fonction δ de Dirac s'identifie à la fonction constante 1 »

De là à conclure que la transformée inverse de la fonction constante est la distribution de Dirac, il n'y a pas loin. Quant à la remarque sur l'intégrabilité, je serais bien friand d'une xeplication ou d'un lien qui renvoie vers l'article pertinent.

Juste en dessous, je lis « La transformée de Fourier peut s'écrire sous la forme d'une convolution de 2 fonctions » -- lesquelles ? --, avec une jolie illustration qui me semble montrer la convolution d'une fonction porte par elle-même et une formule qui me semble se rapporter plus à un développement en série de Fourier qu'à une transformation de Fourier.

Faute de compétences mathématiques suffisantes, je ne corrige rien ; il me semble cepedant qu'une clarification serait utile.

PolBr (discuter) 30 décembre 2013 à 20:29 (CET)

• La phrase finissant par «aucun sens possible » est du 27 juillet 2009 à 00:36 par Utilisateur:Dfeldmann (que je préviens).
• La phrase sur finissant par « produit de 2 fonctions » est du 8 janvier 2013 Utilisateur:Titi2 (que je préviens). Cette modification a aussi séparé les transformées de Fourier des autres propriétés.
• La section sur les transformées de Fourier était à l'origine un alinéa de liste à puces. Je mets des sous-sections à Propriétés pour chacune d'entre elles, espérant que c'est ainsi plus lisible.
• La jolie illustration date du 30 janvier 2008 à 11:18 , introduite à la fin de la section propriétés par 84.173.71.238, dont c'est la seule contribution à fr.wikipedia [inséré le 31 décembre 2013]
• Je me sens assez sûr du coup pour remonter cette animation en intro, en face de moyenne mobile [inséré le 31 décembre 2013].

PolBr (discuter) 30 décembre 2013 à 21:12 (CET)

La transformée de Fourier (au sens des distributions) de la "fonction" de Dirac est en effet la fonction constante 1 (parce que ${\hat {\delta }}(x)={\mathcal {F}}(\delta )=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\xi x}\delta (\xi )\mathrm {d} \xi =\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}0.x}=1$). Mais (sauf grosse bêtise de ma part) la transformée de Fourier inverse de la fonction constante 1 ne saurait être la mesure de Dirac, même au sens des distributions, parce que cela voudrait dire que (pour $x\neq 0$) on aurait $\delta (x)={\mathcal {F}}^{-1}(x\mapsto 1)={1 \over 2\pi }\,\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{+{\rm {i}}\xi x}\,\mathrm {d} \xi =0$, et cette intégrale n'a aucun sens "naturel" (même si on peut admettre qu'il s'agit d'une sorte de moyenne, nulle alors en effet). Ce que veut dire ma remarque sur l'absurdité de la chose, c'est que si on avait vraiment affaire à un isomorphisme, le résultat serait vrai dans les deux sens, et que ce qui explique qu'il n'en soit rien, c'est que la fonction constante 1 n'est pas intégrable (globalement) à aucun sens raisonnable, et donc ne correspond justement pas à une distribution ayant une transformée de Fourier. Cela dit, tout ça, c’est des souvenirs sans vraies références, et je dis peut-être une bêtise, hein... (quand j'ai écrit ça en 2009, j'ignorais encore l'importance d'avoir des références précises sous la main ; si ça vous parait toujours aussi douteux, faites passer le message sur le Thé (le "forum" du portail Mathématiques) ; ils seront de bon conseil)--Dfeldmann (discuter) 31 décembre 2013 à 00:14 (CET)

Bon, un rapide coup d’œil sur les pages anglaises, apr exemple, montre que si, la transformée inverse de 1 est bien Dirac. Mais alors, à quel sens ? Mystère. Finalement, ça montre bien que même en maths, sur WP, vaut mieux être vraiment sûr de maîtriser le sujet quand on n'a pas de références sous la main... Du coup, je refile le bébé au Thé ; on verra bien...--Dfeldmann (discuter) 31 décembre 2013 à 00:22 (CET)

Si j'associe naïvement les maths au traitement du signal, le point en discussion a un sens. Je m'attends à ce que le passage de la description temporelle à la description fréquencielle soit ouvert dans les deux sens. La représentation fréquencielle d'un signal continu depuis et jusqu'à toujours est un pic d'énergie à la fréquence 0; pour qu'il ne soit pas infini, on le divise par le temps (densité spectrale de puissance). Évidemment, un tel signal est une vue de l'esprit, un signal continu réel a un début et une fin. La représentation fréquencielle d'une impulsion de Dirac est un spectre infiniment uniforme, et je m'attends, avant de réfléchir, à ce que la TF inverse de celui-ci soit celle-là. Ça vient d'une formation technique où on considère l'application en premier, et les mathématiques qui la soutiennent en second, au contraire du mouvement historique, par le fait.

PolBr (discuter) 31 décembre 2013 à 09:45 (CET)

Merci pour ces intéressantes remarques, qui mériteraient au demeurant d'être intégrées à l'article transformée de Fourier. Mais, dans ce cas précis, le mouvement historique est bien le vôtre : la théorie des distributions fut inventée précisément pour expliquer ces curieuses propriétés de la fonction de Dirac (qui n'est pas une fonction au sens mathématique). Mon problème n'était donc pas de dire que la Tf inverse de x -> 1 n'était pas delta, mais que je ne voyais pas quel sens mathématique avait cette TF (et je ne le vois toujours pas, mais c'est peut-être gros comme une maison...)--31 décembre 2013 à 11:32 (CET)

C'était effectivement assez gros (merci à Lylvic) ; il fallait regarder la définition pour les distributions (tempérées)... Bon, je me suis assez ridiculisé comme ça ; je laisse à quelqu'un d'autre le soin de mettre ça au clair dans l'article finalement, j'ai corrigé la phrase en précisant cette histoire de distributions.--Dfeldmann (discuter) 31 décembre 2013 à 12:34 (CET)

Il me semble que l'affirmation suivante n'est pas correcte :

La transformée de Fourier peut s'écrire sous la forme d'une convolution de 2 fonctions : $\Sigma _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(f)e^{int}=f*e^{int}=\int _{-\pi }^{\pi }f(s)e^{in(t-s)}{\frac {ds}{2\pi }}$

En effet je ne vois pas l'ombre d'une transformée de Fourier dans cette expression, mais plutôt ce qui semblerait être une Série de Fourier, ce qui est à ma connaissance différent, les séries de Fourier portant sur des fonctions périodique en général, ou "échantillonnée" en traitement du signal. Quelqu'un aurait une explication ? Tufugo (discuter) 3 janvier 2014 à 11:19 (CET)

Je me suis aussi fait cette réflexion le 30 décembre (voir ci-dessus), laissant à l'auteur, questionné, le temps de réagir.

PolBr (discuter) 3 janvier 2014 à 12:36 (CET)

Là, en revanche, je ne suis nullement responsable. Mais il me semble néanmoins qu'il y a un lien assez étroit, comme le montre cette section de l'article Transformation de Fourier. Maintenant, il faudrait sans doute réécrire ça un peu mieux...--Dfeldmann (discuter) 3 janvier 2014 à 14:03 (CET)

La phrase sur finissant par « produit de 2 fonctions » est du 8 janvier 2013 Utilisateur:Titi2 (que j'ai prévenu des questions le 31 décembre). Je ne doute pas qu'il y ait un lien étroit, mais ce n'est peut-être pas l'objet de cette section. Je formulerai deux questions, manquant de qualification pour écrire dans l'article :

• La transformation de Fourier est certes une application de C dans C, mais il me semble qu'il y a une raison pour que la variable indépendante de la transformée soit différente de celle de la fonction. En tous cas, qu'est-ce qui correspond au f(t-τ) dτ de la définition de la convolution ?
• Les séries de Fourier sont dans un espace discret (pour les fréquences). Il y a des formules pour un espace discret pour le temps (TFD). Je ne sais ce qu'il en est pour pour la convolution (Convolution de Dirichlet? En théorie du traitement du signal, on considère que les signaux discrets sont continus, multipliés par un peigne de Dirac.

PolBr (discuter) 3 janvier 2014 à 15:29 (CET)

Du point de vue du praticien que vous êtes, l'idée est plutôt d'interpréter un signal continu f(t) comme un signal discret f(n*tau) avec des intervalles (de temps) tau "infiniments petits" ; c'est l'approche de l'analyse non standard. On peut alors démontrer que la transformée de Fourier est (par passage à la limite) la fonction donnant les coefficients de la série de Fourier. Mais je pense qu'il est plus raisonnable (surtout sans sources) de supprimer purement et simplement ce passage.--Dfeldmann (discuter) 3 janvier 2014 à 16:10 (CET)

Merci pour cette indication. Je supprime, parce que je ne vois pas quel manuel ou quelle requête IT pourrait donner une source. Utilisateur:Titi2 pourra toujours préciser ce qu'il voulait dire. PolBr (discuter) 3 janvier 2014 à 18:08 (CET)

Commentaire du lecteur : Une section sur le p...

129.175.69.82 a publié ce commentaire le 1 octobre 2013 (voir tous les retours).

Une section sur le produit de convolution de fonctions de plusieurs variables serait interessante.

Avez-vous des remarques à formuler ?

Litlok (m'écrire) 27 février 2014 à 16:46 (CET)

dérivation

Ne serait-il pas intéressant à l'instar de l'article anglais d'énoncer les relations entre convolution et dérivation ? Merci (134.157.15.24 (discuter) 17 mars 2014)

fait (93.10.17.121 (discuter) 25 mars 2014)

Sauf que l'article en anglais (et ta copie dans celui en français) ne donne aucune source ni démonstration et je n'arrive pas à remédier à ces deux problèmes sans hypothèses supplémentaires. Anne, 27/8/2020, 8 h 33

Bonjour Anne  ; c'est pas simplement une application classique du théorème de convergence dominée (cf Intégrale paramétrique#Dérivabilité) ?--Dfeldmann (discuter), 9 h 01

Bonjour Denis , oui avec d'autres hypothèses, mais pas avec celles-ci (je crois), car pas de domination évidente. Anne, 10 h 27

Détail à corriger

Dans la partie Produit de convolution#Produit de convolution et transformée de Fourier, il y a deux fois la même relation indiquée ($f\ast g={\mathcal {F}}^{-1}\left({\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)\right)$) avec des conditions différentes. L'une d'elles est à supprimer mais je ne sais pas laquelle. Si quelqu'un peut corriger, ce serait parfait. — Ellande (Disc.) 28 janvier 2016

Il n'y a rien à corriger ni supprimer, c'est très bien comme ça. Anne, 27/8/2020

Animation: utiliser 2 fonctions portes entraîne de la confusion

L'animation qui montre la convolution est très bien, mais si quelqu'un en a le temps, je pense qu'il serait bien de remplacer la fonction "porte" par une fonction sans parité évidente.

Le produit de convolution fait intervenir f(-x) et on perd ce détail en utilisant une fonction paire au départ. Qu'en dîtes-vous?

Voir par exemple le lien suivant: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-correlation#/media/File:Comparison_convolution_correlation.svg

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Alsack (discuter), le 23 mai 2017 à 16:49

Je suis d'accord avec cette remarque. Il ne reste plus qu'à créer l'animation... . — Ellande (Disc.) 19 juin 2017 à 09:26 (CEST)

Je ne trouve pas que le Lien proposé est beaucoup moins trompeur. On y a l'impression que la $f\ast g(x)=\int \min(f(x-t),g(t)){\rm {d}}t$ (l'illustration en bas à droite est un contre-sens). Quelle serait donc l'illustration la plus parlante ? --Vybduchene (discuter) 19 juin 2017 à 22:05 (CEST)

Opérateur bilinéaire

Je ne comprends pas l'obstination d'Arroutse (d · c · b) (reverté pas seulement par moi) à vouloir remplacer cette expression par « Application bilinéaire », après m'avoir pourtant notifié un remerciement pour les explications de mon premier revert, et alors que lui-même ne donne aucune explication. Quant au dernier commentaire de diff (« redirection à supprimer si nécéssaire »), mérite-t-il une réponse ? Anne, 20/7/2017, 21 h 58

Je pense qu'Arroutse (d · c · b) demande une notule dans l'article Application bilinéaire qui explique pourquoi on s'y retrouve en suivant un lien où on lit opérateur bilinéaire. Peut-être un {{article court}} qui relie Opérateur bilinéaire à opérateur mathématique ou plutôt opérateur linéaire et Application bilinéaire. Il faudrait qu'il/elle s'exprime autrement que par des reverts ; mais puisqu'on joue aux devinettes, je vous en propose une solution. PolBr (discuter) 20 juillet 2017 à 22:22 (CEST)

 Anne Bauval : Il doit y avoir méprise. Arroutse (d · c · b) semble avoir dès la deuxième modification conservé l'expression "opérateur" et simplement créé un lien redirigé, certes inutile.

 Arroutse : Vous avez tout de même enfreint la Wikipédia:Règle des trois révocations. Il est bien plus simple d'ouvrir une discussion.

— Ellande (Disc.) 20 juillet 2017 à 22:39 (CEST)

Merci, Ellande, de me faire remarquer ma méprise, et pardon, Arrouste, pour mon accusation erronée. Tu insistes seulement pour remplacer [[opérateur bilinéaire]] (redirect existant depuis 2011, et utilisé dans d'autres articles) par un lien direct avec le même intitulé : [[Application bilinéaire|opérateur bilinéaire]]. Ça me choque moins mais je trouve tout de même que c'est une mauvaise idée, justement à cause des possibilités d'évolution suggérées par PolBr, et que peut-être (?) toi-même signifiais par ta phrase « redirection à supprimer si nécéssaire ». Anne, 20/7/2017, 23 h