Discussion:Quasi-isomorphisme
Dernier commentaire : il y a 11 ans par Anne Bauval dans le sujet Nuance et contre-exemple ?
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Nuance et contre-exemple ? modifier
Je vois ici un exemple de deux complexes non quasi-isomorphes bien qu'ayant même homologie. Ces complexes sont-ils des complexes de chaînes de deux CW-complexes ? Sinon, existe-t-il un autre exemple vérifiant cette propriété « supplémentaire (?) » ? Si oui, ma question est-elle idiote ? (i.e. : tout complexe est-il « réalisable » ?) Anne (d) 6 mars 2013 à 20:11 (CET)
- La somme connexe de deux copies de CP(2) a même homologie que le carré de S2 et pourtant je crois bien qu'il n'y a pas de quasi-isomorphisme sur Z, pour des raisons de signature. Mais il faudrait vérifier, vu que je me suis mélangé les pinceaux l'autre jour. Ambigraphe, le 6 mars 2013 à 21:42 (CET)
- Je pense avoir tiré les choses au clair (cf. modif dans l'article) : les réponses à mes 3 questions sont : non, non, oui. Ma question était idiote, non pas pour des questions de réalisabilité mais par pure algèbre homologique. Resterait à trouver source plus académique que MathOverflow et plus complète (pour les modules libres sur un anneau principal), et à donner un exemple d'application continue induisant un quasi-iso (donc une équivalence d'homotopie) sur les complexes de chaînes, mais dont aucune équivalence réciproque ne soit réalisable topologiquement. Anne (d) 8 mars 2013 à 15:29 (CET)
- J'avais mal compris ta question. Je pensais que tu te posais la question de la réalisabilité (la « propriété supplémentaire ») d'un quasi-isomorphisme entre deux complexes.
- Il existe un quasi-iso sur Z de la sphère de Poincaré sur S^3 par pincement, or ces deux espaces ne sont pas homotopiquement équivalents. Ambigraphe, le 9 mars 2013 à 09:20 (CET)
- Ça ressemble à ce que j'ai ajouté à la fin de Homologie singulière#Homologie et homotopie mais ne répond pas je crois à ma nouvelle question : certes, cette application M3 → S3 n'est pas une équivalence d'homotopie entre espaces et induit pourtant un quasi-iso donc (si j'en crois MathOverflow) une équivalence d'homotopie entre complexes de chaînes cellulaires (même sans être capable d'écrire le premier). Mais qu'est-ce qui prouve qu'aucune application S3 → M3 n'en fait autant ? Anne (d) 9 mars 2013 à 11:56 (CET) Je découvre ça (20.1.5), mais la sphère de Poincaré ne vérifie pas l'hypothèse. Anne, 9/3, 20h46
- Le pincement induit un quasi-iso en homologie sur Z, mais π3(M) est isomorphe à π3(S3)≅Z par l'application quotient qui est de degré 120. Il n'y a donc pas d'application cellulaire de degré 1 qui puisse correspondre au quasi-iso inverse. Ambigraphe, le 11 mars 2013 à 20:36 (CET)
- Je suis enfin convaincue. Tu pourrais peut-être ajouter ce contre-exemple dans l'article (si possible avec une réf) ? J'ai trouvé ceci (qui montre entre autres que plus généralement, si n > 1, pour qu'il existe une application d'indice 1 de Sn dans Mn, il faut que π1(Mn) = 0) mais l'auteur, sur sa page web, dit qu'il n'a pas l'intention de le publier (il l'avait soumis mais ça a dû être refusé comme trop simple). Anne (d) 12 mars 2013 à 19:14 (CET)
- Le pincement induit un quasi-iso en homologie sur Z, mais π3(M) est isomorphe à π3(S3)≅Z par l'application quotient qui est de degré 120. Il n'y a donc pas d'application cellulaire de degré 1 qui puisse correspondre au quasi-iso inverse. Ambigraphe, le 11 mars 2013 à 20:36 (CET)
- Ça ressemble à ce que j'ai ajouté à la fin de Homologie singulière#Homologie et homotopie mais ne répond pas je crois à ma nouvelle question : certes, cette application M3 → S3 n'est pas une équivalence d'homotopie entre espaces et induit pourtant un quasi-iso donc (si j'en crois MathOverflow) une équivalence d'homotopie entre complexes de chaînes cellulaires (même sans être capable d'écrire le premier). Mais qu'est-ce qui prouve qu'aucune application S3 → M3 n'en fait autant ? Anne (d) 9 mars 2013 à 11:56 (CET) Je découvre ça (20.1.5), mais la sphère de Poincaré ne vérifie pas l'hypothèse. Anne, 9/3, 20h46
- Je pense avoir tiré les choses au clair (cf. modif dans l'article) : les réponses à mes 3 questions sont : non, non, oui. Ma question était idiote, non pas pour des questions de réalisabilité mais par pure algèbre homologique. Resterait à trouver source plus académique que MathOverflow et plus complète (pour les modules libres sur un anneau principal), et à donner un exemple d'application continue induisant un quasi-iso (donc une équivalence d'homotopie) sur les complexes de chaînes, mais dont aucune équivalence réciproque ne soit réalisable topologiquement. Anne (d) 8 mars 2013 à 15:29 (CET)