Discussion:Réduction d'endomorphisme

La définition d'une valeur propre d'endomorphisme utilisée dans l'article prête à confusion. Étant donné un endomorphisme u d'un K-espace vectoriel de dimension finie, on appelle habituellement valeur propre de u tout élément λ de K tel qu'il existe un vecteur non nul x de E vérifiant u(x) = λ x, autrement dit, tel que u - λ id soit non bijectif ; avec cette définition, on peut caractériser les valeurs propres de u comme étant les racines dans K du polynôme caractéristique de u.

La confusion vient de ce que ce polynôme caractéristique peut avoir des racines dans un sur-corps de K. Par exemple, si E est un R-espace vectoriel de dimension 2, si (e1, e2) est une base de E, et si u est l'endomorphisme de E tel que u(e1) = e2, u(e2) = - e1, alors u n'admet aucune valeur propre (au sens précédent) : il n'existe aucun réel λ tel que u - λ id soit non bijectif ; le polynôme caractéristique est $X^{2}+1$, qui n'admet aucune racine réelle ; mais considérer ses racines non réelles i, -i comme des valeurs propres de u (endomorphisme d'un R-espace vectoriel) est abusif.

La situation est un peu différente pour les matrices. Par exemple, si A est une matrice carrée réelle d'ordre n (qu'on peut donc considérer aussi comme une matrice carrée complexe):

• le spectre réel de A est l'ensemble des réels λ tels que A - λ I soit non inversible (c'est l'ensemble des valeurs propres de l'endomorphisme de $\mathbb {R} ^{n}$ canoniquement associé à A), et de même,
• le spectre complexe de A est l'ensemble des complexes λ tels que A - λ I soit non inversible (c'est l'ensemble des valeurs propres de l'endomorphisme de $\mathbb {C} ^{n}$ canoniquement associé à A). Vivarés 4 novembre 2005 à 01:07 (CET)

Ajouts

(from the planet) Gong 21 décembre 2005 à 23:10 (CET)

J'ai ajouté une demonstration ; il manque maintenant le retour. J'ai modifié les implication (remplacé => par le symbole mathématique) J'ai ajouté un lien vers un critère de diagonalisabilité.

Intro trop longue

Cette intro est faite pour être restructurée, et insérer dans le texte, l'objectif est la description des contextes et des différentes techniques de réductions. C'est le début d'une restructuration de l'article pour le rendre compatible avec les autres articles WP qui gravitent autour du concept. Jean-Luc W 15 avril 2006 à 13:48 (CEST)

Redirection

Les éléments de l'article qui sont retranchés sont redirigés et non supprimés, vers les articles comme, par exemple, Réduction de matrice. Jean-Luc W 16 avril 2006 à 12:12 (CEST)

Demonstrations

Les démonstrations de cet article du type "on lit dans l'article valeur propre que ceci d'où la proposition" ne me semble pas d'un grand intérêt. En effet l'utilisateur doit rechercher dans l'article cité tel ou tel propriété (qui on peut de chances d'y être démontrées) pour pouvoir comprendre d'où vient la proposition. Donc si il n'y a pas d'objections je me propose de les rédiger et d'effacer les démonstrations actuelles. Zaborowzki (d) 11 décembre 2009 à 23:40 (CET) Anne (d) 28 mars 2013 à 18:41 (CET)

Le concept de réduction

Pas trouvé mieux comme modèle pour taguer cette section apparemment TI, mais ce que je lui reproche surtout c'est de n'être compréhensible que par quelqu'un à qui n'a rien à apprendre de cet article. L'ambition de synthétiser, a posteriori, un cahier des charges en même temps le plus précis possible et rempli par toutes les décompositions dont parle l'article, me semble un échec patent et inéluctable : ces termes flous cachent des finesses que seul un lecteur averti peut comprendre (et encore : il m'a fallu un moment pour saisir que le point 4 ne se voulait pas une redite du 3, et que le 6 ne se voulait pas conséquence du 5). Bref : telle quelle cette section ne sert à rien, et je ne sais pas comment l'améliorer : existe-t-il une source qui le fait, de façon à la fois aussi générale et précise mais (en plus) claire ? Anne (d) 28 mars 2013 à 18:41 (CET)

Je propose de supprimer cette section. UL (d) 29 mars 2013 à 00:03 (CET)

Merci pour cet avis rapide. Et celle-là ? (c'est moins facile : ça demande de réécrire la section d'après) Anne (d) 30 mars 2013 à 00:17 (CET)

Je devine le sens qui n'est pas faux (on veut sans doute parler d'endomorphismes "compatibles" avec une structure normée de l'espace vectoriel), mais la présentation me parait vraiment biscornue. UL (d) 30 mars 2013 à 22:09 (CET)

Fait. Anne, 29/4/15