Discussion:Rang (algèbre linéaire)

Vecteurs lignes et vecteurs colonnes

La phrase supprimée est "Il en est de même pour les matrices, mais il faut alors choisir si l'on agit sur les vecteurs lignes ou colones." Le rang d'une matrice étant le même que celui de sa transposée, je ne vois pas la raison de la restriction. CD 30 jan 2005 à 22:51 (CET)

rang de AB = rang BA ??

il me semble que cette affirmation est fausse à moins que je ne commette une erreur de raisonnement :

si $A:={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ et si $B:={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}$ sauf erreur de ma part $AB:={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ est de rang 1 et $BA:={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ est de rang 0

Quelqu'un pour confirmer ou infirmer mon raisonnement? HB (d) 20 janvier 2008 à 15:36 (CET)

en effet c'est faux et l'exemple

$A={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ le montre également Peps (d) 20 janvier 2008 à 16:22 (CET)

Hypothèses implicites

Il me semble que les matrices considérées sont supposées avoir leurs coefficients dans un corps, et même dans un corps commutatif. Il serait bon de préciser les hypothèses, et aussi de sourcer. Marvoir (d) 29 juin 2012 à 13:35 (CEST)

Pour montrer que le corps des scalaires (désignons-le par F) est implicitement supposé commutatif dans l'article, je propose cet exemple :soit $A:={\begin{pmatrix}a&1\\ca&c\\\end{pmatrix}}$, où a et c sont deux éléments du corps des scalaires qui ne commutent pas. (Ces éléments sont donc non nuls).

Les deux lignes de cette matrice sont linéairement liées dans l'espace vectoriel à gauche F², car c(a, 1) - (ca, c) = (0, 0). De même, les deux colonnes sont liées dans l'espace vectoriel à droite F², car (a, ca) - (1, c)a = (0, 0).

En revanche, les deux colonnes ne sont pas liées dans l'espace vectoriel à gauche F². En effet, soient d et e des scalaires tels que d(a, ca) + e(1, c) = (0, 0). Alors (premières composantes) e = - da, d'où (secondes composantes) dca - dac = 0. Puisque a et c sont supposés ne pas commuter, ceci entraîne d = 0 et notre résultat e = - da donne e = 0. Nous avons ainsi prouvé que les deux colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes dans l'espace vectoriel à gauche F².

Ceci montre que si le corps des scalaires n'est pas commutatif, on doit préciser, quand on parle du rang d'une matrice comme dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses colonnes, s'il s'agit de la structure d'espace vectoriel à gauche ou à droite de Fⁿ. (Dans Bourbaki, c'est la structure à droite.) Comme l'article n'apporte pas cette précision, je suppose que le corps des scalaires est implicitement supposé commutatif. Marvoir (d) 29 juin 2012 à 18:38 (CEST)

Joli exemple, et inutile àma de demander l'aval du Thé avant de clarifier le contenu actuel de cet article. Anne (d) 29 juin 2012 à 22:11 (CEST)

Merci pour la réponse. Je travaillerai sans doute à ça demain après-midi. Marvoir (d) 29 juin 2012 à 23:23 (CEST)

Voilà, j'ai ajouté un mot sur le cas non commutatif. Je n'ai pas essayé de dire ce que deviennent dans le cas non commutatif tous les résultats énoncés dans le cas commutatif, car je n'ai plus ces matières bien présentes à l'esprit... Marvoir (d) 30 juin 2012 à 16:02 (CEST)

Article à sourcer

Bonjour, une IP est venu émettre un doute sur la propriété

le rang d'une matrice A est la plus des tailles des matrices B et C dont le produit donne A

Je pense que je peux la rassurer sur ce point : en général, si A = BC le rang de A est inférieur ou égal au rang de B et au rang de C donc inférieur à la plus petite des tailles de ces matrices. Bref le rang de A est un minimum pour la taille des matrices B et C. Il suffit de montrer que ce minimum est atteint pour prouver la véracité de l'affirmation. A est la matrice d'une application linéaire $f$ de E vers F, le théorème de factorisation assure que $f=g\circ s$ où $s$ est la surjection canonique de E sur E/kerf et $g$ une injection. Si B et C sont les matrices de $s$ et $g$ leur plus petite taille est la dimension de E/kerf, c'est à dire rg(A), et leur produit donne bien A

Cependant, c'est une dem à la main par une personne peut-être un peu rouillée. Il serait probablement plus profitable de mettre des références vers des ouvrages universitaires où toutes ces propriétés seraient exposées, démontrées et hiérarchisées (par exemple, cette idée de plus petite taille, qu'on peut lire de travers, ne me semble pas souvent traitée). D'où le bandeau que je viens d'apposer. HB (discuter) 22 septembre 2023 à 09:53 (CEST)