Discussion:Théorème de Borel-Lebesgue

explication

je trouve que ce qui est marqué est pas faut mais un peut limité par rapport au vrai théorème que j'ai ajouté au début de l'article.
Par contre cette présentation fait un peu tache. (Rq: j'ai pris mon énoncé dans mon cours de prépa)--Sylvain d'Altaïr 12 mai 2006 à 21:55 (CEST)

à propos de l'autre approche

c'est pas moi qui ai écrit cette partie de l'article, je me permet pourtant de la critiquer: je pense que c'est plutot le Théorème de Bolzano-Weierstrass qui est présenté--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 19:31 (CEST)

il y a un imbroglio, et le problème est que les choix faits par les programmes officiels actuels des classes prépas compliquent l'affaire. J'essaie de clarifier

il y a une propriété (ou axiome) de Borel Lebesgue "de tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini"

il y a une propriété (ou axiome) de Bolzano-Weierstrass "toute suite admet une sous-suite convergente"

les compacts sont définis en toute généralité comme des espaces topologiques séparés vérifiant l'axiome de Borel Lebesgue (en français du moins, en anglais on enlève séparé).

dans le cadre des espaces métriques (qui sont des espaces topologiques séparés), on démontre que l'espace est compact ssi il vérifie la prop de Bolzano-W (qui n'est donc qu'une propriété des compacts) : c'est le théorème 1

le théorème 2 c'est que les segments de R sont compacts, puis les compacts de R^n sont les fermés bornés

moi j'appelle le théorème le théorème 1 "Bolzano Weierstrass" et le 2 "Borel Lebesgue", mais j'ai l'impression que c'est très fluctuant. Le bouquin Ramis/Deschamps/Odoux est d'accord avec moi. D'autres avis ? Peps 13 mai 2006 à 17:45 (CEST)

dans mon cours de prépa (pour Borel-Lebesgue: l'encien programme) le théorème que j'ai marqué au début de l'article est appelé théorème de Borel-Lebesgue, et le théorème de Bolzano-Weierstrass est "toutes suite bornée d'une espace vectorielde dimension finie sur R ou C admet au moins une valeur d'adhérence".--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 19:41 (CEST)

est que quelqu'un sais ce que dit le Bourbaki?--Sylvain d'Altaïr 13 mai 2006 à 20:20 (CEST)

Confusions

En topologie abstraite, la définition d'un compact est : espace séparé et satisfaisant la propriété du recouvrement, dite propriété de Borel-Lebesgue. Cette définition est générale et ne fait aucune hypothèse sur la nature de la topologie.

Lorsque on spécialise aux espaces métriques on obtient Bolzano-Weierstrass : un ensemble est compact ssi toute suite a une valeur d'adhérence (la partie si n'est vraie que dans les espaces métriques). Le théorème de Borel-Lebesgue (que les anglais attribue à Heine-Borel) quant à lui parle des espaces vectoriels réels ou complexes de dimension finie et établit l'équivalence entre compact et fermé borné.

La situation est un peu compliquée par le fait que beaucoup d'auteurs traitant de topologie dans les espaces métriques ou vectoriels de dimension finie préfèrent prendre les caractérisations alternatives comme définition première de compact car elles ce sont elles en pratique que l'on utilise. Toujours est il que Bolzano-Weierstrass parle de suites et Borel-Lebesgue de fermés bornés.

Bref tel que c'est écrit dans l'article le théorème 1 n'est pas Borel-Lebesgue mais plutôt Bolzano-Weierstrass et je pense qu'il serait bon de remettre en tête le chapitre improprement réintitulé une autre approche.

Laurent de Marseille 23 mai 2006 à 19:36 (CEST)

Encore une précision : après une rapide enquête il ne semble pas y avoir un théorème de Borel-Lebesgue dont l'énoncé serait universellement accepté. Il y a une propriété de Borel-Lebesgue qui est la propriété des recouvrements et d'autre part un théorème classique que certains appellent théorème de Borel-Lebesgue (mais pas les anglo-saxons qui l'appelle Heine-Borel) et qui établit l'équivalence entre compacts et fermés bornés dans les ev de dimension finis.

Laurent de Marseille 23 mai 2006 à 19:45 (CEST)

Ca rejoint mes remarques. Je vais essayer de modifier un peu les choses en redistribuant le contenu de ces articles Peps 23 mai 2006 à 21:11 (CEST)

Ben oui tiens, j'aurais été bien inspiré de mieux lire la discussion qui précédait, ça m'aurait évité de te paraphraser.

Laurent de Marseille 25 mai 2006 à 12:31 (CEST)

Résolution de "confusions"

J'ai, suite aux discussions ci-dessus, fait un mouvement de chaises musicales entre

• propriété de Borel-Lebesgue
• théorème de Borel-Lebesgue = théorème de Heine-Borel (il y a un redirect)
• théorème de Bolzano-Weierstrass
• suite bornée

J'espère ne pas m'être emmêlé les pinceaux car modifier 4 pages à la fois n'est pas très pratique... Peps 23 mai 2006 à 22:27 (CEST)

Ça me semble très bien comme ça. Le seul problème est qu'il y a beaucoup de redites entre les différentes pages traitant de compact, mais c'est un problème récurrent sur wikipedia.

Laurent de Marseille 25 mai 2006 à 12:35 (CEST)

Personnellement, sans vouloir blesser personne, je trouve que tout cela reste très confus. Quelqu'un qui recherche le théorème de borel-lebesgue va bien etre surpris de toute ces considérations... Je pense que plutot que de chercher à mettre des titres pompeux, il vaudrait mieux mettre définition topologique d'un compact, définition d'un compact dans un espace métrique (et dans cette partie, on y mettrais simplement lien avec la définition topologique et en remarque -tout cela n'étant que du détail- théorème appelé de borel-lebesgue ou bolzano comme ca l'est actuellement). d'ailleurs, si on relis la démonstration, le sens réciproque n'est pas bien explicité (à la première lecture on ne sait pas où l'on utilise l'hypothèse, où sont les lemmes, etc.) et dans le sens direct il manque un mot qui éclaircirait d'un coup la démonstration pour un lecteur peu avisé de toute ces notions topologiques... ABSURDE. Ce n'est pas du tout évident de savoir quoi mettre dans une démonstration surtout quand cela dépend du niveau en mathématiques mais par exemple des petits détails mais qui rebutent : pourquoi parler de fermeture (ce qui est clairement le cas si on est rigoureux) quand on peut parler d'adhérence, notion qui est beaucoup plus familière et qui est équivalente en topologie (au moins le faire remarquer).

Jérém 2 novembre 2006 à 12:35 (CEST)

Cantor

Théorème d'intersection de Cantor (en) (=théorème des compacts emboités dans ℝⁿ) mérite-t-il un article ? Un paragraphe ici ou ailleurs ? Anne (d) 19 mai 2012 à 19:13 (CEST)

Remarques sur la démonstration

Bonjour,

• Tout d'abord, une question sans rapport : ne faudrait il pas remplacer "se généralise à tout espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie" par "se généralise à tout espace vectoriel normé" (il est peut-être inutile de préciser "sur un corps valué", pour ne pas trop alourdir) ? C'est surtout le fait qu'on ne mentionne pas la norme qui me gêne, car -- je peux me tromper -- il me semble que le théorème ne s'applique pas aux espaces vectoriels de dimension finie en général (impression renforcée par ce qu'on lit en en cliquant sur le lien qui est donné).
• Je trouve que la démonstration utilisée est moins agréable à lire que celle de l'article anglais. Surtout, le fait d'avoir recours au théorème de Tykhonov sans plus de précision (1) fait que la démonstration présentée dans l'article n'est pas "complète" et (2) est en contradiction apparente avec le fait que la propriété ne se généralise pas à la dimension finie ; il faudrait peut-être rajouter quelque chose sur le fait que le théorème de Tykhonov concerne la topologie produit, qui n'est pas métrisable en dimension infinie (<- ah non en fait puisque la topologie produit est métrisable dans le cas dénombrable ce n'est même pas ça le problème...).

Je peux me charger des modifications, mais je suis très très loin d'être spécialiste du sujet, c'est pourquoi j'aimerais savoir ce que vous en pensez.

Cordialement, Malparti (discuter) 7 avril 2015

Bonjour Malparti, entièrement d'accord avec tes remarques. J'ai fait 2 modifs correspondantes. Cordialement, Anne (discuter) 11/12/2016 à 03:45

Compacité d'un intervalle réel

La démonstration donnée me paraît un peu compliquée : « quitte à rétrécir les ouverts... » d'accord, mais ça demande un peu de travail. L'intervention des rationnels - justifiée par le fait que R a une base dénombrable de voisinage, ce qui ramène à la compacité séquentielle - est inutile ici. Je proposerais bien une autre démonstration :

Soit (U_i) un recouvrement ouvert de l'intervalle [a,b]. On prend ses désirs pour des réalités et on considère l'ensemble F des points x de [a,b] tels que [a,x] est recouvert par un nombre fini d'ouverts U_i. Comme F est non vide (il contient a) et majoré par b, il admet une borne supérieure m. Il est impossible que m < b : m appartient à un U_i et il existerait y > m dans U_i. Mais alors y appartiendrait à F en dépit de la définition de m ; donc m = b, cqfd. JC.Raoult (discuter) 16 octobre 2017 à 19:19 (CEST)

Ce n'est pas si simple (cf. ancienne version) : ton « y appartiendrait à F » n'est pas du tout immédiat. Anne, 22 h 25

J'ai lu l'ancienne version. Sauf incompréhension de ma part, le point 1 est évident ; le point 2 n'est pas pertinent : vu la définition de M, il ne s'agit pas de savoir si M est un intervalle, mais si M contient b ; le point 3.1 est du coup inutile, vu que les éléments de M appartiennent à [a,b]. Reste le point 3.2. Ma suggestion (qui n'est pas neuve) mérite tout au plus d'indiquer qu'un ouvert U_i contenant c inclut un intervalle ouvert contenant c, lequel contient un y > c. JC.Raoult (discuter) 19 octobre 2017 à 10:10

L'ancienne version (introduite en 2006 puis détaillée en 2007 et fignolée en 2009) démontrait en effet (facilement mais) inutilement (point 2) que ton ensemble F est un intervalle. Mais le point 3.1 (démontrer que ton F contient sa borne sup) était un préalable indispensable à ta suggestion (le point 3.2). Cela dit, j'ai sans doute eu tort de la supprimer (en décembre 2016). On pourrait la rajouter (dans la forme simplifiée que tu proposes). Anne, 19/10, 12 h

Tu as raison, ma suggestion a un trou. On pourrait court-circuiter le point 3.1 en notant qu'un ouvert U_i contenant m contient un x à gauche de m, donc x est dans F et un y à droite. Quitte à rajouter U_i au recouvrement de [a,x], on obtient un recouvrement fini de [a,y]... JC.Raoult (discuter) 19 octobre 2017 à 14:57

Pour faire comme ça, il faut d'abord prouver que m > a (ce qui est facile mais du coup, est-ce qu'on y gagne vraiment, par rapport à prouver 3.1 ?) Anne, 22 h 17

Je me suis mal exprimé, j'entendais inférieur au sens mathématique (je ne sais pas produire le symbole "inférieur ou égal", ni d'ailleurs le symbole "appartient à"). Mais OK. C'est juste que je trouvais l'apparition des rationnels comme un cheveu dans la soupe. JC.Raoult (discuter) 20 octobre 2017 à 17:18

Je ne comprends pas ta réponse à mon objection, parce que je ne vois pas du tout à quel morceau de tes messages précédents tu fais référence et qui voulait dire ≤ et pas <. Mais d'accord pour rajouter cette ancienne preuve, en la simplifiant. L'intérêt (?) de l'actuelle était de faire fonctionner, sur cet exemple, l'équivalence entre quasi-compact et Lindelöf + dénombrablement compact. Anne, 21/10, 0 h 18

p.s.1 Pour insérer les caractères spéciaux mathématiques usuels en mode texte, il suffit, dans la petite fenêtre en-dessous de "Publier les modifications", de sélectionner Math au lieu de Wiki, puis de cliquer sur le caractère qu'on veut insérer (de même, pour les lettres grecques, choisir Grec au lieu de Wiki).

p.s.2 Proposition fignolant tes idées : soit (U_i) un recouvrement ouvert du segment [a, b]. On considère l'ensemble F des points x de [a, b] tels que [a, x] est recouvert par un nombre fini d'ouverts U_i. Comme F est non vide (il contient a) et inclus dans [a, b], il admet une borne supérieure m ∈ [a, b]. Cette borne m appartient à un U_i. Il existe alors ε > 0 tel que le segment V = [m – ε, m + ε]∩[a, b] = [c, d] soit inclus dans U_i. Puisque m est adhérent à F, V rencontre F, en un point x. En ajoutant U_i au recouvrement fini de [a, x], on obtient un recouvrement fini de [a, d], donc d ∈ F, donc m ≥ d = min(m + ε, b), donc b = d ∈ F.

Excellent. Je me suis encore mal exprimé. Je voulais dire "...contient un x à gauche de m, ou égal à m...". Mais j'approuve ta version. JC.Raoult (discuter) 22 octobre 2017 à 19:25 (CEST)