Discussion:Théorème de Lagrange sur les groupes

Rééquilibrage

Cette page sur le théorème de Lagrange (théorie des groupes) contient moins d'informations que celle sur les sous-groupes. Il faudrait ramener le paragraphe sur le th. de Lagrange de l'article sous-groupe dans cet article. Yukito 7 mar 2005 à 14:37

Ça a été fait. Anne, 18/8/2016

Lagrange ou Euler ?

Dans leur livre "The Theory of Finite Groups", p. 8, les auteurs allemands Kurzweil et Stellmacher énoncent le théorème de Lagrange en le donnant comme "Lagrange's Theorem", mais mettent cette note de bas de page : "Compare with [75] and [42], p. 504".
Le [75] de leur bibliographie est : Lagrange, J.L., Réflexions sur la résolution algébrique des équations, Œuvres, t. 3, Gauthier-Villars (1938), 205-421.
Le [42] est : Euler, L. : Opera Omnia, I 2. Teubner 1915.

On dirait donc que Kurzweil et Stellmacher insinuent que ce théorème revient plutôt à Euler qu'à Lagrange.
Je sais que les maths sont pleines de théorèmes qui portent un autre nom que celui de leur véritable découvreur, mais si l'article donne un historique, il serait peut-être bon d'éclaircir la question. Malheureusement, pour ma part, je ne possède aucun des deux livres auxquels Kurzweil et Stellmacher renvoient.

Marvoir (d) 10 avril 2008 à 19:20 (CEST)

P.S. On pourrait peut-être lire aussi :
Richard L. Roth, "A History of Lagrange's Theorem on Groups", Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 99-108 Mathematical Association of America (ici)

dont voici le sommaire ; "A History of Lagrange's Theorem on Groups by Richard L. Roth.
Lagrange's theorem for groups states that the order of a subgroup of a finite group G divides the order of G. It is one of the first theorems of group theory we study in an abstract algebra class. But the original form as stated by Lagrange in 1771 was quite different and predated the invention of group theory. It arose in an attempt to solve the general polynomial of degree 5 or higher, and its relation to symmetric functions. We will trace the theorem as it changed form over the years and developed into the theorem we know today." (ici)

D'après des résultats fragmentaires de Google, cet article contient : "Euler gave several proofs of this theorem. Of interest here is his paper whose title translated into English is 'Theorems on residues obtained by division of powers,' written in 1758-59 and published in 1761" (J'imagine qu'il s'agit du petit théorème de Fermat ou de sa généralisation par Euler.)

Marvoir (d) 10 avril 2008 à 20:27 (CEST)

Sur Euler Archive, la p. 504 du I.2 des Opera Omnia fait partie des p. 493-518, donc c'est le document E.262. Son titre et sa date de publi correspondent bien à ce que te donne Google (mais il a été écrit en 1756/7). Il est consultable en ligne, en latin ou traduit en anglais ou directement ici : « math/0608467 », texte en accès libre, sur arXiv., et je n'y vois absolument aucune trace du théorème de Lagrange. Je ne vois pas ce que Kurzweil et Stellmacher ont voulu dire. Anne, 14/11/2010, 3 h 45

Merci pour la référence. Le théorème 13 d'Euler (p. 17 du PDF anglais) peut s'énoncer comme suit : si p est un nombre premier, si a est un entier rationnel non divisible par p, si $F_{p}^{\times }$ désigne le groupe multiplicatif des classes résiduelles non nulles modulo p, alors l'ordre du sous-groupe de $F_{p}^{\times }$ engendré par la classe résiduelle de a divise l'ordre p-1 de $F_{p}^{\times }$. La démonstration qu'en donne Euler (à partir du théorème 10, p. 12 du PDF anglais) est assez lourdement rédigée, mais il me semble qu'elle revient à ceci : si la classe résiduelle A de a engendre tout le groupe, l'ordre $\lambda$ de A est p-1 et divise bien p-1. Sinon, Euler forme un ensemble de $\lambda$ d'éléments de $F_{p}^{\times }$ qui sont différents des $\lambda$ éléments engendrés par A (en fait, le nouvel ensemble est une classe modulo le sous-groupe engendré par A). Nous avons formé ainsi 2$\lambda$ éléments du groupe $F_{p}^{\times }$. Si ces 2$\lambda$ éléments du groupe $F_{p}^{\times }$ forment tout le groupe $F_{p}^{\times }$, alors l'ordre de $F_{p}^{\times }$ est égal à 2$\lambda$ et $\lambda$ divise encore l'ordre p-1 de $F_{p}^{\times }$. Sinon, on continue et on forme un troisième ensemble de $\lambda$ éléments (une troisième classe modulo le sous-groupe engendré par A), etc. Il me semble que c'est bien, dans un cas particulier, le raisonnement par lequel on prouve aujourd'hui que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe (même si Euler n'a évidemment pas dégagé les notions de groupe et de sous-groupe). Marvoir (d) 14 novembre 2010 à 15:12

Compris ! merci pour cette synthèse. Je vais voir dans la semaine si j'arrive à trouver ce papier de Roth, car notre TI d'historiens des maths amateurs, bien que passionnant, nous prend beaucoup de temps, et ne vaut pas une "source secondaire", qui nous permettrait de mentionner Euler (et Abbati). Dommage que CGolds ne contribue plus ... Anne, 16 h 13

La première preuve n'est-elle pas trop compliquée ?

La première démonstration repose sur un état avancé de la théorie : action d'un groupe sur un ensemble, stabilisateur, relation entre l'ordre du stabilisateur et le cardinal de l'orbite. Cette dernière relation est d'ailleurs démontrée à l'aide du principe des bergers, qui repose sur une partition en parties équipotentes. Or la considération d'une partition en parties équipotentes fournit presque immédiatement la seconde démonstration.

Il me semble donc que la seconde démonstration (qu'on donne partout) est plus naturelle et moins propre à rebuter le lecteur que la première. Je proposerais de supprimer la première démonstration ou, si on tient à la garder, de ne la donner qu'après l'autre.

Marvoir (d) 11 avril 2008 à 12:21

Ok avec toi, je m'en charge tout de suite. Valvino ^(discuter) 11 avril 2008 à 12:31

Content qu'on soit d'accord. Merci !

Marvoir (d) 11 avril 2008 à 12:34

J'irais même plus loin : après un large détour faisant étalage de science, cette sous-section "Action de groupe" conclut en utilisant ... le lemme des bergers, qui suffit dans la première ! C'est très maladroit et inélégant et (donc) certainement non sourçable. Je la supprimerai prochainement (comme proposé ci-dessus par Marvoir il y a très longtemps) si personne ne s'y oppose. Anne 13/11/2010 à 1 h 13

L'article me semble maintenant bien mieux, beaucoup plus net. Marvoir (d) 14 novembre 2010 à 18:07

Je confirme que cette démonstration n'est compréhensible que pour celui pour qui le sujet n'est pas neuf. Or on rencontre ce théorème lorsque l'on commence. Quel est l'objectif ? Faire fuir les nouveaux ? - Patrick Bourdon — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 81.64.198.37 (discuter), le 25/1/2012.

"De suite"

On lit dans l'article : "les ensembles $C$ et $H$ ont même cardinal. De suite, les classes d'équivalence partitionnent $G$ en des parties de même cardinal que $H$."

Au lieu de "de suite", ne vaudrait-il pas mieux mettre "par suite" ou "dès lors" ? Je n'ai jamais rencontré un tel emploi de "de suite".
Marvoir (d) 21 décembre 2008 à 10:42

Moi aussi ça m'avait semblé bizarre. Même si ça existe sans qu'on le connaisse, tu as bien fait de remplacer par une expression plus courante. Anne, 13/11/2010

La "preuve élémentaire"

• L'essentiel de cette sous-section "Relation d'équivalence" consiste à vérifier qu'on effectivement une relation d'équivalence. C'est hors-sujet ici, et déjà fait (pareil) dans Classe suivant un sous-groupe. Un lien suffit.
• Puis on explique pourquoi toutes les classes sont équipotentes à H. Là aussi, un renvoi vers "Classe suivant un sous-groupe" suffirait, quitte à améliorer ce dernier.
• Enfin, on conclut en utilisant (sans le dire) le lemme des bergers. Seule cette phrase finale n'est pas dans "classe suivant un sous-groupe" (et n'a pas lieu d'y être, à mon avis). Mais elle est dans Indice d'un sous-groupe, juste après un énoncé plus général.
• Je propose de remplacer le contenu de la section "Démonstrations" par cette preuve qui figure dans "Indice d'un sous-groupe" (en la détaillant peut-être un tout petit peu plus), puis de dire que ça se généralise en la formule des indices (qui figure là-bas).

Anne, 13/11/2010, 1 h 13

Pour moi, d'accord. L'article "Théorème de Lagrange sur les groupes" a été créé le 23 juin 2003 et l'article "Indice d'un sous-groupe" n'a été créé que le 10 novembre 2008, ce qui explique que l'article sur le théorème de Lagrange n'ait pas tenu compte jusqu'ici du contenu de l'article sur l'indice. Il me semble impossible d'écrire sur l'indice sans donner la "formule des indices", dont le théorème de Lagrange est une conséquence immédiate. Il est donc normal que l'article sur le théorème de Lagrange soit très bref.

Je te laisse faire le ménage.

Marvoir (d) 13 novembre 2010 à 09:18

Histoire

Il serait peut-être intéressant de donner la référence à la publication de Lagrange, comme le fait la Wikipédia anglaise :

Marvoir (d) 13 novembre 2010 à 09:18

Oui, sauf que WP:en se trompe à mon avis en orientant vers la section 2, au lieu de la section 4. Anne, 14/11/2010, 3 h 45

J'avoue que je n'avais pas vérifié la référence. Les passages de la section 4 auxquels tu fais allusion sont sans doute les pp. 370-371, 373-374 et 385-386 de l'édition Gauthier-Villars. N'y aurait-il pas aussi un embryon à la p. 320 ? Je serais curieux de voir si le passage d'Euler auquel renvoient Kurzweil et Stellmacher (voir plus haut) ne contiendrait pas un raisonnement par les classes modulo un sous-groupe. En tout cas, nous pouvons apparemment renvoyer à ce mémoire de Lagrange, car Kurzweil et Stellmacher y renvoient eux aussi à propos du théorème "de Lagrange". Maintenant, je dois avouer que pour lire et comprendre le mémoire original de Lagrange, j'aurais à faire un gros effort sans grand profit, donc je m'en abstiendrai. Bravo d'avoir exploré ce maquis !

(J'ai complété la référence que j'avais prise dans la Wikipédia anglaise.) Marvoir (d) 14 novembre 2010 à 10:24

J'ai mis dans l'article la ref au mémoire de Lagrange. Moi aussi je renonce à le déchiffrer plus avant (je ne l'avais fait que pour vérifier que ce que nous en disons est "vrai", la section 2 me faisait douter mais la section 4 m'a convaincue). Je relirai peut-être Euler plus tard (cf liens plus haut). La dernière phrase de la partie histoire de la page anglaise (sur Abbati) m'a l'air suffisamment sourcée pour qu'on la copie (avec ses sources) sans vérifier, sauf que je me demande si le théorème de Lagrange dont il est question dans cette phrase est celui "au sens moderne", ou celui "démontré par Lagrange" d'après nous. Anne, 11 h 58

C'est vrai que la phrase de la Wikipédia anglaise est un peu ambiguë. Comme la notion de groupe n'avait pas encore été dégagée à l'époque d'Abbati, je suppose que c'est l'assertion de Lagrange elle-même que Lagrange n'a pas démontrée. L'idéal serait peut-être de lire l'article de Richard L. Roth cité plus haut et dans l'article de la Wikipédia anglaise, mais, pour ma part, je n'aurai pas l'occasion de faire des travaux de bibliothèque avant l'année prochaine.

P.S. J'ai donné mon avis sur la démonstration d'Euler dans la section ad hoc. Marvoir (d) 14 novembre 2010 à 15:30

Voici Roth, que je me suis imprimé, ainsi que Kleiner, indiqué par HB sur sa PdD. J'ai emprunté Kurzweil et Stellmacher à la bibli (mais pas trouvé Wussing dont parle HB). Pas le temps de lire tout ça avant ce soir. Anne, 16/11/2010, 13 h 28

Je crois que je vais commander Wussing (j'adore les Dover). Je te laisse décortiquer Roth. Je crois bien qu'il y a une petite justice à rendre à Euler. Marvoir (d) 16 novembre 2010 à 18:39

Annotation 1 obsolète

L'article PDF sur l'ordre du groupes des rotations du Rubik's cube n'est plus disponible, et le site indique que la page n'existe pas/plus. Babylogre (discuter) 20 septembre 2023 à 19:22 (CEST)