Discussion:Théorème de Rolle

et la démonstration ?? --Anod1 22 septembre 2005 à 17:03 (CEST)

Il m'a semblé utile de replacer ce théorème dans le contexte de la théorie de l'analyse des fonctions réelles de la variable réelle.

Il m'a aussi semblé utile d'expliquer le contexte historique, et pourquoi un théorème si fondamental voit sa démonstration si tard dans l'histoire des mathématiques. Jean-Luc W 26 novembre 2005 à 19:45 (CET)

Déplacé de l'article

j'ai déplacé cette remarque de l'article. En effet, la propriété citée s'appelle le théorème de Darboux et la démonstration ne fait pas intervenir le théorème de Rolle. De plus, il ne me semble pas judicieux de parler dans cet article de la continuité sur un ensemble presque dense (théorème de la limite simple de Baire). Désolée. Ces remarques sont judicieuses mais mal placées.

Une conséquence remarquable du théorème de Rolle : si f est une fonction dérivable sur un intervalle I sa dérivée f' possède la propriété des valeurs intermédiaires, i.e. l'image par f' de tout sous-intervalle J de I est un intervalle, bien que f' ne soit pas forcément continue. A ce sujet, le théorème de Baire permet de démontrer que l'ensemble des points où f' est cependant dense dans I.

HB, 11/5/2006 à 18:19

Pas de problème

Bonjour, en fait il existe plein de démonstrations du théorème de Darboux, dont une avec Rolle (si une fonction continue sur un intervalle n'est pas injective, elle prend deux valeurs égales et sa dérivée s'annulle; par contraposée, si la dérivée ne s'annulle pas, elle est injective donc strictement monotone et donc sa dérivée de signe constant). Je veillerai à l'avenir à réfléchir un peu plus au placement de mes contributions.

Mû, 11/5/2006 à 18:42

Terminologie criticable : confusion entre un extremum et le(s) point(s) où il est atteint

Dire que "c est un maximum" (ou un minimum, ou un extremum) est une terminologie tout à fait criticable : l'extremum est la valeur (maximum ou minimum) de la fonction atteinte en un point ; ce n'est pas le(s) point(s) où cette valeur est atteinte. Il convient, soit de dire que "c est un point de maximum" (ou de minimum ou d'extremum), ou de dire qu'un maximum (ou un minimum, ou un extremum) est atteint en c. Cette terminologie est conforme à l'usage mathématique dominant et est aussi conforme à l'usage général : le dictionnaire Robert définit ainsi un maximum (c'est moi qui souligne) : "valeur d'une fonction supérieure à celles qui la précèdent ou la suivent immédiatement" [cette définition est en fait celle d'un maximum local d'une fonction d'une variable réelle, à valeurs réelles]. Cette remarque tombe un peu à plat, puisque HB a entre temps rectifié les apports d'un autre contributeur, mais j'ai quand même eu envie de la faire. Vivarés 10 décembre 2006 à 00:10 (CET)

Sources précises

Vous dites que le théorème de Rolle a été démontré en 1860 par Pierre Ossian Bonnet. Peut-on savoir dans quel livre ou article ? Merci

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.255.154.211 (discuter), le 28 avril 2013 à 00:26‎.

Ça ne répond pas à la question mais voici 2 sources qui confirment que c'est par lui : [1] et [2]. Anne (d) 28 avril 2013 à 00:46 (CEST)

Merci mais ces deux sources, qui mentionnent le nom de Bonnet, correspondent à une démonstration du théorème des accroissements finis. Et la démonstration en question ne fait pas suffisamment apparaître le théorème de Rolle pour qu'on puisse attribuer à Bonnet la démonstration (analytique) de Rolle.— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.255.154.211 (discuter), le 28 avril 2013 à 01:22‎ 82.255.154.211.

Je viens de lire les deux sources en question. L'une, secondaire, cite Serret et Darboux pour attribuer à Bonnet un rôle important dans l'articulation du théorème permetttant de démontrer l'unicité de la primitive d'une fonction continue à une constante près. L'autre, c'est le cours de Serret pour démontrer le théorème des accroissements finis. Or la lecture des pages 17-19 montre que LA démonstration centrale concerne l'étude d'une fonction continue φ qui s'annule aux extrémités d'un intervalle [x,X]. Serret démontre que si la fonction est dérivable alors la dérivée s'annule entre x et X. Quelques lignes pour ramener le théorème des accroissements finis au théorème de Rolle, deux pages pour démontrer le théorème de Rolle et une demi-page pour conclure et attribuer l'ensemble de la démonstration à Bonnet. Alors oui, selon Serret, Bonnet a bien démontré le théorème de Rolle même s'il ne fait pas de pause en signalant : ceci est le théorème de Rolle. Vouloir séparer artificiellement le théorème de Rolle de celui des accroissements finis qui n'en est qu'un corrolaire me semble pour le coup ici une erreur.

Cependant, on pourrait regretter une absence de source sur la partie historique de cet article (en 2005, on transmettait ce qu'on savait sans toujours s'abriter derrière des sources), en particulier pour sourcer la date de 1860 et on peut s'étonner du fait que rien ne se soit passé pendant plus d'un siècle et demi (de 1691 à 1860) sur ce théorème. HB (d) 28 avril 2013 à 09:01 (CEST)

On peut s'interroger sur les raisons de l'attribution du théorème à Bonnet par Serret. Cette démonstration repose essentiellement sur le fait que la dérivée s'annule en un extremum, or ce résultat est connu dès les premiers développements du calcul infinitésimal dans le dernier quart du XVIIème. Il est donc hasardeux d'attribuer la primauté de ce théorème à Bonnet. Il serait plus intéressant de savoir à partir de quand le théorème est attribué à Rolle et pourquoi. Dans la partie histoire de l'article, toute la partie sur la polémique de Rolle contre le calcul infinitésimal est hors sujet. Je propose le plan suivant : 1) Garder les deux premières lignes : le théorème qu'a montré Rolle est un théorème purement algébrique où toute notion de dérivation est exclue. On peut développer un peu la méthode des cascades de Rolle. 2) Faire remarquer, qu'à l'issue de la découverte du calcul infinitésimal, les cascades de Rolle peuvent s'interpréter comme les dérivées du polynôme. 3) Signaler qu'au XIXème, ce qui va devenir le théorème de Rolle joue, comme de nos jours, un rôle de plus en plus important en analyse. Cela peut sans doute expliquer qu'il ait été commode d'attribuer un nom à ce théorème. Il faudrait des références plus précises sur ce dernier point. Theon (d) 5 juillet 2013 à 22:17 (CEST). Un élément de réponse à moi-même : Giusto Bellavitis, sul più facile modo di trovare le radici reali delle equazioni algebriche, e sopra un nuovo metodo per la determinazione delle radici immaginarie, (1847) Memorie del Real Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arte, Vol. III, p. 111, énonce : « Rolle osserv'o che fra due radici di una equazione è sempre compresa una radice della sua equazione derivata ». cf [3]. On remarquera que cette formulation du théorème de Rolle a lieu dans un cadre algébrique et non analytique. Theon (d) 5 juillet 2013 à 22:43 (CEST). Du même Bellavitis, en 1854, apparaît ici l'expression explicite théorème de Rolle, mais toujours dans un cadre algébrique.Theon (d) 6 juillet 2013 à 09:23 (CEST). En 1878, le théorème de Rolle est sorti de son cadre purement algébrique. Agrégation des sciences mathématiques (1878) : théorème de Rolle, application à la séparation des racines d'une équation algébrique ou transcendante, Nouvelles annales de mathématiques, deuxième série (1879), tome XVIII, Gauthier-Villars, p.40 [4], mais son but est toujours de séparer les racines.Theon (d) 6 juillet 2013 à 11:10 (CEST). Voici le texte de Darboux évoquant la belle démonstration de Bonnet, citée plus haut. Hairer et Wanner ont tronqué cette citation. On lit, p.111 (le gras est souligné par moi) : « Voir la belle démonstration de ce théorème [rem : il s'agit du théorème des accroissements finis et non du théorème de Rolle] donnée par M. O. Bonnet, dans le Traité de calcul différentiel et intégral de M. Serret, t.1, p.17. Cette démonstration suppose seulement que la dérivée existe et soit finie.». Il faut comprendre que Darboux s'intéresse dans son texte aux fonctions dérivables à dérivées non continues et qu'il se propose de montrer que les dérivées de ces fonctions bien que non continues, vérifient néanmoins le théorème des valeurs intermédiaires. Or la plupart des démonstrations du théorème des accroissements finis (Lagrange, Cauchy) utilise la continuité de la dérivée. Darboux reconnaît donc à Bonnet un éminent mérite, non pas celui d'avoir prouvé le théorème de Rolle (dont Darboux ne parle même pas), mais d'avoir prouvé le théorème des accroissements finis sans avoir à supposer la dérivée continue. De ce point de vue, le cours d'analyse de Serret apporte un aspect tout à fait moderne (puisqu'on continue à le présenter ainsi de nos jours) au théorème des accroissements finis, le théorème de Rolle n'étant qu'un lemme (et non un cas particulier) pour prouver ce théorème. Il resterait à trouver encore un ouvrage qui adopte la même présentation que le livre de Serret, mais qui cite nommément le théorème de Rolle. Theon (d) 7 juillet 2013 à 12:01 (CEST). J'ai trouvé cette référence : Charles de Comberousse, Cours de mathématiques, à l'usage des candidats à l'Ecole Polytechnique, à l'Ecole Normale Supérieure, à l'École centrale des arts et manufactures, Tome 3, deuxième édition, Gauthier-Villars, Paris (1887), p.526, §633. Comberousse reprend mot à mot la démonstration de Bonnet, mais précise : « Cette proposition n'est autre chose que le théorème de Rolle [...]. On remarquera que la démonstration précédente ne suppose pas la continuité de la dérivée f'(x), mais seulement que, pour chaque valeur de x comprise dans l'intervalle, elle a une valeur unique et déterminée ». Comberousse en déduit ensuite le Théorème des accroissements finis. cf [5]. Je pense qu'on cerne à peu près le moment où la démarche démonstrative moderne est définitivement adoptée, ainsi que l'attribution du nom théorème de Rolle en dehors de son cadre strictement algébrique. Il ne reste plus qu'à mettre tout ça en forme. Theon (d) 7 juillet 2013 à 18:55 (CEST)

Merci Theon pour ce travail de recherche de sources (sur cet article et sur d'autres aussi d'ailleurs). Puisque c'est toi qui a les textes sous les yeux, je te laisse reformuler au mieux. HB (d) 8 juillet 2013 à 08:13 (CEST)

Une dernière réf : Drobisch,Mortitz Wilhelm, Grundzüge der Lehre von den höheren numerischen Gleichungen, Leipzig, (1834), et en particulier la page 186 qui parle de Rolle et de la méthode des cascades. Mais je ne parle pas allemand, et franchement, utiliser la traduction de google pour essayer de comprendre le texte, ce n'est pas l'idéal. Si un germaniste pouvait nous dire de quoi il retourne... Theon (d) 8 juillet 2013 à 10:37 (CEST)

Suppression d'une remarque

J'ai supprimé la remarque suivante :

À noter que le fait que la dérivée soit nulle en $x_{0}$ ne signifie pas forcément que $f(x_{0})$ soit un extremum local. Prendre par exemple la fonction $f(x)=\cos(x)$ pour $x\leq 0$ et $f(x)=\cos(x-\pi )+2$ pour $x>0$, pour $x=0$ : la dérivée est $-\sin(x)$ des deux côtés, et $\sin(0)=0$. Il s'agit d'un point d'inflexion (la dérivée y change de signe) et non pas d'un extremum (local ou global).

Non pas qu'elle soit fausse, mais elle m'apparait hors sujet. Il ne s'agit pas ici d'associer dérivée nulle et extremum fût-il local, mais de prouver l’existence d'un point où la dérivée s'annule.

De plus, elle contribue à obscurcir le discours : en effet, pour démontrer l'existence d'un point où la dérivée s'annule, on va justement prendre le point où la fonction atteint un extremum global. HB (discuter) 5 janvier 2014 à 23:54 (CET)

Choix explicite de c

Je désapprouve cette modif, d'une part parce qu'elle alourdit la preuve par un choix inutile (et non sourçable, contrairement au reste de la preuve) de c, d'autre part parce que, telle qu'elle est rédigée, elle introduit une erreur : « l'un au moins de ces deux extrema est atteint en un point appartenant à l'intervalle ouvert ]a, b[. Par continuité de la fonction f, il existe une plus petite valeur en laquelle cet extremum global est atteint, que l’on appelle c » ne convient pas, car si cet extremum est atteint en un point de l'ouvert mais aussi en a, ça conduit à prendre c = a. Anne 20/6/15 19 h 16

J’ai affiné la rédaction afin que l’erreur factuelle que tu signales ne soit plus, ça me semble maintenant bon. En ce qui concerne la pertinence de l’ajout, je pense qu’il faut être cohérent avec ce qui est dit sur Discussion:Règle de l’Hôpital : on ne peut pas d’une part dire que la démonstration de la généralisation de la règle de L’Hôpital est constructive, et d’autre part laisser un flou sur le choix du minimum ici dans la démonstration… Par conséquent, je pense que le choix explicite de c a sa place dans la démonstration. Cordialement --Pic-Sou 20 juin 2015 à 19:41 (CEST)

Désolée Picsou d'abonder dans le sens d'Anne. Mais pour moi, la démonstration classique ne nécessite pas le choix explicite de c. Par conséquent, il me semblait plus judicieux de cantonner ce choix explicite là où Anne l'avait mis, c'est à dire en simple remarque. HB (discuter) 20 juin 2015 à 19:50 (CEST)

Ça me pose un problème : si un contributeur arrive sur la démonstration de la règle de l’Hôpital, et souhaite reconstruire l’ensemble de la démonstration, il devra arriver sur cette page et donc tomber sur la démonstration. Ainsi présentée, la démo ne semble pas être constructive ! Un compromis qui me paraît acceptable serait de remettre la phrase sur le choix du c en remarque ici comme vous le demandez, mais de spécifier sur Règle de l’Hôpital, à proximité de la démonstration, que « comme expliqué en remarque (avec un lien) dans l’article Théorème de Rolle, le choix des c_x peut être fait explicitement ; cette démonstration ne nécessite donc pas l’usage de l’axiome du choix », l’idée étant de renvoyer explicitement vers la remarque ajoutée dans cet article plutôt que de laisser le lecteur se débrouiller pour reconstituer les bouts de la démonstration correcte comme on le fait aujourd’hui. Il faudrait aussi vérifier si le problème ne se pose pas dans d’autres articles, le principe consistant à appliquer le théorème des accroissements finis sur des ouverts emboîtés puis passer à la limite étant assez courant. Je peux modifier les deux articles, si vous le souhaitez. Bien cordialement --Pic-Sou 20 juin 2015 à 19:58 (CEST)

Je suis d'accord pour que tu reviennes dans cet article-ci à la version de 17h34‎ — voire même à la version du 9/1 _{incise ajoutée à 20h59} — mais pas (comme déjà dit dans la pdd de Règle de l'Hôpital) pour que tu ajoutes là-bas (ou ailleurs) tes remarques sur l'axiome du choix, à moins que tu trouves une source. Anne 20h23

Quel rapport avec un PoV (ce que tu dis en commentaire de modification) ? Il ne s’agit pas d’un problème de point de vue, mais juste de cohérence ! Si l’on supprime le passage qui rend la démonstration ici présente constructive et que l’on n’en fait pas mention dans l’article sur L’Hôpital, je suis désolé, mais il manque quelque chose… Je n’ai visiblement pas été le premier à voir un problème dans cette démonstration ; maintenant que le problème est levé (grâce à ton complément à la démonstration), il me semble raisonnable de faciliter la tâche au lecteur en plaçant les remarques à l’endroit où elles seront vues. Cordialement --Pic-Sou 20 juin 2015 à 20:37 (CEST)

Le PoV consiste ici à poser et résoudre une question qui n'est pas effleurée dans les bouquins, à mon avis non pas parce que ce n'est pas judicieux, mais parce que tout lecteur qui s'intéresse un peu à l'axiome du choix est capable de faire ça tout seul (toi aussi) et parce que ça perturberait les autres. Anne, 20h53

Je partage entièrement le point de vue de HB. Dans le version initiale, la démonstration se termine à partir du moment où l'on sait qu'un des deux extrema peut être pris en un point différent de a et b. Avec la version actuelle, se rajoute une affirmation non prouvée dans l'article, celle de l'existence d'un minimum d'une partie d'un intervalle ouvert, ce qui n'est absolument pas évident. Il convient bien de distinguer la fin de la démonstration du théorème de Rolle, de son raffinement du choix de c qui ne peut venir qu'en complément.Theon (discuter) 22 juin 2015 à 08:38 (CEST)

Par ailleurs, le théorème de Rolle affirmant l'existence d'un c tel que f'(c) = 0 n'est pas constructif. En effet, l'existence d'un extremum n'est pas prouvable de façon constructive. C'est expliqué pourquoi ici.Theon (discuter) 22 juin 2015 à 09:14 (CEST)

Exemple : soit $a=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}$ avec $a_{n}=0$ si $n^{17}+9$ et $(n+1)^{17}+9$ sont premiers entre eux, $a_{n}=1$ si n est pair et $n^{17}+9$ et $(n+1)^{17}+9$ ne sont pas premiers entre eux, $a_{n}=-1$ si n est impair et $n^{17}+9$ et $(n+1)^{17}+9$ ne sont pas premiers entre eux. Soit f la fonction définie par : $f(x)=-x+{\frac {3}{2}}(a+1)x^{2}$ si x est entre 0 et 1/3, $f(x)=ax-{\frac {a+1}{6}}$ si x est entre 1/3 et 2/3, $f(x)={\frac {3}{2}}(1-5a)(x-{\frac {2}{3}})^{2}+ax-{\frac {a+1}{6}}$ si x est entre 2/3 et 1. Donner la valeur de c à 0.01 près. On notera qu'on peut calculer des valeurs approchées de f ou de sa dérivée à toute précision, après avoir d'abord cherché une valeur approchée de a à cette précision. Theon (discuter) 22 juin 2015 à 11:04 (CEST)

Merci Theon pour ces éclaircissements. Au vu des propositions qui ont été faites (par HB notamment) sur la règle de L’Hôpital, je suis d’accord pour rédiger une partie complémentaire sur le choix de c et je vais donc retirer mes derniers ajouts. Cordialement --Pic-Sou 23 juin 2015 à 14:33 (CEST)