Discussion:Théorème de Wilson

Démonstration

La "démonstration" est très obscure telle qu'elle est présentée. Je doute de son caractère rigoureux.

Je trouve aussi la démonstration actuelle obscure et surtout inutilement compliquée. Pour démontrer le théorème de Wilson on a uniquement besoin de savoir que Z/pZ est un corps, la démonstration proposée ici utilise le fait que le groupe des unités de Z/pZ est cyclique, ce qui est un résultat plus difficile à obtenir.

La moitié de la démonstration sans les outils de l’arithmétique modulaire consiste en fait à montrer que Z/pZ est un corps mais sans le dire, en faisant le raisonnement sur des entiers au lieu de le faire sur des éléments de Z/pZ ; je ne sais pas si elle a un grand intérêt, surtout si on met la démonstration par regroupement des inverses dans (Z/pZ)* comme démonstration « principale » (ce que j’ai l’intention de faire). Suppression de cette partie ou pas ? 213.41.151.81 (d) 27 janvier 2009 à 19:48 (CET)

Je serais plutôt d'accord. Attendons toutefois l'avis de Jean-Luc W, à qui j'ai signalé cette intervention. Salle (d) 28 janvier 2009 à 11:04 (CET)

Et quitte à utiliser la cyclicité autant remarquer que $X^{p-1}-1=(X-1)(X-2)\dots (X-(p-1))$ dans $F_{p}$.

Tiens ! je me souviens avoir laissé ça y'a pas mal de temps et ca n'a pas été utilisé, ca me semble pourtant être bien plus clair que les preuves actuelles. Si je n'ai pas de contre-indiation je la mettrai ces jours-ci...Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 21:28 (CEST)

Plus précisément voici ce que je compte y mettre (je crois me passer de la cyclicité). Le groupe Z/pZ peut naturellement être munit d'une structure d'anneaux qui en fait un corps quand p est premier (il s'agit juste de l'identité de Bezout), noté $F_{p}$. Par suite le groupe des inversibles est d'ordre p-1 et par Lagrange on voit que pour toute classe $n\in F_{p}$ non-nulle on a $n^{p-1}=1$ ce qui fournit déjà p-1 racines au polynôme $X^{p-1}-1\in F_{p}[X]$ de degré p-1. Bref on obtient donc $X^{p-1}-1=(X-1)(X-2)\dots (X-(p-1))$ et il ne reste plus qu'à identifier les coefficients constants.

En plus l'article déforme complètement les infos du lien externe fourni en note 7, que j'appellerai Gauss.

• Gauss p. 56 : contrairement à ce que l'article laisse entendre sans le dire vraiment, Waring n'a, de son propre aveu, pas réussi à le démontrer, mais a seulement attribué cette question à Wilson
• Gauss p. 56 : la "démonstration de Gauss" (présentée dans Gauss p. 55-56 juste comme exemple d'application de la cyclicité) n'est autre que celle d'Euler
• Gauss p. 57 : c'est la "démonstration par l'arithmétique modulaire", que Gauss présente juste après comme sienne, qu'on devrait appeler la démonstration de Gauss
• la "démonstration manuelle" me semble à virer, car illisible pour le débutant et inutile pour le matheux, et ne correspondant historiquement à rien car les démonstrations historiques, bien que rédigées de façon littéraire sans utiliser le symbole $\equiv$, étaient d'authentiques calculs modulaires : cf Euler, Opuscula Analytica, 1783, tome I, p.329-330.
• La démonstration de Lagrange, Nouv. Mém. de l'Ac. de Berlin, 1771, est juste mentionnée mais pas décrite : en fait d'après Gauss p. 57 c'est la tienne, au remplacement près de X par -X, et je suis d'accord qu'elle mérite d'être rajoutée. Mais auparavant, un ménage s'impose, non ?

Anne Bauval (d) 6 juillet 2010 à 02:56 (CEST)

Tout-à-fait d'accord. Pour ma part, mais je ne connais pas trop l'arithmétique, ce "théorème" a pêu d'intérêt mathématique : la preuve est simple, et je ne crois pas que ce soit un résultat à la base de beaucoup d'autres (est-ce qu'il est raisonnable d'en dériver un critère de primalité par exemple ?)... l'intérêt semble plutôt historique : comment (et éventuellement qui) faisait-on (ou ne faisait-on pas) pour prouver ce résultat ? L'artcicle devrait donc expédier l'ennoncé et une preuve, et s'intéresser aux aspects historiques. Peut-être que c'est ce qu'on pourrait faire (l'histoire, je ne connais pas trop...) ? Alexandre, 6 juillet 2010 à 11:48

La démonstration de la réciproque

La démonstration de la réciproque aussi est inutilement compliquée. Je propose ce qui suit, qui est très simple à comprendre et beaucoup plus court.

On commence par écrire que la congruence

$(p-1)!+1\equiv 0{\pmod {p}}\;$

signifie qu'il existe un entier k tel que (p-1)! + 1 = kp, c'est-à-dire kp - (p-1)! = 1.

Si p n'est pas premier, il existe un entier a diviseur de p tel que 2 ≤ a ≤ p-1. L'entier a divise donc (p-1)!. Or a divise p, donc divise le produit kp. Il en résulte que a divise la différence kp - (p-1)! = 1, ce qui est impossible si a ≥ 2, puisque le seul entier positif qui divise 1 est 1 lui-même.--Pierre W.W. (d) 9 janvier 2010 à 12:38 (CET)

théorème ou identité?

Je me demandais juste si le lien dans "justification possible par le théorème de Bezout" pointe vers une mauvaise page. En effet, au lieu de pointer vers l'identité de Bezout, le lien pointe vers le théorème.137.146.132.120 30 juillet 2007 à 03:45 (CEST)

C'est fait. Ne pas oublier : Soyez audacieux.Salle 30 juillet 2007 à 13:00 (CEST)

Refonte

Même si l'évaluation d'intérêt faible me semble justifiée, cette article méritait mieux. C'est en effet une des illustration utilisée par Gauss pour montrer la puissance de l'arithmétique modulaire.

Son histoire était un peu sommaire, le théorème est en effet connu bien avant par la communauté scientifique versée dans l'arithmétique. Je suis persuadé que Fermat connaissait ce résultat, mais je n'ai pas trouvé de référence crédible à cette affirmation. Un contributeur finira bien par corriger cette faiblesse. Jean-Luc W 9 septembre 2007 à 16:05 (CEST)

question sur la démo

Que veulent dire les phrases suivantes :

On remarque que la congruence de (p - 1)/2 est l'unique élément d'ordre 2 du groupe, correspondant à -1 dans Z/pZ^*. L'image réciproque de p(p - 1)/2 par φ, dans Z/pZ^* correspond à la classe de (-1)^p = -1, ce qui permet de conclure.

Si $\phi$ est une application, son image devrait être un ensemble, ou je yoyotte de la touffe? --Sylvie Martin (d) 16 juin 2008 à 14:13 (CEST)

Hum, difficile de répondre. Mazette, j'ai évidemment écrit n'importe quoi. Essayons la mauvaise foi et le maquillage. Je corrige à la fois le texte et la citation de SM et hop, ni vu ni connu.

Vraiment, SM, je ne vois pas se que tu reproches au texte, il est limpide comme l'eau de source des montagnes immaculées. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 15:35 (CEST)

Théorème. Sylvie Martin yoyotte de la touffe.

Corollaire. Cela prouve au moins qu'elle a quelques cheveux sur le caillou, ce qui ne pourra que ravir ceux qui la connaissent.--Sylvie Martin (d) 16 juin 2008 à 19:01 (CEST)

Doute sur une remarque

Je précise que je n'y connais rien ; mais la remarque

« La formule précédente est équivalente à

$(p-1)!\equiv p-1{\pmod {p}}$.

 »

est-elle correcte ? N'est-ce pas plutôt

$(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}$.

compte tenu de l'expression du théorème ? — Florian, le 19 octobre 2008 à 13:51 (CEST)

Bonjour Flo,

C'est gentil de nous aider à rendre les articles plus clairs et plus justes. Les deux expressions sont parfaitement exactes, p et 0 correspondent à la même classe modulo p. En conséquence p - 1 et -1 correspondent aussi à la même classe. Le tout est de savoir quel est la plus pertinente. Traditionnellement, on identifie les classes modulo p avec leurs représentants entiers compris entre 0 et p - 1. Ce choix ne me semble donc pas totalement incongru. Jean-Luc W (d) 19 octobre 2008 à 14:07 (CEST)

Proposition de début d'article

En mathématiques, le théorème de Wilson énnonce qu'un nombre entier p est premier si et seulement si on a la congruence suivante modulo p : (p-1)!=-1. De nos jours il s'agit d'un résultat relativement élémentaire qui doit d'avantage son importance à sa découverte et aux différentes (tentatives de) preuves : il apparaît qu'il n'est même pas effectivement "dû" à Wilson. Cette caractérisation théorique des nombres premiers n'a pas encore donner de test de primailté efficace.

Le sommaire

1. ==Aspects mathématiques==

Avant d'en donner une preuve, rappelons juste que celà signifie qu'un nombre p est premier si et seulement s'il existe un entier k\in\Z tel que 1.2.3...(p-1)=kp-1. Voici quelques exemple pour différentes valeurs de p :

• si p est égal à 3, alors (p - 1)! + 1 est égal à 3, un multiple de 3,
• si p est égal à 4, alors (p - 1)! + 1 est égal à 7 qui n'est pas multiple de 4,
• si p est égal à 5, alors (p - 1)! + 1 est égal à 25, un multiple de 5,
• si p est égal à 6, alors (p - 1)! + 1 est égal à 121 qui n'est pas multiple de 6,
• si p est égal à 17, alors (p - 1)! + 1 est égal à 20 922 789 888 001, un multiple de 17 car 17 x 1 230 752 346 353 = 20 922 789 888 001.

S'il existe effectivement une telle relation 1.2.3...(p-1)=kp-1 alors on a 1=kp-1.2.3...(p-1) qui est une relation de Bézout entre p et tous les entiers strictement plus petits. Ainsi p est premier avec eux, et donc premier. Pour la réciproque, on suppose que p est premier. Le groupe Z/pZ est alors naturellement muni d'une structure d'anneau qui en fait un corps (il s'agit juste de l'identité de Bezout), noté $F_{p}$. Par suite le groupe des inversibles est d'ordre p-1 et le théorème de Lagrange implique que ses éléments vérifient $n^{p-1}=1$ ce qui fournit déjà p-1 racines au polynôme $X^{p-1}-1\in F_{p}[X]$ de degré p-1. Bref, on obtient donc du fait que $F_{p}$ est un corps, la relation $X^{p-1}-1=(X-1)(X-2)\dots (X-(p-1))$ et il ne reste plus qu'à identifier les coefficients constants.

1. ==Aspects historiques==

Là, je te laisse faire. Alexandre alexandre (d) 6 juillet 2010 à 12:52 (CEST)]

ok, je reprends la main. Je travaille au brouillon hors ligne et je balancerai tout d'un seul coup, mais je vous tiens un peu au courant pour si vous avez des remarques. La partie historique n'est pas mon fort non plus, mais je passe bcp de temps à scruter des sources sur le web. Ainsi je crois avoir découvert que la preuve de Lagrange n'est pas de 71 mais de 73 (cf page anglaise), et que celle d'Euler n'est pas antérieure (contrairement à ce qui est affirmé ici et dans la PdD de théorie des nombres) mais (au mieux) simultanée, puisque présentée à l'Académie de Saint-Petersboug le 15/11/1773. Je compte de même supprimer l'affirmation douteuse sur l'application par Euler de ce théorème pour prouver le théorème des 2 carrés, et plus généralement sur l'application aux équations diophantiennes. J'ai trouvé d'autres applis sur une page web d'agrégatif mais ce sont plutôt des exos rigolos que de vraies applis donc un lien externe suffira. Anne Bauval (d) 7 juillet 2010 à 04:05 (CEST)

ok, ok, bonne chance :) Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 09:28 (CEST)

Récent lien externe

« il vient : r + (n – 1) r = n » : non. Il vient seulement : r + (n – 1) r = un multiple de n. Je serais pour enlever ce lien, il y a assez de démos « historiques », pour ce théo somme toute élémentaire, sans ajouter des TI. Anne Bauval (d) 20 juin 2011 à 23:48 (CEST)

Fait Anne (d) 6 avril 2012 à 01:30 (CEST)

Tableau dans la section Exemples

Je l'avais supprimé l'an dernier et je le vois resurgir. J'y suis toujours défavorable car il perturbe la lecture de l'article sans apporter d'information supplémentaire. Anne (discuter) 22/3/14

En l'absence de réponse, je viens de le supprimer à nouveau. Anne 6/10/14

Gauss et le théorème de Wilson

Dans ses Disquisitiones arithmeticae (dont on peut lire une une traduction ici), Gauss donne bien les grandes lignes de la démonstration de Lagrange (p. 56 section 76) mais ne présente pas la démonstration d'Euler, on retrouve bien en p. 57, section 77 sa démonstration grâce aux éléments associés mais je me demande si Hawking [1] n'a pas péché par approximation en disant que Gauss aurait démontré le complément : si n est composé et différent de 4 alors (n-1)! est multiple de n. J'ai épluché les Disquisitiones arithmeticae sans avoir réussi à voir une telle allusion (le résultat a du lui paraitre trop simple pour être énoncé).

En revanche, il énonce une généralisation du théorème de Wilson (et donne quelques pistes de sa démonstration):

si n est composé, le produit de tous les entiers inférieurs à n et premiers avec n est congru à +/- 1 modulo n (section 78)

Ce résultat n'aurait-il pas intérêt à être présenté dans notre article ? HB (discuter) 23 janvier 2015 à 11:26 (CET)

Lagrange et le théorème de Wilson

Alertée par le résumé que fait Gauss de la démonstration de Lagrange, j'ai cherché la teneur de la démonstration de Lagrange et elle me semble très éloignée de ce que raconte notre article ( utilisation de deux théorème puissants) . Si ma lecture est bonne, la démonstration de Lagrange ne réclame pas de grands théorèmes mais un peu d'astuce et d'huile de coude : il s'intéresse au polynôme P(x)=(x+1).(x+2)....(x+n-1) dont il vaut trouver la forme développée. En observant que (x+1)P(x+1)=(x+n)P(x), il détermine de proche en proche tous les coefficients du polynôme et démontre de proche en proche qu'ils sont tous - à l'exception du premier (qui vaut 1) et du dernier qui vaut (n-1)! - multiples de n si n est premier, et que le dernier augmenté de 1 est multiple de n. Chose amusante, ce même polynôme lui permet aussi de démontrer le petit théorème de Fermat.

Ne faudrait-il pas mieux coller aux sources ? HB (discuter) 23 janvier 2015 à 11:32 (CET)

Tu as raison, je te laisse faire. Je ne disposais pas de l'article de Lagrange et j'avais mal interprété le résumé de Gauss. Anne 23/1/15 14h46

Programme informatique

Le programme Python fournit pour le test de primalité utilisant le théorème de Wilson semble être buggé

   import math
   def isPrime(n):
       if n == 4: return False
           return bool(math.factorial(n>>1)%n)

pour n=9 (1001 en binaire)

n>>1 donne 4 (100 en binaire)

4! = 24

et 24%9 -> 6 (True)

La fonction isPrime retourne True pour n=9 ce qui manifestement est incorrect

Etonnamment le programme fonctionne pour toutes les autres valeurs testées jusqu'à 10000

   from arith_lib import is_prime
   for n in range(2, 10000):
       try:
           assert isPrime(n)==is_prime(n)
       except:
           print(f"Mismatch with n={n}")

Mismatch with n=9 — Le message qui précède, non signé, a été déposé par JAL314 (discuter), le 1 novembre 2019 à 07:22 (CET)

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Je ne suis pas du tout convaincu de la pertinence de ce programme dans cette section (il n’est pas vraiment en lien avec le théorème de Wilson). De plus, il n’est pas sourcé, et il n’est même pas fait référence du langage de programmation utilisé. Comme l’a remarqué JAL314, le programme est faux pour n=9. Et on peut montrer assez facilement qu’il est correct en dehors de cette valeur (mais sans utiliser le théorème de Wilson). Pour cela, il suffit d’observer que :

• si $p$ est premier, alors par intégrité de $Z/pZ$, comme $1,...,p/2$ sont tous non nuls, $(p/2)!$ n’est pas congru à $0$ modulo $p$.
• si $p$ n’est pas premier, alors soit il existe $1<q<r<p$ tels que $p=qr$, soit $p=q^{2}$ avec $q$ premier. Dans le premier cas, $q\geq 2$, donc $r=p/q\leq p/2$ et donc $(p/2)!=1...q...r...p/2$ donc $p=qr$ divise $(p/2)!$.

Dans le second cas, si $q\geq 4$, alors $(p/2)!=1...q...2q...p/2$ et donc $p=q^{2}$ divise $(p/2)!$.

Le contre exemple donné par JAL314 correspond au second cas, $p=q^{2}$ avec $q=3$, et qui ne vérifie donc pas l’hypothèse $q\geq 4$. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 82.65.87.104 (discuter), le 27 avril 2021 à 14:53 (CEST)

Vu que le programme n'a rien à voir avec le théorème de Wilson, je l'ai supprimé hier. --Wikimiako (discuter) 29 juillet 2021 à 10:23 (CEST)

Merci. HB (discuter) 29 juillet 2021 à 11:01 (CEST)