Discussion:Trigonométrie complexe

Présenter d'abord les complexes comme dissolvant la trigo dans l'arithmétique

Il me paraît juste et relativement efficace de résumer aux béotiens les nombres complexes en les présentant comme des nombres 2D dont le maniement simplifie la trigonométrie en la réduisant à l'arithmétique élémentaire. Idée qu'il me paraît souhaitable de voir mentionnée dans le contexte de toute "trigonométrie complexe". 84.226.136.185 (d) 13 juin 2011 à 19:58 (CEST)

Définir d'abord l'exponentielle complexe pour définir ensuite le cosinus et le sinus d'un nombre complexe. Puis démontrer les formules classiques.

Bonjour,

Après avoir fait quelques recherches sur divers sites, je crois que pour détailler l'article, il faudrait partir de la définition de l'exponentielle complexe : $\sum _{k=0}^{+\infty }{\dfrac {z^{k}}{k!}}$. Cette série entière étant normalement convergente dans tout disque fermé $\displaystyle D(0,R)$ on peut modifier l'ordre de ses termes. En notant $\displaystyle e^{z}$ ou exp(x) sa somme, on a $e^{iz}=\sum _{k=0}^{+\infty }{\dfrac {(iz)^{k}}{k!}}=$ $e^{iz}\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}{\dfrac {z^{2k}}{(2k)!}}+i\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}{\dfrac {z^{2k+1}}{(2(k+1))!}}$. Par définition, le cosinus de z est la série entière $\cos \,z=\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}{\dfrac {z^{2k}}{(2k)!}}$ et le sinus de z est $\sin \,z=\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}{\dfrac {z^{2k+1}}{(2(k+1))!}}$ d'où $e^{iz}=\cos \,z+i\sin \,z$. A partir de là, on obtient facilement les formules $\cos \,z={\dfrac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$, $\sin \,z={\dfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$, $\cos ^{2}\,z+\sin ^{2}\,z=1$, pour tout $\theta \in \mathbb {R} \quad |e^{i\theta }|=1$, la formule de Moivre $\cos \,(nz)+i\sin \,(nz)=(\cos \,z+i\sin \,z)^{n}$, tous les développements comme celui de $\cos \,(z_{1}-z_{2})$ etc... Je ne sais pas ce que vous en pensez.

Lanh, le 5 avril 2011.