Effet Sagnac

On appelle effet Sagnac le décalage temporel de la réception de deux signaux lumineux tournant en sens inverse autour de la circonférence d'un disque en rotation (par rapport à un référentiel inertiel), quand ils sont émis par un émetteur-récepteur fixé sur ce disque.

L'effet Sagnac a été découvert par Georges Sagnac en 1913^[1]. En physique classique, il est interprétable comme une asymétrie de la vitesse des signaux lumineux par rapport à la circonférence du disque en rotation. En physique relativiste, l'effet correspond à l'impossibilité de synchroniser des horloges sur une courbe fermée soumise à la gravitation, ou à une accélération (en cas de rotation).

En 1925, Michelson et Gale mesurèrent la rotation de la Terre grâce à un grand interféromètre en utilisant l'effet Sagnac. Le gyroscope à fibre optique utilisé comme gyromètre est une application directe de l'effet Sagnac.

Théorie

Prévision en physique relativiste

On appelle « effet Sagnac » le décalage temporel de la réception de signaux lumineux « tournant en sens inverse » quand ils sont émis par un émetteur-récepteur fixé sur un disque tournant. En effet, si un émetteur placé sur un disque en rotation envoie deux signaux lumineux contraints de suivre la circonférence du disque, chacun dans un sens, les deux signaux reviennent à l'émetteur après un tour complet mais avec un léger décalage temporel qui dépend de la vitesse de rotation du disque.

En relativité restreinte, on suppose que la vitesse de la lumière c est invariante, et la même pour les deux trajets, dans le rérérentiel centré sur le centre du disque, mais ne tournant pas avec lui. En supposant c invariant ce décalage temporel entre les instants d'arrivée des deux signaux lumineux tournant en sens inverse se calcule comme suit^[2].

Le long de la circonférence d'un disque de rayon R tournant à la vitesse $v=\omega R$ (au niveau du rayon R) on fait tourner :

un rayon lumineux dans le même sens que le disque et, en notant t le temps qu'il met pour rencontrer à nouveau l'émetteur, l'observateur du laboratoire vérifie l'égalité $c.t=2\pi R+\Delta L$ , avec $\Delta L=\omega Rt$ , d'où $t={{2\pi R} \over {c-\omega R}}$
un rayon lumineux dans le sens opposé à celui du disque et, en notant t' le temps qu'il met pour rencontrer à nouveau l'émetteur, l'observateur du laboratoire vérifie l'égalité $c.t'=2\pi R-\Delta L'$ , avec $\Delta L'=\omega Rt'$ , d'où $t'={2\pi R \over c+\omega R}$

Le décalage entre les arrivées des deux signaux lumineux $\delta t={2\pi R \over c-\omega R}-{2\pi R \over c+\omega R}={4\omega \pi R^{2} \over c^{2}-\omega ^{2}R^{2}}\approx {4\omega \pi R^{2} \over c^{2}}$ pour une petite vitesse de rotation.

Prévision en physique classique

En physique classique, on suppose que la vitesse de la lumière est $c$ dans le référentiel du laboratoire (supposé être celui de l'éther), et $c-\omega R$ ou $c+\omega R$ dans le référentiel tournant.

Le différentiel de temps est celui pour parcourir $2\pi R$ avec la vitesse $c-\omega R$ ou $c+\omega R$ : $\delta t={2\pi R \over c-\omega R}-{2\pi R \over c+\omega R}={4\omega \pi R^{2} \over c^{2}-\omega ^{2}R^{2}}\approx {4\omega \pi R^{2} \over c^{2}}$

On retrouve exactement la même expression qu'en physique relativiste, par un raisonnement différent. L'expérience de Sagnac, avec la lumière, ne permet pas de départager la physique relativiste de la physique classique^[3].

En revanche, si on cherche à calculer un effet Sagnac avec des signaux de vitesse quelconque, avec les formules de la relativité restreinte, alors il apparait que les prédictions de l'effet selon la relativité est différente des prédictions avec la physique classique. Cela ouvre la possibilité de départager avec des expériences avec des signaux de vitesse inférieure à la vitesse de la lumière^[3].

Universalité de l'effet Sagnac

On peut montrer que l'effet Sagnac est indépendant de la vitesse des signaux et ne dépend que de la vitesse de rotation du disque, en prenant pour hypothèse l'isotropie de la vitesse des signaux (vitesse des signaux voyageant dans les sens opposés identiques par rapport au disque), et en calculant les vitesses selon la loi de composition des vitesses en relativité restreinte. C'est l'universalité de l'effet Sagnac. On ne peut pas démontrer cette universalité en physique classique^[4].

Si cette prédiction est vérifiée expérimentalement, cela permet de vérifier que l'effet Sagnac est non seulement compatible avec le relativité restreinte, mais même une prédiction de celle-ci.

La démonstration suit les étapes suivantes^[5] :

On définit d'abord les distances parcourues ( $l_{+}$ et $l_{-}$ ) et les temps d'arrivée ( $t_{+}$ et $t_{-}$ ) pour chaque signal depuis le référentiel fixe du laboratoire.
En utilisant la loi relativiste de composition des vitesses, les vitesses des signaux ( $v_{+}$ et $v_{-}$ ) sont exprimées en fonction de la vitesse du signal ( $v_{0}$ ) par rapport au disque.
Lors du calcul de l'intervalle de temps total dans le laboratoire ( $\Delta t$ ), le terme $v_{0}$ s'annule car il est présent à la fois au numérateur et au dénominateur des équations.
Enfin, l'intervalle de temps est converti pour le référentiel tournant ( $\Delta t_{0}$ ) en appliquant la formule de dilatation du temps. Le résultat final démontre que le décalage temporel ne dépend que du rayon du disque ( $R$ ) et de sa vitesse de rotation ( $\Omega$ ), et on retrouve la formule de l'effet Sagnac pour la lumière (dont la vitesse n'est qu'un cas particulier de $v_{0}$ ).

Mathématiquement^[5]

Distances parcourues:

$l_{+}=2\pi R+R\Omega t_{+}$ $l_{-}=-2\pi R+R\Omega t_{-}$

Vitesses et temps :

$l_{+}=t_{+}v_{+}\quad {\text{et}}\quad l_{-}=t_{-}v_{-}$

Temps de parcours déduits :

$t_{+}={\frac {2\pi R}{v_{+}-R\Omega }}\quad {\text{et}}\quad t_{-}={\frac {-2\pi R}{v_{-}-R\Omega }}$

Intervalle de temps mesuré dans le laboratoire :

$\Delta t=t_{+}-t_{-}={\frac {2\pi R}{v_{+}-R\Omega }}+{\frac {2\pi R}{v_{-}-R\Omega }}$

Loi de composition des vitesses permettant d'exprimer $v_{+}$ et $v_{-}$ en fonction de la vitesse du signal par rapport au disque $v_{0}$ :

$v_{+}={\frac {v_{0}+R\Omega }{1+{\frac {v_{0}R\Omega }{c^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad v_{-}={\frac {-v_{0}+R\Omega }{1-{\frac {v_{0}R\Omega }{c^{2}}}}}$

Intervalle de temps dans le laboratoire (simplifié) $v_{0}$ disparait :

$\Delta t=t_{+}-t_{-}={\frac {4\pi R^{2}\Omega }{c^{2}(1-{\frac {R^{2}\Omega ^{2}}{c^{2}}})}}$

Intervalle de temps mesuré dans le référentiel tournant (temps propre) :

$\Delta t_{0}=\int _{0}^{\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {R^{2}\Omega ^{2}}{c^{2}}}}}dt=\Delta t{\sqrt {1-{\frac {R^{2}\Omega ^{2}}{c^{2}}}}}$

Décalage temporel final. Effet Sagnac universel :

$\Delta t_{0}={\frac {4\pi R^{2}\Omega }{c^{2}{\sqrt {1-{\frac {R^{2}\Omega ^{2}}{c^{2}}}}}}}$

On retrouve la formule de l'effet Sagnac pour la lumière, pour des vitesses de rotation négligeables par rapport à celle de la lumière. Le terme en $c^{2}$ s'avère être non pas la vitesse du signal lumineux (comme le croyait Sagnac), mais une constante fondamentale liée à la géométrie de l'espace-temps de Minkowski^[6].

Résultats expérimentaux

L'effet a d'abord été constaté et mesuré en analysant les franges d'interférences des signaux lumineux. Depuis, l'utilisation de laser, d'horloges atomiques et d'autres dispositifs, permet d'autres mesures et en particulier la mesure directe du décalage temporel.

En 1913, Sagnac a vérifié les prédictions prérelativistes de l'effet qui porte son nom en utilisant un interféromètre en rotation rapide. Il avait lui-même prédit les résultats ci-dessus dans le cadre de la physique classique. Ce fut aussi le premier résultat expérimental rapporté de ce qui fut nommé l'effet Sagnac.

En 1925, Michelson et Gale mesurèrent la rotation de la Terre grâce à un grand interféromètre.

Depuis les années soixante, des mesures de plus en plus précises ont pu être effectuées grâce à l'emploi des lasers.

Déjà, en 1914, Harzer avait constaté que l'effet subsiste en présence de la réfraction, c'est-à-dire dans un milieu où la lumière va moins vite que $c$ .

Pour les ondes électromagnétiques, l'effet a été détecté pour les ondes radioélectriques^[7] et les rayons X^[7].

Pour la matière, c'est-à-dire pour les ondes de de Broglie^[7] et les particules associées, l'effet Sagnac universel a également été détecté, avec des vitesses de signal inférieures à celle de la lumière :

en 1965 par Zimmermann et Mercerau avec des paires de Cooper^[8] ;
pour des particules neutres^[9] :
- en 1979^[10]^,^[11] puis en 1984^[12] avec des neutrons^[8] ;
- en 1991^[13]^,^[14] avec des atomes de calcium 40^[8] ;
pour des particules libres chargées^[9] :
- en 1993^[15]^,^[16] avec des électrons^[8] ;
pour des superfluides^[9] :
- en 1997^[17]^,^[18] avec de l'hélium 4 puis en 2001^[19]^,^[20] avec de l'hélium 3 ;
- en 2013^[21]^,^[22] avec un condensat de Bose-Einstein.

Rotation de la Terre

L'effet Sagnac dû à la rotation de la Terre a été mesuré avec des interféromètres à ondes de matière :

en 1979 par Werner et al. avec des neutrons^[23] ;
en 1997 par Lenef et al. avec des atomes de sodium (Na)^[23] ;
en 1997 puis en 2000 par Gustavson et al. avec des atomes de césium (Cs)^[23] ;
en 2006 par Canuel et al. avec des atomes de césium (Cs) refroidis^[23].

Historique de la découverte de l'effet

Prédictions prérelativistes

L'effet Sagnac n'est pas prédictible dans le cadre de la théorie corpusculaire de la lumière d'Isaac Newton^[24]. Il a été prédit, pour les ondes lumineuses, avant l'avènement de la relativité restreinte, dans le cadre de la théorie de l'éther^[25]. Le physicien britannique Oliver Lodge (1851-1940) est le premier à le prévoir, dès 1893^[26]^,^[27]^,^[28] pour un interféromètre entraîné par la rotation de la Terre^[25] puis en 1897^[26]^,^[29] pour un interféromètre monté sur un plateau tournant^[25]. Par la suite, le physicien américain Albert A. Michelson (1852-1931) en 1904^[25] puis le physicien français Georges Sagnac (1869-1928) en 1911 prévoient tous deux l'effet, toujours dans le cadre de la théorie de l'éther^[25].

Prédécouverte

L'effet Sagnac est parfois dit « effet Harress-Sagnac »^[30] car il s'est avéré avoir été observé pour la première fois en 1909-1911^[31] par Franz Harress dans une expérience de Fizeau. Harress n'a pas su expliquer les causes du déplacement des franges d'interférence qu'il observait^[32]. En 1914, l'astronome allemand Paul Harzer (1857-1932) rediscute les résultats de l'expérience de Harress et montre qu'elle met en évidence l'effet Sagnac, avec une plus grande précision que celle obtenue par Sagnac^[32].

Réinterprétation relativiste

Dès 1911, le physicien allemand Max von Laue (1879-1960) relève que la relativité restreinte prédit elle aussi l'effet^[32]^,^[33]. Par la suite, von Laue lui-même en 1920^[32]^,^[34] — au premier ordre en $v / c$ ^[32] — puis le physicien français Paul Langevin (1872-1946) en 1921^[32]^,^[35] et en 1937^[32]^,^[36] reprennent la démonstration de l'effet en relativité restreinte.

L'effet Sagnac est généralement considéré comme un effet de la relativité restreinte^[37]^,^[38]^,^[7]^,^[39]^,^[40]. En effet, d'une part, l'effet Sagnac est un effet « purement relativiste »^[41]^,^[42] ; et, d'autre part, l'effet est « purement cinématique »^[43] : il n'est pas lié à la gravitation^[42]^,^[44] ; ainsi, la relativité restreinte suffit pour prédire exactement l'effet^[43] : il n'est pas nécessaire de se placer dans le cadre de la relativité générale^[43].

Applications

Le gyromètre à fibre optique est une application directe de l'effet Sagnac.

Notes et références

↑ Les systèmes des savants sur Google Livres
↑ Spagnou 2012, Annexe A, p. 118.
1 2 Spagnou 2012, Annexe A, p. 119.
↑ Spagnou 2012, Annexe A, p. 120.
1 2 Spagnou 2012, Annexe A, p. 121.
↑ Spagnou 2012, Annexe A, p. 122.
1 2 3 4 Malykin et Pozdnyakova 2013, chap. 2, sec. 2.1, p. 8.
1 2 3 4 Rizzi et Ruggiero 2003, sect. 2, § 2.3, p. 184.
1 2 3 Gautier et al. 2022, introduction, p. 1, col. 1.
↑ Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 9, p. 5, col. 2.
↑ Werner et al. 1979.
↑ Atwood et al. 1984.
↑ Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 10, p. 5, col. 2.
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↑ Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 11, p. 5, col. 2.
↑ Hasselbach et Nicklaus 1993.
↑ Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 12, p. 5, col. 2.
↑ Schwab et al. 1997.
↑ Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 13, p. 5, col. 2.
↑ Simmonds et al. 2001.
↑ Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 14, p. 5, col. 2.
↑ Wright et al. 2013.
1 2 3 4 Gourgoulhon 2010, chap. 13, sect. 13.5, § 13.5.6, p. 468.
↑ Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, I^re part., chap. 3, sec. 3.2, p. 202.
1 2 3 4 5 Gourgoulhon 2010, chap. 13, sect. 13.5, § 13.5.4, p. 465.
1 2 Malykin et Pozdnyakova 2013, chap. 2, sec. 2.2, § 2.2.1, p. 17.
↑ Malykin et Pozdnyakova 2013, bibliographie, n^o 466, p. 274.
↑ Lodge 1893.
↑ Malykin et Pozdnyakova 2013, bibliographie, n^o 465, p. 274.
↑ Darrigol 2014, sec. 7, § 7.9, p. 824.
↑ Darrigol 2014, sec. 7, § 7.7, p. 823.
1 2 3 4 5 6 7 Gourgoulhon 2010, chap. 13, sect. 13.5, § 13.5.4, p. 466.
↑ Laue 1911.
↑ Laue 1920.
↑ Langevin 1921.
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↑ Bhadra, Ghose et Raychaudhuri 2022, sec. 1, p. 1, col. 2.
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↑ Tartaglia et Ruggiero 2015, résumé, p. 427.
↑ Gourgoulhon 2024, préf., p. 5.
1 2 Spagnou 2024, chap. 4, sec. 4.1, p. 88.
1 2 3 Spagnou 2024, chap. 4, sec. 4.2, p. 89.
↑ Spagnou 2024, chap. 4, sec. 4.1, p. 89.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Effet Sagnac et gyrolaser
(en) Guido Rizzi et Matteo Luca Ruggiero, The relativistic Sagnac effect : two derivations,
(en) J. F. Pascual-Sanchez, A. San Miguel et F. Vicente, Isotropy of the velocity of light and the Sagnac effect
Références aux données expérimentales sur la relativité

Bibliographie

Ouvrages généraux

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Edgard Elbaz, Relativité Générale et Gravitation, Editions Ellipses-Marketing, 1986, (ISBN 2729886516) (épuisé)
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Autres sources

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Manuels d'enseignement supérieur

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Publications historiques

Oliver Lodge

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Georges Sagnac

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[Sagnac 1913b] Georges Sagnac, « Sur la preuve de la réalité de l'éther lumineux par l'expérience de l'interférographe tournant », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, t. 157,‎ 1913, p. 1410-1413 (lire sur Wikisource, lire en ligne).

Max von Laue

[Laue 1911] (de) Max von Laue, « Über einen Versuch zur Optik der bewegten Körper », Sitzungsberichte der mathematisch-physikalischen Klasse der k. b. Akademie der Wissenschaften zu München, vol. 41, n^o 2,‎ mai-juillet 1911, p. 405-411 (OCLC 162757538, BNF 32353321, lire en ligne [PDF]). — daté de juin 1911 et présenté par Arnold Sommerfeld à la séance du 1^er juillet 1911.
[Laue 1920] (de) Max von Laue, « Zum Versuch von F. Harreß », Annalen der Physik, vol. 367 (4^e série, vol. 62), n^o 13,‎ 1920, p. 448-463 (OCLC 4650571000, DOI 10.1002/andp.19203671303, Bibcode 1920AnP...367..448L, S2CID 122664898, lire en ligne [PDF]). — daté de décembre 1919 et reçu le 21 janvier 1920.

Paul Langevin

[Langevin 1921] Paul Langevin, « Sur la théorie de la relativité et l'expérience de M. Sagnac », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, t. 173, n^o 19,‎ 1921, p. 831-834 (lire en ligne [PDF]). — présenté à la séance du 7 novembre 1921.
[Langevin 1937] Paul Langevin, « Sur l'expérience de Sagnac », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, t. 205, n^o 5,‎ 1937, p. 304-306 (lire en ligne [PDF]). — présenté à la séance du 2 août 1937.

Expériences

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[Hasselbach et Nicklaus 1993] (en) Franz Hasselbach et Marc Nicklaus, « Sagnac experiment with electrons : observation of the rotational phase shift of electron waves in vacuum », Phys. Rev. A, vol. 48, n^o 1,‎ juillet 1993, p. 143 (DOI 10.1103/PhysRevA.48.143, résumé).
[Riehle et al. 1991] (en) F. Riehle, Th. Kisters, A. Witte, J. Helmcke et Ch. J. Bordé, « Optical Ramsey spectroscopy in a rotating frame : Sagnac effect in a matter-wave interferometer », Phys. Rev. Lett., vol. 67, n^o 2,‎ 8 juillet 1991, p. 177 (DOI 10.1103/PhysRevLett.67.177, résumé).
[Schwab et al. 1997] (en) Keith Schwab, Niels Bruckner et Richard E. Packard, « Detection of the Earth's rotation using superfluid phase coherence », Nature, vol. 386,‎ 10 avril 1997, p. 585-587 (DOI 10.1038/386585a0, résumé).
[Simmonds et al. 2001] (en) R. W. Simmonds, A. Marchenkov, E. Hoskinson, J. C. Davis et R. E. Packard, « Quantum interference of superfluid ³He », Nature, vol. 412,‎ 5 juillet 2001, p. 55-58 (DOI 10.1038/35083518, résumé).
[Werner et al. 1979] (en) S. A. Werner, J.-L. Staudenmann et R. Colella, « Effect of Earth's rotation on the quantum mechanical phase of the neutron », Phys. Rev. Lett., vol. 42, n^o 17,‎ 23 avril 1979, p. 1103 (DOI 10.1103/PhysRevLett.42.1103, résumé).
[Wright et al. 2013] (en) K. C. Wright, R. B. Blakestad, C. J. Lobb, W. D. Phillips et G. K. Campbell, « Driving phase slips in a superfluid atom circuit with a rotating weak link », Phys. Rev. Lett., vol. 110, n^o 2,‎ 11 janvier 2013, article n^o 025302 (DOI 10.1103/PhysRevLett.110.025302, résumé).

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[Spagnou2012Spagnou_2012118Annexe_A-2] Spagnou 2012, Annexe A, p. 118.

[Spagnou2012Spagnou_2012119Annexe_A-3] 1 2 Spagnou 2012, Annexe A, p. 119.

[Spagnou2012Spagnou_2012120Annexe_A-4] Spagnou 2012, Annexe A, p. 120.

[Spagnou2012Spagnou_2012121Annexe_A-5] 1 2 Spagnou 2012, Annexe A, p. 121.

[Spagnou2012Spagnou_2012122Annexe_A-6] Spagnou 2012, Annexe A, p. 122.

[MalykinPozdnyakova20138<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.1-7] 1 2 3 4 Malykin et Pozdnyakova 2013, chap. 2, sec. 2.1, p. 8.

[RizziRuggiero2003184<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.3</span>-8] 1 2 3 4 Rizzi et Ruggiero 2003, sect. 2, § 2.3, p. 184.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20221,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>introduction-9] 1 2 3 Gautier et al. 2022, introduction, p. 1, col. 1.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20225,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>références_et_notes,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;9-10] Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 9, p. 5, col. 2.

[Werner_1979Werner_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_1979-11] Werner et al. 1979.

[Atwood_1984Atwood_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_1984-12] Atwood et al. 1984.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20225,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>références_et_notes,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;10-13] Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 10, p. 5, col. 2.

[Riehle_1991Riehle_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_1991-14] Riehle et al. 1991.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20225,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>références_et_notes,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;11-15] Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 11, p. 5, col. 2.

[HasselbachNicklaus1993-16] Hasselbach et Nicklaus 1993.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20225,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>références_et_notes,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;12-17] Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 12, p. 5, col. 2.

[Schwab_1997Schwab_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_1997-18] Schwab et al. 1997.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20225,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>références_et_notes,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;13-19] Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 13, p. 5, col. 2.

[Simmonds_2001Simmonds_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_2001-20] Simmonds et al. 2001.

[Gautier_2022Gautier_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_20225,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>références_et_notes,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;14-21] Gautier et al. 2022, références et notes, n^o 14, p. 5, col. 2.

[Wright_2013Wright_''<abbr_class="abbr_"_title="et_alii_(«_et_d'autres_»)"_lang="la">et_al.</abbr>''_2013-22] Wright et al. 2013.

[Gourgoulhon2010468<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;13</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s"_>sect.</abbr>_13.5</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;13.5.6</span>-23] 1 2 3 4 Gourgoulhon 2010, chap. 13, sect. 13.5, § 13.5.6, p. 468.

[DeruelleUzan2018202<abbr_class="abbr_"_title="livre"_>liv.</abbr>&nbsp;2,_<abbr_class="abbr"_title="première">I<sup>re</sup></abbr>&nbsp;part.,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;3</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3.2-24] Deruelle et Uzan 2018, liv. 2, I^re part., chap. 3, sec. 3.2, p. 202.

[Gourgoulhon2010465<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;13</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_13.5</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;13.5.4</span>-25] 1 2 3 4 5 Gourgoulhon 2010, chap. 13, sect. 13.5, § 13.5.4, p. 465.

[MalykinPozdnyakova201317<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;2.2,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.2.1</span>-26] 1 2 Malykin et Pozdnyakova 2013, chap. 2, sec. 2.2, § 2.2.1, p. 17.

[MalykinPozdnyakova2013274bibliographie,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;466-27] Malykin et Pozdnyakova 2013, bibliographie, n^o 466, p. 274.

[Lodge1893-28] Lodge 1893.

[MalykinPozdnyakova2013274bibliographie,_<abbr_class="abbr"_title="numéro">n<sup>o</sup></abbr>&nbsp;465-29] Malykin et Pozdnyakova 2013, bibliographie, n^o 465, p. 274.

[Darrigol2014824<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.9</span>-30] Darrigol 2014, sec. 7, § 7.9, p. 824.

[Darrigol2014823<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;7,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;7.7</span>-31] Darrigol 2014, sec. 7, § 7.7, p. 823.

[Gourgoulhon2010466<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;13</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_13.5</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;13.5.4</span>-32] 1 2 3 4 5 6 7 Gourgoulhon 2010, chap. 13, sect. 13.5, § 13.5.4, p. 466.

[Laue1911-33] Laue 1911.

[Laue1920-34] Laue 1920.

[Langevin1921-35] Langevin 1921.

[Langevin1937-36] Langevin 1937.

[BhadraGhoseRaychaudhuri20221,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1-37] Bhadra, Ghose et Raychaudhuri 2022, sec. 1, p. 1, col. 2.

[Malykin20001229,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span><abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;1-38] Malykin 2000, sec. 1, p. 1229, col. 2.

[Pascoli2017567<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;3-39] Pascoli 2017, sec. 3, p. 567.

[TartagliaRuggiero2015427résumé-40] Tartaglia et Ruggiero 2015, résumé, p. 427.

[Spagnou2024Gourgoulhon_20245<abbr_class="abbr_"_title="préface"_>préf.</abbr>-41] Gourgoulhon 2024, préf., p. 5.

[Spagnou202488<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.1-42] 1 2 Spagnou 2024, chap. 4, sec. 4.1, p. 88.

[Spagnou202489<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.2-43] 1 2 3 Spagnou 2024, chap. 4, sec. 4.2, p. 89.

[Spagnou202489<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;4</span>,_<abbr_class="abbr_"_title="section"_>sec.</abbr>&nbsp;4.1-44] Spagnou 2024, chap. 4, sec. 4.1, p. 89.

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