Tangente (trigonométrie)
La tangente est une fonction trigonométrique fondamentale. Elle est notée et était auparavant notée .
Notation | |
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Réciproque | |
Dérivée | |
Primitives |
Ensemble de définition | |
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Ensemble image | |
Parité |
impaire |
Périodicité |
Valeur en zéro |
0 |
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Asymptotes |
avec |
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Zéros |
avec |
Points d'inflexion |
avec |
Définitions
modifierPar rapport au triangle rectangle
modifierDans un triangle rectangle en , la tangente de l'angle est le rapport entre le côté opposé à et le côté adjacent à :
- .
Pour se le rappeler, on utilise fréquemment le sigle mnémotechnique « TOA » :
- .
Par rapport au cercle trigonométrique
modifierLa tangente d'un angle est la longueur du segment de la tangente au cercle trigonométrique qui intercepte l'axe des abscisses.
Par rapport aux autres fonctions trigonométriques : la fonction tangente est le rapport entre la fonction sinus et la fonction cosinus :
- .
On remarque que cette fonction n'est pas définie pour des valeurs où le cosinus de l’angle s'annule, correspondant aux cas limites où la tangente est parallèle à la droite interceptrice.
Applications
modifierDans un triangle rectangle, la fonction tangente permet de déterminer la longueur d'un côté de l'angle droit connaissant un angle et la longueur d'un des autres côtés. Ceci est utilisé pour la mesure optique de longueurs. Par exemple, avec un télémètre à parallaxe, la distance d'un objet observé est déterminée à partir de la distance séparant entre deux lunettes d'observation et de l'angle d'observation, déterminé en faisant coïncider les images des deux lunettes en faisant pivoter un miroir :
La tangente est également une manière d'exprimer la mesure d'un angle : lorsque l'on exprime une pente en pourcents (%), cela correspond à la tangente de l'angle de plus grande pente par rapport à l'horizontale, multipliée par cent.
Fonction tangente
modifierPropriétés
modifierLa fonction tangente est une fonction réelle qui est :
- périodique, de période : pour tout entier relatif ;
- impaire : ;
- elle s'annule en 0 et donc, du fait de sa périodicité, pour tous les multiples entiers de : pour tout entier relatif ;
- elle présente des asymptotes verticales aux valeurs pour tout entier relatif :
- ;
- sa dérivée est la fonction sécante :
- si un angle est exprimé en radians, alors pour les faibles valeurs de , on a :
- (voir la section Développement limité ci-dessous).
En appliquant la formule d'Euler, on a :
La fonction réciproque est la fonction arc tangente, notée ; certaines calculatrices la notent .
L'inverse de la fonction tangente est la fonction cotangente, notée (parfois ou ) :
Développement limité
modifierLe développement limité de la fonction tangente en zéro est :
- ,
où les sont les nombres de Bernoulli.
Le calcul des coefficients du développement limité peut également s'obtenir par la transformation du boustrophédon.
Calcul numérique
modifierLe calcul de la tangente se fait par série, mais plutôt que d'utiliser le développement limité par série de Taylor, qui utilise de nombreuses multiplications, on préfère l'algorithme CORDIC.
Tangente avec un argument complexe
modifierLes racines de l'équation sont les nombres (). On pose
- pour tout complexe .
Cette fonction prolonge aux valeurs non réelles de la fonction tangente pour réel. Elle est analytique sur l'ouvert où elle est définie[1].
Utilisant la technique de développement en éléments simples d'une fonction méromorphe, on peut trouver la série infinie :
- .
Références
modifier- Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], Hermann, 1980, p. ?[réf. incomplète].
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifier- Cotangente
- Identité trigonométrique pythagoricienne
- Tangente hyperbolique
- Substitution de Weierstrass (fonctions sinus et cosinus comme fonctions rationnelles de la tangente du demi-angle)
- La tangente de tout rationnel non nul est irrationnelle.
Liens externes
modifier
- Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :