Fuseau sphérique

En géométrie, un fuseau sphérique ou digone sphérique est une portion de sphère délimitée par deux demi-grands cercles de mêmes extrémités. Plus précisément ces deux demi-grands cercles découpent deux fuseaux sphériques, l'un, plus petit qu'un hémisphère est appelé le fuseau mineur, tandis que l'autre est qualifié de fuseau majeur.

Fuseau sphérique d'angle α.

Par exemple, les fuseaux horaires sont issus (avec ajustement géopolitique) du découpage de la sphère terrestre en 24 fuseaux d'angle de 2π/24 radians soit 15°. En première approximation, la portion de surface de la Lune, éclairée par le Soleil et visible depuis la Terre est un fuseau sphérique et cela explique le nom anglais de cet objet spherical lune.

Un fuseau sphérique est la portion de sphère interceptée par un dièdre dont l'arête passe par le centre du cercle.

Ce même dièdre découpe dans la boule un solide géométrique qui porte le nom d'onglet sphérique.

Lorsque l'angle dièdre est plat, le fuseau sphérique coïncide avec un hémisphère.

Propriétés géométriques

Les dimensions d'un fuseau sphérique sont entièrement déterminées par la donnée du rayon r de la sphère et de l'angle dièdre α, exprimé en radians, qui l'intercepte.

Il possède deux plans de symétrie: le plan médiateur de l'arête du dièdre (dans les cas des fuseaux terrestres c'est le plan équatorial) et le plan bissecteur de l'angle dièdre. Il a donc un axe de symétrie qui est l'intersection de ces deux plans. L'axe antipodal est l'axe joignant les extrémités des deux demi-grands cercles.

• Surface : $S=2\alpha r^{2}$
• Centre de gravité. Il est situé sur l'axe de symétrie du fuseau. Sa distance au centre est donnée par
  • pour un fuseau sphérique d'épaisseur infiniment petite $d={\frac {\pi r}{4}}$
  • pour un fuseau d'angle diédral α, il faut trouver le centre de gravité de l'arc de cercle sur lequel se trouvent tous les centres de gravité des fuseaux d'épaisseur infiniment petite $d={\frac {\pi r}{4}}{\frac {\sin(\alpha /2)}{\alpha /2}}={\frac {\pi \sin(\alpha /2)r}{2\alpha }}$

Pavage et développement de la sphère

Pavage

Tout fuseau d'angle 2π/n permet de générer un pavage régulier de la sphère, pavage que les anglophones appellent hosohedron du grec «hosos» (aussi grand que, aussi nombreux que) et «hedra» (base, face), en relation au fait que ce pavage comporte autant de faces que l'on souhaite.

Hosoèdres réguliers

Schläfli	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	{2,7}	{2,8}...
Coxeter
Faces et arêtes	1	2	3	4	5	6	7	8
Sommets	2

Développement

Développement en ballon de plage de la sphère

Une sphère n'étant pas développable, un fuseau, qui est un élément de pavage de la sphère, ne l'est pas non plus. Cependant, un développement approximatif d'un fuseau assez étroit permet de proposer une bonne approximation d'un développement de la sphère. C'est ce principe qui est utilisé tant dans le simple ballon de plage qu'en aérostation dans la construction des aérostats sphériques. Concernant la représentation plane de chaque fuseau, on propose tantôt d'utiliser des arcs de cercle, tantôt des arcs de sinusoïdes

Représentation de la sphère terrestre suivant la transverse universelle de Mercator

C'est ce même principe de développement qui est utilisé en cartographie dans le développement de la sphère terrestre selon la transverse universelle de Mercator dans laquelle la sphère est découpée en 60 fuseaux, chacun de ces fuseaux étant représenté ensuite suivant une projection de Mercator transverse centrée sur le méridien médian de chaque fuseau.

Voir aussi

Articles connexes

• Sphère
• Digone
• Onglet sphérique

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Spherical lune », sur MathWorld