Jauge de Lorenz

La jauge de Lorenz est une condition que l'on peut introduire en électromagnétisme, qui porte sur les potentiels électromagnétiques. Elle tient son nom du physicien danois Ludvig Lorenz (et est souvent attribuée au physicien Hendrik Lorentz, probablement en raison de son invariance sous les transformations de Lorentz). L'introduction de cette condition impose une relation entre le potentiel scalaire V et le potentiel vecteur A associés aux champs électrique et magnétique ; les composantes du potentiel vecteur et le potentiel scalaire forment alors le quadrivecteur potentiel. Cette jauge particulière s'est avérée pratique dans l'étude des phénomènes de propagation, et a permis une description totalement relativiste de l'électrodynamique.

Dans la jauge de Lorenz, les solutions des équations de Maxwell sont données par les potentiels retardés.

Forme générale

La relation définissant ce choix de jauge est la suivante :

$\operatorname {div} ({\vec {A}})+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$

Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell, on montre que la propagation des champs ${\textstyle {\vec {E}}}$ et ${\textstyle {\vec {B}}}$ dans le vide vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell). Or, ce choix de jauge spécifique permet de faire en sorte que les potentiels électromagnétiques V et A vérifient eux aussi des équations de propagation, et se propagent ainsi (comme les champs) à la vitesse de la lumière.

Propagation du potentiel scalaire

L'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}))$

d'où ${\textstyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}})={\vec {0}}}$ ; donc, d'après le théorème de Helmholtz, ${\textstyle {\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$ est un gradient, ce qui implique :

${\vec {E}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(V)-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

L'équation de Maxwell-Gauss dans le vide (avec une densité de charge $\rho$ nulle) devient alors :

$\operatorname {div} (-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(V)-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}})=0$

donc ${\textstyle -{\frac {\partial }{\partial t}}(\operatorname {div} ({\vec {A}}))-\operatorname {div} ({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(V))=0.}$

Il faut donc poser ${\textstyle \operatorname {div} ({\vec {A}})=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}}$ (c'est la jauge de Lorenz) pour avoir :

$\Box V={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}V=0$

Propagation du potentiel vecteur

De plus, on constate que cette jauge permet aussi au potentiel vecteur $\scriptstyle {\vec {A}}$ de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}))={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(\operatorname {div} ({\vec {A}}))-\nabla ^{2}{\vec {A}}$

or ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}})={\vec {B}}$ alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (vecteur densité de courant ${\vec {j}}$ nul) :

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(\operatorname {div} ({\vec {A}}))-\nabla ^{2}{\vec {A}}$

or on a toujours : ${\vec {E}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(V)-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$ donc

$\nabla ^{2}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(\operatorname {div} ({\vec {A}})+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}})$

Par conséquent avec la jauge de Lorenz, $\operatorname {div} ({\vec {A}})+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$, ${\vec {A}}$ vérifie l'équation de d'Alembert :

$\Box {\vec {A}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\vec {A}}={\vec {0}}$

Conclusion

La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (scalaire et vecteur) pour qu'ils se propagent de la même manière que les champs ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$. Dans le cas général, où les distributions de charge et de courant ne sont plus nécessairement identiquement nulles, les potentiels scalaire et vecteur vérifient l'équation de d'Alembert inhomogène :

$\Box V={\dfrac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}V={\dfrac {1}{\epsilon _{0}}}\rho ,\,\,\,\,\Box {\vec {A}}={\dfrac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {J}}$

Ces équations évoquent explicitement que sous la jauge de Lorenz, les potentiels électromagnétiques sont intimement liés par l'intermédiaire du formalisme de la relativité restreinte. En effet, ils sont traités, par rapport au temps et à l'espace, exactement comme sous la métrique de Minkowski (le d'alembertien $\Box$ est le produit scalaire minkowskien du quadrivecteur gradient avec lui-même).

Les solutions explicites des potentiels scalaires et vecteurs sont les suivantes (elles vérifient les équations de d'Alembert inhomogènes et l'équation de condition de la jauge de Lorenz et sont donc uniques par le théorème d'unicité^[Lequel ?]) :

$V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {[\rho ]}{r}}\right)\,dV'$

$\mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\left[\mathbf {J} \right]}{r}}\right)\,dV'$

avec : $[\rho ]=\rho \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$ et $[\mathbf {J} ]=\mathbf {J} \!\left(t-\displaystyle {\frac {r}{c}}\right)$

Ces potentiels dépendent explicitement du temps. Dans leurs évaluation, il faut intégrer sur chaque point ${\vec {r}}'$ de l'espace à un temps retardé $t'$, par rapport au temps ${\ce {t}}$ auquel les potentiels sont évalués, de la durée qu'un signal lumineux prend pour parcourir la distance entre le point ${\vec {r}}'$ et le point ${\vec {r}}$ auquel est évalué les potentiels. Pour cette raison, les potentiels électromagnétiques, formulés dans la jauge de Lorenz, sont appelés potentiels retardés. Ils ne sont guère surprenants considérant la théorie de la relativité restreinte, qui affirme qu'aucune information ne peut se propager plus rapidement que la lumière dans le vide, est bâtie à partir de l'électromagnétisme.

La jauge de Coulomb

Un autre choix de jauge apparaît possible ; il s'agit de la jauge de Coulomb :

$\operatorname {div} ({\vec {A}})=0$,

qui mène directement à l'équation de Poisson électrostatique, $\nabla ^{2}V=-{\dfrac {1}{\epsilon _{0}}}\rho$. Cette jauge est très utilisée en régime stationnaire (électrostatique et magnétostatique) ainsi qu'en régime quasi-stationnaire.

Les solutions générales des équations de Maxwell dans la jauge de Coulomb sont :

$V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,\displaystyle \iiint \left({\frac {\rho }{r}}\right)\,dV$

${\vec {A}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\iiint \left({\frac {[{\vec {J}}]}{r}}-{\frac {c[\rho ]{\vec {n}}}{r}}+{\frac {c^{2}{\vec {n}}}{r^{2}}}\int _{t-r/c}^{t}\rho (\tau )\,d\tau \right)\,dV$

La spécificité de cette jauge est que le potentiel scalaire ne se propage pas (son action est instantanée), quand bien même les champs E et B vérifient, eux, des équations de propagation. Ceci rend l'expression de V particulièrement simple, mais l'expression de A très compliquée. C'est pourquoi la jauge de Lorenz apparaît plus naturelle pour traiter les problèmes de propagation.

Notes et références

Bibliographie

Les références portant sur les jauges de Lorenz et Coulomb sont légion. On peut par exemple consulter Lev Landau et Evgueni Lifchits : Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs Editions MIR, Moscou 1966

Certains aspects historiques sont rapportés par les articles ci-dessous, rendant a priori pertinente l'attribution de cette jauge à Ludwig Lorenz.

• L. Lorenz, "On the Identity of the Vibrations of Light with Electrical Currents" Philos. Mag. 34, 287-301, 1867.
• Bozhidar Z. Iliev, "The “Lorenz gauge” is named in honour of Ludwig Valentin Lorenz!", 2008, arxiv.org/abs/0803.0047v1
• Robert Nevels, and Chang-Seok Shin, "Lorenz, Lorentz, and the Gauge", IEEE Antennas and Propagatlon Magazine, Vol. 43, No, 3, June 2001.
• J. D. Jackson, and L. B. Okun, "Historical roots of gauge invariance", Rev. Mod. Phys. 73, 663, 2001.
• D. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics", Pearson, quatrième édition, 2012

Articles connexes

• Équations de Maxwell
• Potentiels retardés