Logique pertinente

La logique pertinente ou logique de la pertinence désigne une famille de systèmes logiques qui ont été développées pour modéliser le raisonnement tout en évitant les paradoxes de l'implication matérielle (en), des « fausses lois de la logique ». Ces logiques ont été développées par des figures telles que Richard Sylvan (en), Val Plumwood, Nuel Belnap (en), Alan Ross Anderson (en), Jon Michael Dunn (en), Robert Kenneth Meyer (en), Alasdair Urquhart (en), Kit Fine ou encore Anil Gupta (en).

Ce sont des logiques sociatives, c'est-à-dire que toute tautologie conditionnelle doit avoir du contenu en commun entre impliquant et impliqué. Dans le cas des logiques propositionnelles pertinentes, cette sociativité est formalisée par la propriété de partage des variables, à savoir que tout théorème conditionnel doit admettre au moins une variable propositionnelle commune à leur antécédent et leur conséquent. Dans les logiques pertinentes du premier ordre, cette sociativité est généralisé au partage de prédicats dits pertinents. Un dernier point de caractérisation des logiques pertinentes est leur invalidation de la règle γ d'Ackermann, même si elle est admissible dans la plupart des systèmes pertinents restreignant son application aux seules prémisses tautologiques, une forme de syllogisme disjonctif qui rendrait ${\overline {\vdash (\neg A\lor B)\to (A\to B)}}$ valide, qu'on peut traduire en langage naturel comme « Si ou ce n'est pas le cas que A, ou B, si A, alors B ».

Paradoxes de l'implication matérielle

Le terme d'implication matérielle réfère à l'équivalence, en logique de Frege-Russell, entre « Si A, alors B » $(A\to B)$ d'une part, « Ou ce n'est pas le cas que A, ou B » d'autre part $(\neg A\lor B)$. Il est toutefois à noter que les paradoxes qu'on y associe prennent leur origine dans des logiques plus faibles.

Déjà en logique minimale, duquel découle notamment la logique de Frege-Russell, est admise comme tautologie « Si B, si A, alors B » $(B\to (A\to B))$. On appelle ce théorème le paradoxe positif.

Démonstration

Il ne suffit en réalité que de trois règles : En écrivant $\vdash$ pour la relation de déduction logique, il suffit d'avoir la règle identité d'axiome ${\overline {A\vdash A}}$, la règle structurelle d'affaiblissement gauche ${\frac {\Gamma \vdash \Delta }{\Gamma ,A\vdash \Delta }}$, et la règle logique minimale $\to$ droite ${\frac {\Gamma ,A\vdash B,\Delta }{\Gamma \vdash A\to B,\Delta }}$. En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &B\vdash B&{\text{axiome}}\\2\quad &B,A\vdash B&{\text{affaiblissement gauche (1)}}\\3\quad &B\vdash A\to B&{\to }{\text{ droite (2)}}\\\blacksquare \quad &\vdash B\to (A\to B)&{\to }{\text{ droite (3)}}\\\end{aligned}}$

Au-delà de la logique minimale, nous pouvons obtenir la logique intuitionniste en rajoutant la règle de syllogisme disjonctif ${\overline {A\lor B,\neg A\vdash B}}$. Cela rajoute toutefois le paradoxe dit de la vérité creuse, posant en tautologie la formule suivante : « Si ce n'est pas le cas que A, si A, alors B » $(\neg A\to (A\to B))$.

Démonstration

En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &A\vdash A&{\text{axiome}}\\2\quad &A\vdash B,A&{\text{affaiblissement droite (1)}}\\3\quad &A\vdash A,B&{\text{échange droite (2)}}\\4\quad &A,\neg A\vdash B&\neg {\text{ gauche (3)}}\\5\quad &\neg A,A\vdash B&{\text{échange gauche (4)}}\\6\quad &\neg A\vdash A\to B&{\to }{\text{ droite (5)}}\\\blacksquare \quad &\vdash \neg A\to (A\to B)&{\to }{\text{ droite (6)}}\\\end{aligned}}$

$\neg A\to (A\to B)$ est en réalité la curryfication de $(\neg A\land A)\to B$, ce qui fait que la vérité creuse et le principe d'explosion sont minimalement équivalentes.

En validant à la fois le paradoxe positif et de la vérité creuse, la logique intuitionniste valide la tautologie $(\neg A\lor B)\to (A\to B)$ par simple $\lor$ gauche. Grâce à cela, la règle γ est validée en logique intuitionniste. Toutefois, l'implication intuitionniste n'est pas encore matérielle, car la réciproque $(A\to B)\to (\neg A\lor B)$ n'est pas une tautologie intuitionniste, comme nous pouvons le remarquer dans l'algèbre de Heyting $\left\langle \left\{0,{\frac {1}{2}},1\right\},\leq \right\rangle$ dans lequel $\left({\frac {1}{2}}\to {\frac {1}{2}}\right)\to \left(\neg {\frac {1}{2}}\lor {\frac {1}{2}}\right)<1$.

Un paradoxe plus spécifique à l'implication matérielle, notée ⊃, est la tautologie suivante : « Ou si A, alors B, ou si B, alors C » $((A\supset B)\lor (B\supset C))$. Une application directe permet de valider tautologiquement la disjonction entre toute formule conditionnelle avec sa réciproque, rendant tautologique « Ou si A, alors B, ou si B, alors A » $((A\supset B)\lor (B\supset A))$.

Démonstration

En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &\vdash B\lor \neg B&{\text{loi du tiers exclu}}\\2\quad &B\vdash A\supset B&{\text{paradoxe positif}}\\3\quad &B\vdash B\supset C,A\supset B&{\text{affaiblissement droite (2)}}\\4\quad &B\vdash A\supset B,B\supset C&{\text{échange droite (3)}}\\5\quad &\neg B\vdash B\supset C&{\text{vérité creuse}}\\6\quad &\neg B\vdash A\supset B,B\supset C&{\text{affaiblissement droite (5)}}\\7\quad &B\lor \neg B\vdash A\supset B,B\supset C&{\lor }{\text{ gauche (4, 6)}}\\8\quad &\vdash A\supset B,B\supset C&{\text{coupure (1, 7)}}\\\blacksquare \quad &\vdash (A\supset B)\lor (B\supset C)&{\lor }{\text{ droite (1, 7)}}\end{aligned}}$

Ces différents paradoxes ont ainsi motivé la formalisation de logiques permettant de les palier. En repérant que nombre de ces paradoxes à la fois permettent de démontrer une tautologie conditionnelle dont l'impliquant et l'impliqué ne partagent aucune formule atomique d'une part, se dérivent généralement de la validité de la règle γ d'Ackermann d'autre part, les logiques pertinentes ont été développées dans l'optique de les éviter. Le paradoxe positif, quant à lui, pousse ces logiques à affaiblir la preuve conditionnelle (en) de sorte à assurer que la conclusion se serve effectivement de l'hypothèse initiale, conduisant à une approche des hypothèses comme ressources que nous détaillerons.

Propriété de partage de variables

La propriété de partage de variables décrit qu'une formule conditionnelle $(\phi \to \psi )$ ne peut être un théorème que lorsque $\phi$ et $\psi$ partagent une variable propositionnelle commune. Par exemple, $(A\to (B\to B))$ ne peut être un théorème, car l'antécédent n'admet que A pour variable et le conséquent n'a que B, ce qui fait qu'elles n'ont aucune variable commune.

Propriété fonctionnelle caractéristique

Dans Rozek & Tedder (2026), on retrouve une propriété caractéristique de la propriété de partage de variables, dans le mesure de l'existence d'un modèle sémantique fonctionnel correct pour la logique considérée. On pose donc un tel modèle avec V l'ensemble des valeurs et V⁺ l'ensemble des valeurs désignées. Cette propriété caractéristique nécessite de trouver deux ensembles α et β qui vérifient les propriétés suivantes :

• α et β sont des parties non-vides de V.
• α et β sont des ensembles stables par toutes les opérations logiques.
• Pour toutes valeurs $v\in \alpha$ et $w\in \beta ,$ on a $(v\to w)\in V\setminus V^{+}$ (non-désignée).

Nous pouvons démontrer le sens principal, à savoir que si de tels ensembles α et β existent, alors le système logique modélisé a la propriété de partage des variables.

Démonstration

Supposons que α et β existent et vérifient les propriétés annoncées.

Pour toutes formules A et B qui ne partagent aucune variable propositionnelle, on peut assigner à toutes les variables de A une valeur dans α, tandis que toutes celles de B peuvent être assignées à une valeur dans β, puisque ces deux ensembles sont non-vides.

Par stabilité de α et β par toutes les opérations logiques ainsi que par la construction formelle des formules A et B, on a alors que A prend une valeur $v\in \alpha ,$ tandis que B prend une valeur $w\in \beta .$

Par fonctionnalité, $(A\to B)$ prend pour valeur $(v\to w)$ qui, par la dernière propriété pour α et β, fait qu'elle est non-désignée. De fait, $(A\to B)$ n'est pas un théorème du modèle sain, donc n'est pas non plus un théorème du système logique modélisé par sanité.

Puisque A et B désignent n'importe quelles formules sans variable propositionnelle commune, cela signifie que l'absence de partage de variable propositionnelle conduit entre A et B conduit à ce que $(A\to B)$ n'est pas un théorème du système logique. Par définition, le système logique a donc la propriété de partage de variables.∎

Dans le modèle de R décrit dans la section sur les monoïdes de De Morgan, nous pouvons prendre $\alpha =\{2\}$ et $\beta =\{2'\},$ qui permet de vérifier que R admet la propriété de partage de variables.

Propriétés fortes de partage des variables

Un exemple de propriété forte de partage de variables est le principe proscriptif de William T. Parry (en). Celle-ci demande pour que pour une formule conditionnelle puisse être un théorème, il faut que l'ensemble des variables propositionnelles présentes dans le conséquent soit inclu dans l'ensemble des variables propositionnelles présentes dans l'antécédent. Une règle commune qui est bloquée par cette propriété plus forte, notamment, est la règle d'addition, principalement sous forme de théorèmes, $A\to (A\lor B)$ et $B\to (A\lor B).$

À partir de la propriété caractéristique de Rozek & Tedder (2026), nous pouvons imposer ce renforcement en demandant que toute opération logique renvoient une valeur dans β dès qu'elles combinent des valeurs dans α avec des valeurs dans β. De la sorte, s'il y a davantage de variables dans le conséquent que dans l'antécédent, nous pouvons assigner toute variable de l'antécédent à une valeur dans α, tandis que toutes les autres variables seront assignées à une valeur dans β, de sorte que l'antécédent soit à valeur dans α et le conséquent soit à valeur dans β, rendant l'implication non-désignée. Un exemple de sémantique fonctionnelle avec ce principe proscriptif est donné par ces tables, avec $V=\{t1,t2,f1,f2\}$ et $V^{+}=\{t1,t2\}:$

$\neg$ t1 f1 t2 f2 f1 t1 f2 t2

$\to$ t1 t2 f1 f2 t1 t1 f2 f1 f2 t2 t2 t2 f2 f2 f1 t1 f2 t1 f2 f2 t2 t2 t2 t2

$\lor$ t1 t2 f1 f2 t1 t1 t2 t1 t2 t2 t2 t2 t2 t2 f1 t1 t2 f1 f2 f2 t2 t2 f2 f2

$\land$ t1 t2 f1 f2 t1 t1 t2 f1 f2 t2 t2 t2 f2 f2 f1 f1 f2 f1 f2 f2 f2 f2 f2 f2

Une autre propriété, souvent simplement appelée propriété forte de partage de variables, demande que si une formule conditionnelle est un théorème, alors l'antécédent et le conséquent partagent une variable propositionnelle avec la même polarité, positive ou négative.

Systèmes logiques pertinents

FDE

La logique FDE (First Degree Entailment) est la base commune aux systèmes logiques pertinents. Ce système est parfois caractérisé comme une logique fonctionnelle doté de trois opérations logiques, $\land ,\lor ,\neg$, et de quatre valeurs de vérité, à savoir « Vrai » (v), « Faux » (f), « Ni vrai ni faux » (n), « Et vrai et faux » (e), desquelles seules v et e sont désignées. Les tables de vérité sont définies de manière assez standard à partir d'une algèbre de Boole à quatre valeurs, où n et e remplissent les deux valeurs intermédiaires, comme le montre ce diagramme de Hasse :

		v
	⟋		⟍
e				n
	⟍		⟋
		f

Cela nous donne alors ces tables de vérité suivantes à l'instar de l'algèbre de Boole à quatre valeurs, où la conjonction est alors associée à l'infimum, la disjonction au supremum :

$\neg$ v f e e n n f v	$\land$ v e n f v v e n f e e e f f n n f n f f f f f f	$\lor$ v e n f v v v v v e v e v e n v v n n f v e n f

Si e n'était pas désignée, si e et n étaient négations l'une de l'autre, nous obtiendrions exactement la logique de Frege-Russell. En effet, le principe de bivalence ne s'applique pas à la logique de Frege-Russell, en cela qu'il admet des modèles algébriques et fonctionnels dont les cardinaux de l'ensemble de valeurs sous-jacent sont des puissances de deux (2, 4, 8, 16...), plus généralement le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble si l'on s'attaque à des modèles avec une infinité de valeurs.

FDE est une logique paracohérente, au sens qu'il ne valide pas le principe d'explosion, que $\neg A\land A\not \vDash _{\rm {FDE}}B$. Pour cela, il suffit d'expliciter un contre-exemple. Prenons A de valeur e, B de valeur f : La négation de A sera alors aussi de valeur e, ce qui donne à la prémisse une valeur e donc désignée, alors que la conclusion B ne l'est pas, ce qui n'est pas possible par propriété de la désignation. Cette paracohérence vient principalement de la valeur e qui apporte une valeur de surplus (glut en anglais), c'est-à-dire dont elle-même et sa négation sont toutes deux désignées, ainsi que de la présence d'au moins une valeur non désignée, en l'occurrence f et n. Richard Sylvan parle de logique parapertinente pour désigner une logique à la fois pertinente et paracohérente, comme c'est le cas pour FDE.

FDE est aussi une logique paracomplète, au sens qu'il ne valide pas le principe du tiers exclu, que $B\not \vDash _{\rm {FDE}}\neg A\lor A$. De la même manière, nous pouvons expliciter un contre-exemple. Prenons A de valeur n, B de valeur v : La négation de A sera alors aussi de valeur n, ce qui donne à la conclusion une valeur n donc non désignée, alors que la prémisse B l'est, ce qui n'est pas possible par propriété de la désignation. Cette paracomplétude vient principalement de la valeur n qui apporte une valeur trou (gap en anglais), c'est-à-dire dont ni elle-même ni sa négation n'est désignée, ainsi que la présence d'au moins une valeur désignée, en l'occurrence v et e.

Enfin, FDE n'admet aucune tautologie, ce qui en fait une logique sociative par absence de tautologie conditionnelle dont l'impliquant et l'impliqué ne partageraient aucune variable propositionnelle. En outre, ne validant pas la règle γ d'Ackermann, puisque ${\rm {\{\neg e\lor f,e\}}}\subseteq V_{\rm {FDE}}^{+}$ alors que ${\rm {f}}\not \in V_{\rm {FDE}}^{+}$, FDE devient de plus une logique pertinente.

Déduction naturelle

Dans les systèmes pertinents de déduction naturelle, où il n'y a qu'une seule alternative possible dite conclusion, on collecte les hypothèses de chaque séquent dans des n-uplets, de telle sorte que l'ordre importe entre les prémisses, et les conclusions deviennent des formules indicées par des ensembles d'entiers naturels, de sorte à ce qu'ils aient la forme $A',A'',\cdots ,A^{(k)}\vdash B:P$ où $P\subseteq \{1,\cdots ,k\}$. L'indice de cette conclusion sert à en expliciter le contexte, les hypothèses qu'il utilise ; Avec cette structure de séquent enrichi, on peut alors vérifier que chaque hypothèse est bien utilisée et formuler des règles qui les prennent en compte, traitant chaque hypothèse quelque peu comme une ressource, à l'instar de la logique linéaire, qu'il nous faut utiliser pour, par exemple, démontrer une implication. Afin d'alléger la notation, nous pourrons omettre l'indice s'il est l'ensemble vide, de sorte $\Gamma \vdash A:\varnothing$ puisse être écrit $\Gamma \vdash A$. Les règles que nous proposerons ici se baserons sur Brady (1984), par ailleurs mentionné dans Standefer (2024).

Pour raisonner avec ces séquents enrichis, il nous faut des règles structurelles plus spécifiques :

${\overline {\left\langle A',\cdots ,A^{(k)}\right\rangle \vdash A^{(k)}:{\{k\}}}}$ (hypothèse)	${\frac {\left\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)}\right\rangle \vdash B:P}{\left\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)},A^{(k+1)}\right\rangle \vdash B:P}}$ (réitération)

FDE peut être caractérisé par un certain nombre de règles à partir de cette formalisation pertinente de la déduction naturelle :

Règles	Introduction	Élimination
Conjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\land B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
		${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:P\quad \quad \langle A\rangle \vdash C:\{1\}\quad \quad \langle B\rangle \vdash C:\{1\}}{\Gamma \vdash C:P}}$
	${\frac {\Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$
Double négation	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash \neg \neg A:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg \neg A:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
Lois de De Morgan	${\frac {\Gamma \vdash \neg (A\land B):P}{\Gamma \vdash \neg A\lor \neg B:P}}$
	${\frac {\Gamma \vdash \neg (A\lor B):P}{\Gamma \vdash \neg A\land \neg B:P}}$

B

B (base) est une extension implicative et pertinente de FDE, dont les règles sont les suivantes :

Règles	Introduction	Élimination
Implication	${\frac {\left\langle \cdots ,A^{(k-1)},A^{(k)}\right\rangle \vdash B:P\cup \{k\}}{\left\langle \cdots ,A^{(k-1)}\right\rangle \vdash A^{(k)}\to B:P\setminus \{k\}}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\to B\quad \quad \Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
		${\frac {\Gamma \vdash A\to B:P\quad \quad \Gamma \vdash A:\{k\}}{\Gamma \vdash B:P\cup \{k\}}}$ où $k>\max(P)$ si $P\neq \varnothing$
Conjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\land B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
		${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:P\quad \Gamma \vdash A\to C\quad \Gamma \vdash B\to C}{\Gamma \vdash C:P}}$
	${\frac {\Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:\{k\}\quad \Gamma \vdash A\to C:P\quad \Gamma \vdash B\to C:P}{\Gamma \vdash C:P\cup \{k\}}}$ où $k>\max(P)$ si $P\neq \varnothing$
Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash A\land (B\lor C):P}{\Gamma \vdash (A\land B)\lor (A\land C):P}}$
Négation	NC	${\frac {\Gamma \vdash \neg B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to B}{\Gamma \vdash \neg A:P}}$
Double négation	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash \neg \neg A:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg \neg A:P}{\Gamma \vdash A:P}}$

De B découle les logiques pertinentes DJ, T (ticket entailment), TW (weakened T), E (relevant entailment) et R (relevant implication), avec le diagramme de Hasse suivant pour leurs inclusions respectives :

		R
		│
		E
		│
		T
	⟋		⟍
TW				DJ
	⟍		⟋
		B

R

La logique pertinente R (relevant implication) fait partie des logiques pertinentes les plus permissives. En effet, son fragment additif, qui restreint son langage aux seules opérations de conjonction, de disjonction et de négation, enlevant ainsi l'implication pertinente, n'est autre que la logique de Frege-Russell. De plus, l'admissibilité de la règle γ d'Ackermann est garantie, ce qui permet d'affirmer que si $A\supset B$, à savoir $\neg A\lor B$, et $A$ sont toutes deux des tautologies de R, alors $B$ est un tautologie de R, ce qui permet de performer un modus ponens avec l'implication matérielle sur les tautologies. Cela permet ainsi d'assurer qu'essentiellement, en remplaçant toute implication pertinente en implication matérielle, tous les théorèmes de la logiques de Frege-Russell peuvent être traduites naturellement en théorèmes de R, donc d'en assurer une expressivité qui égale au moins celle de la logique de Frege-Russell. Ses règles sont les suivantes :

Règles	Introduction	Élimination
Implication	${\frac {\left\langle \cdots ,A^{(k-1)},A^{(k)}\right\rangle \vdash B:P\cup \{k\}}{\left\langle \cdots ,A^{(k-1)}\right\rangle \vdash A^{(k)}\to B:P\setminus \{k\}}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\to B:P\quad \quad \Gamma \vdash A:Q}{\Gamma \vdash B:P\cup Q}}$
Conjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\land B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
		${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:P\quad \Gamma \vdash A\to C:Q\quad \Gamma \vdash B\to C:Q}{\Gamma \vdash C:P\cup Q}}$
	${\frac {\Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$
Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash A\land (B\lor C):P}{\Gamma \vdash (A\land B)\lor (A\land C):P}}$
Négation	${\frac {\Gamma \vdash A\to B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to \neg B:Q}{\Gamma \vdash \neg A:P\cup Q}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to B:Q}{\Gamma \vdash \neg A:P\cup Q}}$
Double négation	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash \neg \neg A:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg \neg A:P}{\Gamma \vdash A:P}}$

Puisqu'il est pertinent, la règle γ d'Ackermann n'est pas valide dans R. Toutefois, elle y est admissible : Si $\neg A\lor B$ et $A$ sont deux tautologies, alors $B$ en est une aussi.

À noter que deux nombreuses tautologies de la logique de Frege-Russell sont également validées dans R. La plus notable est bien sûr le principe du tiers exclu, ${\overline {\vdash _{\rm {R}}\neg A\lor A}}$. Sa démonstrabilité dans R rappelle que la loi du tiers exclu se distingue fondamentalement du principe de bivalence, qui est d'une part caractérisé par le fait d'être un système fonctionnel à deux valeurs, et d'autre part ne s'applique pas à R.

Démonstration

En utilisation la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &\langle \neg (\neg A\lor A),A\rangle \vdash A:\{2\}&{\text{hypothèse}}\\2\quad &\langle \neg (\neg A\lor A),A\rangle \vdash \neg A\lor A:\{2\}&\lor _{i}^{d}(1)\\3\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash A\to \neg A\lor A:\varnothing &{\to }_{i}(2)\\4\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash \neg (\neg A\lor A):\{1\}&{\text{hypothèse}}\\5\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash \neg A:\{1\}&\neg _{e}(4,3)\\6\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash \neg A\lor A:\{1\}&\lor _{i}^{g}(5)\\7\quad &\vdash \neg (\neg A\lor A)\to (\neg A\lor A)&{\to }_{i}(6)\\8\quad &\vdash \neg (\neg A\lor A)\to \neg (\neg A\lor A)&{\to }_{i}(4)\\9\quad &\vdash \neg \neg (\neg A\lor A)&\neg _{i}(7,8)\\\blacksquare \quad &\vdash \neg A\lor A&\neg \neg _{e}(9)\end{aligned}}$

Certains logiciens considèrent également RM (R mingle) comme une logique pertinente : Il s'agit d'une extension de R qui valide la réciproque de la contraction, ${\overline {\vdash _{\rm {RM}}(A\to B)\to (A\to (A\to B))}}$, que les logiciens anglophones appellent mingle. Cependant, son statut en tant que logique pertinente est controversé, car elle ne possède pas la propriété de partage des variables, puisque ${\overline {\vdash _{\rm {RM}}A\land \neg A\to B\lor \neg B}}$ ou encore ${\overline {\vdash _{\rm {RM}}\neg (A\to A)\to (B\to B)}}$.

Fusion et fission

Dans l'Idéographie de Gottlob Frege, tous les prédicats et opérations s'écrivent à partir de la négation, de l'implication, de la quantification universelle et de l'égalité. La conjonction $A\land B$ est alors caractérisée comme $\neg (A\to \neg B)$, la disjonction $A\lor B$ comme $\neg A\to B$. En logique pertinente, on distingue les opérations de conjonction et disjonction additives, caractérisées syntaxiquement par les systèmes de déduction naturelle précédemment vus, des opérations de conjonction et disjonction multiplicatives, caractérisées dans R comme $\neg (A\to \neg B)$ et $\neg A\to B$ respectivement. La conjonction multiplicative s'appelle fusion, la disjonction multiplicative s'appelle fission.

Une des propriétés majeures de la fusion est qu'elle suit la règle d'introduction de la conjonction, en permettant de combiner des formules dans des contextes différents :

${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:Q}{\Gamma \vdash A\circ B:P\cup Q}}$

Il n'est cependant pas possible d'éliminer la fusion à la manière de la conjonction en général. Son intérêt vient dans la reformulation pertinente de plusieurs théorèmes de la logique de Frege-Russell. À l'instar de la logique linéaire, la conjonction se casse donc en deux opérations distinctes : $\land$ pour la conjonction additive, de formules dérivables d'un même contexte, et $\circ$ (fusion) pour la conjonction multiplicative, de formules dérivables dans des contextes différents. Avec la caractérisation de $A\circ B$ comme $\neg (A\to \neg B)$ en logique R, nous pouvons assimiler cette opération de fusion à une opération de compatibilité ou de cohérence entre deux formules logiques, en reconnaissant ici l'identité chrysippéenne $A\to B=\neg (A\circ \neg B)$ qu'on retrouve aujourd'hui dans l'étude des logiques connexives.

En logique de Frege-Russell, la curryfication prend la forme $A\to (B\to C)\dashv \vdash (A\land B)\to C$. Certes, ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}}$.

Démonstration

En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &\langle A\to (B\to C)\rangle \vdash A\to (B\to C):\{1\}&{\text{hypothèse}}\\2\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash A\to (B\to C):\{1\}&{\text{réitération (1)}}\\3\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash A\land B:\{2\}&{\text{hypothèse}}\\4\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash A:\{2\}&\land _{e}^{g}(3)\\5\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash B\to C:\{1,2\}&{\to }_{e}(2,4)\\6\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash B:\{2\}&\land _{e}^{d}(3)\\7\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash C:\{1,2\}&{\to }_{e}(5,6)\\8\quad &\langle A\to (B\to C)\rangle \vdash (A\land B)\to C:\{1\}&{\to }_{i}(7)\\\blacksquare \quad &\vdash (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)&{\to }_{i}(8)\\\end{aligned}}$

Cependant, la réciproque n'est pas démontrable dans R, car elle permettrait de démontrer $A\to (B\to B)$, ce qui enfreind la propriété de partage de variables, à partir de la R-tautologie $(A\land B)\to B$. La curryfication dans R existe néanmoins, en utilisant l'opération de fusion au lieu de celle de conjonction : Sont valides ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(A\to (B\to C))\to ((A\circ B)\to C)}}$ d'une part, ${\overline {\vdash _{\rm {R}}((A\circ B)\to C)\to (A\to (B\to C))}}$ d'autre part.

Il est donc plus permissif de conjoindre les hypothèses d'une tautologie ou théorème en utilisant la fusion qu'en utilisant la conjonction. Par exemple, si on énonce un théorème de la limite monotone pour les suites comme « Si et $(u_{n})$ est croissante, et $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ est convergente » $((Cr\land M)\to Cv)$, cela nécessiterait de montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée à partir du même socle d'hypothèses, tandis que le formuler « Si $(u_{n})$ est croissante, si $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ est convergente » $((Cr\circ M)\to Cv)$, équivalément « Si $(u_{n})$ est croissante, si $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ est convergente » $(Cr\to (M\to Cv))$ par curryfication, permet de supposer séparément $(u_{n})$ croissante et $(u_{n})$ majorée pour pouvoir démontrer que $(u_{n})$ est convergente, par exemple pour démontrer que « Si $(u_{n})$ est croissante, si $(u_{n})$ diverge, alors $(u_{n})$ n'est pas majorée » $(Cr\to (\neg Cv\to \neg M))$ ou encore « Si $(u_{n})$ diverge, si $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ n'est pas croissante » $(\neg Cv\to (M\to \neg Cr))$.

Par ailleurs, pour caractériser l'équivalence logique, on caractérise habituellement $A\leftrightarrow B$ comme $(A\to B)\land (B\to A)$. Toutefois, dans R, la caractérisation $(A\to B)\circ (B\to A)$ est également possible.

La fission, quoique plus rare, est alors une disjonction multiplicative, similairement à ⅋ en logique linéaire, qu'on peut caractériser à partir des lois de De Morgan : $A\,{\text{⅋}}\,\,B:=\neg (\neg A\circ \neg B)=\neg \neg (\neg A\to \neg \neg B)$. On remarque l'équivalence entre $A\,{\text{⅋}}\,\,B$ et $\neg A\to B$ dans R, ce qui permet notamment à ⅋ de vérifier la règle γ, en cela que ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(\neg A\,{\text{⅋}}\,\,B)\to (A\to B)}}$. On peut la caractériser avec deux règles :

Syllogisme disjonctif	Dilemme constructif
${\frac {\Gamma \vdash A\,{\text{⅋}}\,\,B:P\quad \quad \Gamma \vdash \neg A:Q}{\gamma \vdash B:P\cup Q}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\,{\text{⅋}}\,\,B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to C:Q\quad \quad \Gamma \vdash B\to C:R}{\Gamma \vdash C:P\cup Q\cup R}}$

Ces opérations de fusion et de fission permettent ainsi d'établir des équivalences logiques similaires à l'implication matérielle, comme ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(A\to B)\leftrightarrow (\neg A\,{\text{⅋}}\,\,B)}}$ ou encore ${\overline {\vdash _{\rm {R}}\neg (A\to B)\leftrightarrow (A\circ \neg B)}}$, ce qui vient par ailleurs expliciter l'aspect multiplicatif de cette implication, à l'instar de $-\!\circ$ en logique linéaire.

Applications en mathématiques

En didactique des mathématiques

Les didacticiens des mathématiques, plus précisément de la logique mathématique, remarquent également une propriété en acte de causalité chez les élèves, réminescente de la logique pertinente. Ainsi, on retrouve dans Deloustal-Jorrand (2000-2001) la propriété en acte annotée (P2) : « Une implication est régie par un lien de cause à effet entre la prémisse et la conclusion ».

Quantificateurs

Les théorèmes mathématiques se formulent typiquement avec des quantificateurs, des propriétés et des variables. Or, les logiques pertinentes vues jusqu'ici relèvent du calcul des propositions. Pour passer au calcul des prédicats, Brady (1984) donne des règles qu'on peut appliquer à chaque logique pertinente X pour en rajoutant des quantificateurs, donnant une extension logique appelée XQ en conséquence. Ainsi, se construit le diagramme de Hasse suivant :

		RQ
		│
		EQ
		│
		TQ
	⟋		⟍
TWQ				DJQ
	⟍		⟋
		BQ

Les règles décrites sont essentiellement calquées sur les règles d'instanciation et de généralisation des quantificateurs présentes en logique de Frege-Russell, avec en plus de généralisations de la règle de distributivité, l'une où la disjonction est remplacée par un quantificateur existentiel (qui, par correspondance de Curry-Howard, revient à une disjonction arbitraire ou dépendante), l'autre où la conjonction est remplacée par un quantificateur universel (conjonction arbitraire ou dépendante) :

Règles
Quantificateur universel	Généralisation (Introduction)	${\frac {\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)}\rangle \vdash B[x_{0}]:P}{\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)}\rangle \vdash \forall xB[x]:P}}$ où $x_{0}$ n'admet aucune occurrence libre parmi $B[x]$ et les $A^{(p)},p\in P$, ni $x$ parmi $B[x_{0}]$ et les $A^{(p)},p\in P$.
	Instanciation (Élimination)	${\frac {\Gamma \vdash \forall xB[x]:P}{\Gamma \vdash B[x_{0}]:P}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans $B[x_{0}]$.
	Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash \forall x(A\lor B[x]):P}{\Gamma \vdash A\lor \forall xB[x]:P}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans A.
Quantificateur existentiel	Généralisation (Introduction)	${\frac {\Gamma \vdash A[x_{0}]:P}{\Gamma \vdash \exists xA[x]:P}}$
	Instanciation (Élimination)	${\frac {\Gamma \vdash \exists xA[x]:P\quad \quad \Delta \vdash \forall x(A[x]\to B):Q}{\Gamma \vdash B:P\cup Q}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans B, avec P et Q restreintes similairement à $\to _{e}$ et $\lor _{e}$ selon la logique considérée.
	Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash A\land \exists xB[x]:P}{\Gamma \vdash \exists x(A\land B[x]):P}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans A.

Pour le cas de RQ, aucune restriction n'est à noter pour la règle d'instanciation existentielle.

Rédaction dans RQ

Toute logique à déduction naturelle se traduit en pratiques rédactionnelles spécifiques pour la rédaction de démonstrations mathématiques. RQ, par sa permissivité, est utilisé comme un socle commun pour divers projets de mathématiques pertinentes, notamment les systèmes arithmétiques R^# et R^##.

Règle		Rédaction
Règles structurelles	Hypothèse	Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] Par hypothèse, $A^{(k)}$.$_{\{k\}}$ […]
	Répétition	[…] Donc A.P […] A.P […]
	Réitération	Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] B.P […] Supposons $A^{(k+1)}$ : […] B.P […]
Implication	Introduction	Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] Donc $B$.$_{P\cup \{k\}}$ Donc si $A^{(k)}$, alors $B$ par preuve conditionnelle (en).$_{P\setminus \{k\}}$
	Élimination	A ;P  Or si A, alors B ;Q  Donc B par détachement.P∪Q
Conjonction	Introduction	A ;P  B ;P  Donc et A, et B.P
	Élimination	Et A, et B ;P  Donc A par simplification (gauche).P
		Et A, et B ;P  Donc B par simplification (droite).P
Disjonction	Introduction	A ;P  Donc ou A, ou B par addition (gauche).P
		B ;P  Donc ou A, ou B par addition (droite).P
	Élimination	Ou A, ou B ;P  D'une part, si A, alors C ;Q  D'autre part, si B, alors C ;Q  Donc C par disjonction de cas.P∪Q
Distributivité		Et A, et ou B, ou C ;P  Donc ou et A, et B, ou et A, et C par distributivité.P
Négation	Introduction	Si A, alors B ;P  Or si A, alors ce n'est pas le cas B ;Q  Donc ce n'est pas le cas que A par l'absurde.P∪Q
	Élimination	Ce n'est pas le cas B ;P  Or si A, alors B ;Q  Donc ce n'est pas le cas que A par modus tollens.P∪Q
Double négation	Introduction	A ;P  Donc ce n'est pas le cas que ce n'est pas le cas que A.P
	Élimination	Ce n'est pas le cas que ce n'est pas le cas que A ;P  Donc A.P
Équivalence	Introduction	Si A, alors B ;P  Si B, alors A ;Q  Donc s'équivalent A d'une part, B d'autre part par double implication.P∪Q .
	Élimination	S'équivalent A d'une part, B d'autre part ;P  Or A ;Q  Donc B.P∪Q.
		S'équivalent A d'une part, B d'autre part ;P  Or B ;Q  Donc A.P∪Q.
Fusion	Introduction	A ;P  B ;Q  Donc sont vérifiées A d'une part, B d'autre part séparément.P∪Q
	Décurryfication	Si A, si B, alors C ;P  Donc si sont vérifiées A d'une part, B d'autre part séparément, alors C.P
Quantificateur universel	Généralisation (Introduction)	[…] Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] B[x0] ;P  Or x0 n'admet aucune occurrence libre parmi B[x] et les $A^{(p)},p\in P$, ni x parmi B[x0] et les $A^{(p)},p\in P$ ;  Donc pour tout x, B[x] par généralisation universelle (en).P
	Instanciation	Pour tout x, B[x] ;P  Or x n'admet aucune occurrence libre dans B[x0] ;  Donc B[x0] par instanciation universelle.P
	Distributivité	Pour tout x, ou A, ou B[x] ;P  Or x n'admet aucune occurrence libre dans A ;  Donc ou A, ou pour tout x, B[x].P
Quantificateur existentiel	Généralisation	A[x0] ;P  Donc il existe x tel que A[x] par généralisation existentielle.P
	Instanciation	Il existe x tel que A[x] ;P  Pour tout x, si A[x], alors B ;Q  Or x n'admet aucune occurrence libre dans B ;  Donc B par instanciation existentielle.P∪Q
	Distributivité	Et A, et il existe x tel que B[x] ;P  Or x n'admet aucune occurrence libre dans A ;  Donc il existe x tel que et A, et B[x].P

Il est à noter qu'en mathématiques, nous avons tendance à quantifier sur des ensembles décrits explicitement, que l'on écrit $\forall x\in E,A[x]$ et $\exists x\in E,A[x]$. Pour cela, nous pouvons définir $\forall x\in E,A[x]:=\forall x(x\in E\to A[x])$ d'une part, $\exists x\in E,A[x]:=\exists x(x\in E\circ A[x])$ d'autre part. Grâce à cela, nous pouvons démontrer que $\neg \forall x\in E,A[x]$ est équivalent à $\exists x\in E,\neg A[x]$, ainsi que $\neg \exists x\in E,A[x]$ est équivalent à $\forall x\in E,\neg A[x]$, par conversion des quantificateurs.

On peut ainsi formaliser certaines démonstrations mathématiques en utilisant explicitement le système RQ, comme dans toute logique du premier ordre, pertinente ou non, en partant par exemple de caractérisations communément admises. Parmi les démonstrations au programme en classe de 2^nde générale et technologie, nous avons par exemple à démontrer que ${\frac {1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal.

Démonstration

Montrons que ${\frac {1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal ; C'est-à-dire, ce n'est pas le cas qu'il existe $\langle a,k\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$ tel que ${\frac {1}{3}}={\frac {a}{10^{k}}}$. Pour cela, il suffira de montrer que pour tout $\langle a,k\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$, ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {a}{10^{k}}}$ par conversion des quantificateurs. Soit $\langle a_{0},k_{0}\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$. Supposons que ${\frac {1}{3}}={\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ :₍₁₎ ${\frac {1}{3}}={\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ ;_{1} Donc $1={\frac {3a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ ;_{1} Donc $10^{k_{0}}=3a_{0}$ ;_{1} Donc 3 divise $1+\underbrace {0+\cdots +0} _{k_{0}-1{\text{ zéros}}}$ par critère de divisibilité avec 3 ;_{1} Donc 3 divise 1._{1} Par preuve conditionnelle, si ${\frac {1}{3}}={\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$, alors 3 divise 1 ; Or 3 ne divise par 1 ; Donc ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ par modus tollens. ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ ; Or $a_{0}\in \mathbb {Z}$ et $k_{0}\in \mathbb {N} ^{*}$ sont arbitraires ; Donc pour tout $\langle a,k\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$, ${\frac {1}{3}}={\frac {a}{10^{k}}}$ par généralisation universelle. On en conclut que ${\frac {1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal, ce qu'il fallait démontrer.

Toutefois, faire des mathématiques pertinentes sans avoir un socle axiomatique spécifié nous empêche de déterminer certaines propriétés intéressantes, et notamment les conditions d'application de certains théorèmes logiques. C'est ainsi que certains projets d'arithmétique pertinente ont vu le jour.

R^# et R^##

Le système R^# est une extension de R à partir des axiomes de Peano. Ce qui est remarquable est la non-admissibilité de la règle γ dans ce système. Un système R^##, plus fort que R^#, permet de palier ce problème.

Sémantique et modèles

Modèles de Routley-Meyer

Routley et Meyer définissent une relation ternaire entre des configurations (« set-ups »), relation que nous noterons $a\triangleleft b\blacktriangleleft c$ pour des configurations $a,b,c$ concernées afin de rendre le tout plus lisible. Les configurations sont l'équivalent, dans cette sémantique, des mondes possibles de la sémantique de Kripke de laquelle s'inspire celle de Routley-Meyer.

On posera également $0$ la configuration initiale, de laquelle découle la relation binaire $a\blacktriangleleft b$ définie comme $0\triangleleft a\blacktriangleleft b$. Enfin, il est habituel de définir la configuration duale d'une configuration quelconque a comme une configuration a* telle que la configuration biduale (a*)* est égale à a.

Toute formule est alors interprétée en fonction de ces configurations, avec des fonctions d'interprétation $I(A,a)$ qui prennent A une formule et a une configuration, et renvoient soit vrai, soit faux. Si $a\blacktriangleleft b$, si $I(A,a)$ est vraie, alors $I(A,b)$ est vraie. D'ores et déjà, on peut établir les tables de vérité suivantes pour une configuration $a$ :

$I(\neg A,a)$	$I(A,a^{*})$
vraie	fausse
fausse	vraie

$I(A\land B,a)$	$I(B,a)$ vraie	$I(B,a)$ fausse
$I(A,a)$ vraie	vraie	fausse
$I(A,a)$ fausse	fausse	fausse

$I(A\lor B,a)$	$I(B,a)$ vraie	$I(B,a)$ fausse
$I(A,a)$ vraie	vraie	vraie
$I(A,a)$ fausse	vraie	fausse

Pour l'implication, la règle est la suivante : $I(A\to B,a)$ est vraie si et seulement si, pour tous contextes $b,c$, si $a\triangleleft b\blacktriangleleft c$, si $I(A,b)$ est vraie, alors $I(B,c)$ est vraie.

Comme pour les sémantiques de Kripke, les axiomes que l'on rajoute afin de restreindre cette relation ternaire permettent de faire des modèles de logiques plus fortes. À l'instar des sémantiques fonctionnelles usuelles, on écrira $\{A',A'',\cdots ,A^{(k)}\}\vDash B$ si et seulement si pour toute configuration a, pour toute fonction d'interprétation $I(\cdot ,\cdot )$, si $I(A',a)$, si $I(A'',a)$, …, si $I(A^{(k)},a)$, alors $I(B,a)$.

Il est à préciser que cette sémantique a été critiqué par certains auteurs.

Monoïdes de De Morgan

Les monoïdes de De Morgan permettent de donner une sémantique saine et complète pour R, permettant d'étudier ce système logique algébriquement à l'instar des algèbres de Boole pour la logique standard, plus généralement les algèbres de Heyting pour la logique intuitionniste. Ces structures algébriques partent d'un ensemble E qu'on munit de structures de treillis distributif $\langle E,\wedge ,\vee \rangle$, d'une structure de monoïde commutatif $\langle E,\circ ,e\rangle$, enfin d'une opération interne unaire $\neg$ involutive, qui vérifient les propriétés suivantes pour tous éléments $x,y,z\in E$ : Les propriétés de contraposition telles que si $x\leq y$, alors $\neg y\leq \neg x$ d'une part, si $x\circ y\leq z$, alors $x\circ \neg z\leq \neg y$ d'autre part ; La propriété de monoïde ordonné par treillis $x\circ (y\vee z)=(x\circ y)\vee (x\circ z)$ ; La relation de curryfication telle que s'équivalent $x\circ y\leq z$ d'une part, $x\leq y\to z$, où l'opération d'implication $y\to z$ est défini comme $\neg (y\circ \neg z)$ ; Enfin, que $x\leq x\circ x$.

On définit alors ce qu'est une interprétation v sur un monoïde de De Morgan $\langle E,\wedge ,\vee ,\circ ,e,\neg \rangle$ qui, à l'instar des sémantiques fonctionnelles, associe à chaque formule A du langage des formules logiques un élément v(A) de E, qui pour toutes formules $A,B$ préserve la négation $v(\neg A)=\neg v(A)$, la conjonction $v(A\land B)=v(A)\wedge v(B)$, la disjonction $v(A\lor B)=v(A)\vee v(B)$, la fusion $v(A\circ B)=v(A)\circ v(B)$, enfin l'implication $v(A\to B)=v(A)\to v(B):=\neg (v(A)\circ \neg v(B))$. Grâce à cela, s'équivalent que $\vdash _{\rm {R}}A$ d'une part, que $e\leq v(A)$ pour toute interprétation sur tout monoïde de De Morgan d'autre part. Cela apporte alors une sémantique complète et saine pour R.

Un exemple de monoïde de De Morgan est donné par $\langle \{0,1,2,3\},\min ,\max ,\circ ,1,\neg \rangle$ dont sont définies $\circ ,\neg$ ainsi :

$A$	0	1	2	3
$\neg A$	3	2	1	0

$\circ$	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	3	3
3	0	3	3	3

Il s'agit là plus spécifiquement d'un monoïde de Sugihara, donc d'un modèle de RM. Il vérifie le paradoxe $(A\to B)\lor (B\to A)$. Pour avoir un monoïde de De Morgan moins remarquable, nous pouvons utiliser $\langle \{0,1,2,2',3,4\},\wedge ,\vee ,\circ ,1,\neg \rangle$ caractérisé ainsi :

4 │ 3 ⟋ ⟍ 2 2' ⟍ ⟋ 1 │ 0

$A$ 0 1 2 2' 3 4 $\neg A$ 4 3 2 2' 1 0 $\circ$ 0 1 2 2' 3 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2' 3 4 2 0 2 2 4 4 4 2' 0 2' 4 2' 4 4 3 0 3 4 4 4 4 4 0 4 4 4 4 4

Logiques connexives pertinentes

La logique connexive est une autre famille de logiques sociatives, axée sur trois principes : les thèses d'Aristote comme axiomes $\neg (A\to \neg A)$ et $\neg (\neg A\to A),$ les thèses de Boèce comme axiomes $((A\to B)\to \neg (A\to \neg B))$ et $((A\to \neg B)\to \neg (A\to B)),$ enfin l'asymétrie de l'implication. Avec une implication à détachement, cela conduit au critère de sociativité suivante : une formule conditionnelle $(A\to B)$ ne peut être un théorème qu'à condition que $\neg (A\to \neg B)$ est un théorème, faisant que toute théorie permettant de prouver $(A\to B)$ et $(A\to \neg B)$ est incohérente.

Les logiques obtenues en prenant les logiques pertinentes canoniques, c'est-à-dire qui incluent FDE et sont inclues dans R, et en leur imposant des règles connexives souffrent pour la plupart d'un unsavory theorem, rendant toute implication niable : $\neg (A\to B)$ est alors un théorème dans la plupart de ces logiques. En prenant certaines de ces logiques parmi les plus faibles, comme B^d, nous pouvons toutefois échapper à ce théorème.

Au lieu de chercher des extensions connexives à des logiques pertinentes, une autre méthode pour construire des logiques pertinentes connexives est de restreindre des logiques connexives, jusqu'à assurer la propriété de partage de variables et l'invalidité du syllogisme disjonctif. Une restriction non-monotone de la logique connexive C donne ainsi une logique dont un modèle fonctionnel sain est le suivant, avec pour ensemble de valeurs $\{{\textsf {f1,f2,n,t1,b1,g1,g2,b2,t2}}\}$ et pour ensemble de valeurs désignées $\{{\textsf {t1,b1,g1,g2,b2,t2}}\}$ :

t2 ⟋ ⟍ t1 g2 ⟋ ⟍ ⟋ ⟍ n b1 b2 ⟍ ⟋ ⟍ ⟋ f1 g1 ⟍ ⟋ f2

$A$ f1 f2 n t1 b1 g1 g2 b2 t2 $\neg A$ t1 t2 n f1 b1 g2 g1 b2 f2 $\to$ f1 f2 n t1 b1 g1 g2 b2 t2 f1 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 f2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 n b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 b2 t1 f1 f2 n t1 b1 g1 g2 b2 t2 g1 f1 f2 n t1 b1 g1 g2 b2 t2 b1 f1 f2 n t1 b1 g1 g2 b2 t2 b2 n f2 n n n f2 t2 b2 t2 g2 n f2 n n n f2 t2 b2 t2 t2 n f2 n n n f2 t2 b2 t2

On peut vérifier que cette logique a bien la propriété de partage de variables avec le critère énoncé dans la section précédente, en utilisant $\alpha =\{{\textsf {b2}}\}$ et $\beta =\{{\textsf {b1}}\}.$

Notes et références

Articles connexes

• Logique
• Logique formelle
• Logique classique, aussi dite de Frege-Russell
• Implication logique
• Logique paracohérente
• Logique connexive, une famille de logiques cherchant à résoudre des paradoxes liés à la négation des implications plutôt qu'à leur assertion, formant un projet cousin de la logique pertinente
• Logique linéaire
• Logiques sous-structurelles