Loi d'Irwin-Hall
En théorie des probabilités et en statistique, la loi d'Irwin-Hall, dénommée d'après le statisticien Joseph Oscar Irwin et le mathématicien Philip Hall, est une loi de probabilité définie comme la somme de variables aléatoires indépendantes de loi uniforme continue[1] sur [0 ; 1].
Pour générer des nombres pseudo-aléatoires ayant une loi approximativement normale, on peut générer, par simplicité, des sommes de nombres pseudo-aléatoires de loi uniforme continue.
Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi de Bates qui est la moyenne de variables aléatoires uniformes sur [0 ; 1].
Définition modifier
La loi d'Irwin–Hall est la loi de probabilité continue pour la somme de n variables aléatoires iid de loi uniforme continue sur [0 ; 1] :
Sa densité de probabilité est donnée par :
où sgn est la fonction signe :
ou encore par[2] :
où H est la fonction de Heaviside :
Ainsi, la densité est une spline (fonction définie par morceaux par des polynômes) de degré n sur les nœuds 0, 1, ..., n. Plus précisément, pour x ∈ ]k, k+1[, la densité est
où les coefficients aj(k,n) sont obtenus par la relation de récurrence en k :
Premières valeurs modifier
- Pour n = 1, X suit une loi uniforme continue :
- Pour n = 2, X suit une loi triangulaire :
- Pour n = 3,
- Pour n = 4,
- Pour n = 5,
Propriétés modifier
- La probabilité que X soit compris entre k et k+1 est égal à , où est un nombre eulérien[2].
- La loi de la partie fractionnaire de X est une loi uniforme sur [0,1].
Notes et références modifier
- (en) N. Balakrishnan, N.L. Jonhson et S. Kotz, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, Wiley, , 2e éd. (ISBN 0-471-58494-0), section 26.9
- (en) I. A. Salama et L. L. Kupper, « A Geometric Interpretation for the Eulerian Numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 93, no 1, , p. 51-52
Voir aussi modifier
Bibliographie modifier
- Irwin, J.O. (1927) "On the Frequency Distribution of the Means of Samples from a Population Having any Law of Frequency with Finite Moments, with Special Reference to Pearson's Type II". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 225–239. DOI 10.1093/biomet/19.3-4.225 JSTOR:2331960
- Hall, Philip. (1927) "The Distribution of Means for Samples of Size N Drawn from a Population in which the Variate Takes Values Between 0 and 1, All Such Values Being Equally Probable". Biometrika, Vol. 19, No. 3/4., p. 240–245. DOI 10.1093/biomet/19.3-4.240 JSTOR:2331961