Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart, nommée en l'honneur des physiciens français Jean-Baptiste Biot et Félix Savart (et datant de 1820), donne le champ magnétique créé par une distribution de courants continus. Elle constitue l'une des lois fondamentales de la magnétostatique, de la même manière que la loi de Coulomb pour l'électrostatique.

La loi de Biot et Savart n'est valable que si les courants électriques à l'origine du champ magnétique sont constants au cours du temps (c'est-à-dire en régime stationnaire). En régime variable, sa généralisation dépendant du temps est donnée par les équations de Jefimenko, qui prennent notamment en compte le rayonnement électromagnétique et le fait que le champ magnétique se propage à la vitesse de la lumière.

Cas d'un circuit filiforme

Un circuit filiforme est une modélisation où le fil électrique est un objet purement linéique. C'est une idéalisation d'un fil réel dont la longueur serait très supérieure aux dimensions transverses de sa surface de section.

Loi de Biot et Savart

Soit $C$ une courbe plane fermée, on note ${\vec{r}}^{'}$ l'élément d'intégration représentant un point sur cette courbe. On note $d \vec{ℓ}$ le vecteur déplacement élémentaire tangent à la courbe $C$ au point ${\vec{r}}^{'}$ . La loi de Biot et Savart énonce que, dans le vide, un circuit filiforme décrivant la courbe $C$ parcouru par un courant continu d'intensité $I$ crée en tout point $\vec{r}$ de l'espace extérieur à $C$ un champ magnétique donné par^[1]^,^[2] :

\vec{B} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint_{C} \frac{I d \vec{ℓ} \land (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}}

,

où $μ_{0}$ est une constante fondamentale, appelée perméabilité magnétique du vide.

Remarque sur une notation

On dit parfois que l'« élément infinitésimal » de longueur $d \vec{ℓ}$ , situé au point ${\vec{r}}^{'}$ et parcouru par le courant $I$ crée le « champ magnétique élémentaire » $d \vec{B}$ au point $\vec{r}$ , où

d \vec{B} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{ℓ} \land (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}}

.

C'est la loi d'Ørsted.

Selon l'opinion de certains auteurs, il s'agirait là d'un abus de langage mathématiquement commode pour poser le paramétrage de l'intégrale. En effet, le courant d'intensité $I$ ne peut circuler que dans le circuit fermé complet $C$ , et seule l'intégrale complète possèderait un sens physique.

Cependant, une unique charge en mouvement dans le vide produit bien, à chaque instant $t$ , un champ magnétique dans l'espace environnant.< p/> Ce champ magnétique est justement donné, dans l'approximation magnétostatique, par la loi ci-dessus en échangeant $I d \vec{ℓ}$ par $q \vec{v}$ , où $\vec{v}$ est la vitesse de la charge (si l'approximation magnétostatique n'a pas lieu, on doit utiliser les équations de Jefimenko).

Cet échange se comprend sans peine: dans un tube de courant de longueur $d \vec{ℓ}$ , les charges s'écoulent à une vitesse $\vec{v}$ (parallèle à $d \vec{ℓ}$ ) et traversent les surfaces d'entrée et de sortie du tube aux temps $t$ et $t + d t$ . La quantité de charge contenue dans le tube est $q = I d t$ , donc

q \vec{v} = I \vec{v} d t = I d \vec{ℓ} .

La loi d'Ørsted est donc bien une loi physique et non un artifice de calcul.

Autres modélisations

Densité surfacique de courant

Dans le cas d'une densité surfacique de courant ${\vec{j}}_{S}$ existant sur la surface $Σ$ , le champ magnétique créé s'écrit :

\vec{B} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \iint_{Σ} \frac{{\vec{j}}_{S} ({\vec{r}}^{'}) \land (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}} d S

.

Densité volumique de courant

Dans le cas d'une densité volumique de courant $\vec{j}$ existant sur le volume $V$ , le champ magnétique créé s'écrit :

\vec{B} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} ∭_{V} \frac{\vec{j} ({\vec{r}}^{'}) \land (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}} d V

.

Théorème d'Ampère

En intégrant la loi de Biot et Savart sur une boucle fermée $Γ$ quelconque (qui a priori n'est pas un circuit électrique), on démontre le théorème d'Ampère :

\oint_{Γ} \vec{B} ({\vec{r}}^{'}) \cdot d {\vec{r}}^{'} = μ_{0} I_{i n t}

,

où $I$ _int est l'intensité algébrique enlacée par la courbe $Γ$ .

Le cas d'une particule chargée

En remarquant qu'une particule ponctuelle située en ${\vec{r}}^{'}$ , de charge électrique $q$ animée d'une vitesse $\vec{v}$ correspond à un courant $\vec{j} = q \vec{v} δ (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})$ , où $δ$ est la fonction de Dirac, la loi de Biot et Savart suggère d'écrire que cette charge (en mouvement) au point ${\vec{r}}^{'}$ crée un champ magnétique au point $\vec{r}$ donné par :

\vec{B} (\vec{r}) = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{q \vec{v} \land (\vec{r} - {\vec{r}}^{'})}{| \vec{r} - {\vec{r}}^{'} |^{3}}

.

Cette expression est en réalité une approximation, qui n'est valide que pour des vitesses $\vec{v}$ très petites devant la vitesse de la lumière c. L'expression exacte du champ magnétique créé par une charge en mouvement est donnée par la formule de Liénard-Wiechert.

Généralisation, dépendant du temps, de la loi de Biot-Savart

Articles détaillés : Équations de Panofsky-Phillips et Équations de Jefimenko.

Les solutions générales et causales des équations de Maxwell sont données par les équations de Panofsky-Phillips ainsi que par les équations de Jefimenko (les deux sont équivalentes)^[3]^,^[4]. Ces équations sont la généralisation, dépendant du temps (électrodynamique), de la loi de Coulomb et de la loi de Biot-Savart, qui étaient à l'origine vraies uniquement pour les champs en électrostatique et en magnétostatique ainsi que pour les courants continus.

Les équations de Panofsky-Phillips et de Jefimenko donnent le champ électrique et le champ magnétique dus à une distribution de charges et de courants électriques dans l'espace. Elles prennent en compte le retard (temps « retardé ») dû à la propagation des champs à la vitesse de la lumière. Elles peuvent donc être utilisées pour des charges et des courants en déplacement. Elles sont les solutions générales des équations de Maxwell pour n'importe quelle distribution arbitraire de charges et de courants.

Application à l'aérodynamique

Cette section ne cite pas suffisamment ses sources (octobre 2023).

Pour l'améliorer, ajoutez des références de qualité et vérifiables (comment faire ?) ou le modèle {{Référence nécessaire}} sur les passages nécessitant une source.

La loi de Biot et Savart est utilisée pour calculer la vitesse induite par des lignes de vortex en aérodynamique. En effet, une analogie avec la magnétostatique est possible si l'on admet que la vorticité correspond au courant, et la vitesse induite à l'intensité du champ magnétique.

Pour une ligne de vortex de longueur infinie, la vitesse induite est donnée par :

v = \frac{Γ}{2 π d}

,

où $Γ$ est l'intensité du vortex et $d$ la distance perpendiculaire entre le point et la ligne de vortex. Pour une ligne de vortex de longueur finie, on a

v = \frac{Γ}{4 π d} [\cos α - \cos β]

,

où $α$ et $β$ sont les angles (orientés) entre la ligne et les deux extrémités du segment.

Cette analogie a été proposée par Helmholtz, mais il faut bien garder à l'esprit que le vecteur d'induction magnétique est un vecteur axial tandis que le vecteur vitesse est un vecteur polaire, et que donc l'analogie ne respecte pas les symétries. L'analogie rigoureuse nécessiterait d'identifier la vorticité au champ magnétique et la vitesse au potentiel vecteur.

Notes et références

↑ David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Pearson (Fourth ed., 2013), Section 5.2 : The Biot-Savart Law
↑ Le Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Section 14.7 : La loi de Biot et Savart
↑ David J. Griffiths, Mark A. Heald, Time-dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics 59 (2) (1991), 111-117.
↑ Kirk T. McDonald, The Relation Between Expressions for Time-Dependent Electromagnetic Fields Given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips, Joseph Henry Laboratories, Princeton University, Princeton, NJ 08544 (Dec. 5, 1996; updated May 11, 2018)