Mesure invariante

En mathématiques une mesure invariante est une mesure qui est préservée par une transformation géométrique ou lors d'un processus stochastique.

Ainsi la théorie ergodique est l'étude des mesures invariantes dans les systèmes dynamiques. Le théorème de Krylov-Bogolioubov démontre l'existence de mesures invariantes sous certaines conditions portant sur la fonction et l'espace considérés.

Définition

Soit $(X,\Sigma )$ un espace mesurable et soit $f:X\to X$ une fonction mesurable de $X$ dans lui-même. Une mesure $\mu$ sur $(X,\Sigma )$ est dite invariante par $f$ si, pour tout ensemble mesurable $A$ appartenant à $\Sigma$

$$\mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A)$$

En termes de mesure image, on s'écrit $f_{*}(\mu )=\mu$

Toute mesure (généralement une mesure de probabilité) sur $X$ qui est invariante par $f$ est parfois notée $M_{f}(X)$. L'ensemble des mesures ergodiques $E_{f}(X)$ constitue un sous-ensemble de $M_{f}(X)$. Par ailleurs, toute combinaison convexe de deux mesures invariantes est également invariante ; ainsi, $M_{f}(X)$ est un ensemble convexe. $E_{f}(X)$ est constitué des points extrémaux de $M_{f}(X)$.

Dans le cas d'un système dynamique $(X,T,\varphi )$ où $(X,\Sigma )$ est un espace mesurable (comme précédemment), $T$ est un monoïde et $\varphi :T\times X\to X$ un flot. Une mesure $\mu$ sur $(X,\Sigma )$ est dite mesure invariante si elle l'est pour chaque application $\varphi _{t}:X\to X.$ Plus précisément, $\mu$ est invariante si et seulement si

$$\mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ pour tout }}\;t\in T,A\in \Sigma .$$

En d'autres termes, $\mu$ est une mesure invariante pour une suite de variables aléatoires $\left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}$ (par exemple une chaîne de Markov ou la solution d'une équation différentielle stochastique) si, lorsque la condition initiale $Z_{0}$ suit la loi $\mu ,$ alors $Z_{t}$ suit également cette même loi pour tout instant ultérieur $t.$

Lorsque le système dynamique peut être décrit par un opérateur de transfert, la mesure invariante correspond à un vecteur propre de cet opérateur associé à la valeur propre $1$ ; il s'agit de la plus grande valeur propre, conformément au théorème de Perron-Frobenius.

Exemples

Une rotation hyperbolique laisse l'angle hyperbolique invariant tout en déplaçant un secteur hyperbolique (en violet) vers un autre de même aire. Les rectangles bleu et vert conservent également la même aire.

• L'angle est invariant par rotation, l'angle hyperbolique est invariant par rotation hyperbolique et la différence entre des pentes de courbes dans le plan est invariante par transvection.
• Considérons la droite réelle $\mathbb {R}$ munie de sa tribu borélienne usuelle ; fixons $a\in \mathbb {R}$ et considérons l'application de translation $T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par : $$T_{a}(x)=x+a$$. Alors, la mesure de Lebesgue unidimensionnelle $\lambda$ est une mesure invariante pour $T_{a}$.
• Plus généralement, sur l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{n}$ muni de sa tribu borélienne usuelle, la mesure de Lebesgue $n$-dimensionnelle $\lambda ^{n}$ est une mesure invariante pour toute isométrie de l'espace euclidien, c'est-à-dire toute application $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ pouvant s'écrire sous la forme : $$T(x)=Ax+b$$ où $A\in O(n)$ est une matrice orthogonale $n\times n$ et $b\in \mathbb {R} ^{n}$ est un vecteur.
• Dans le premier exemple, la mesure invariante est unique, à une renormalisation près par une constante multiplicative. Ce n'est pas nécessairement toujours le cas : considérons un ensemble constitué de deux points seulement, $\mathbf {S} =\{A,B\}$, et l'application identité $T=\operatorname {Id}$, qui laisse chaque point fixe. Alors, toute mesure de probabilité ${\displaystyle \mu$ :\mathbf {S} \to \mathbb {R} } est invariante. Notons que $\mathbf {S}$ admet, de manière triviale, une décomposition en composantes $T$-invariantes $\{A\}$ et $\{B\}$.
• La mesure d'aire dans le plan euclidien est invariante sous l'action du groupe spécial linéaire $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$, constitué des matrices réelles $2\times 2$ de déterminant unité.
• Tout groupe localement compact possède une mesure de Haar qui est invariante par l'action du groupe (par translation).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Invariant measure » (voir la liste des auteurs).