Nombre harmonique

En mathématiques, le n-ième nombre harmonique est la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls :

$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$.

Ce nombre rationnel est aussi égal à n fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la n-ième somme partielle de la série harmonique.

Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.

Table des premiers nombres harmoniques

Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valeur de Hn	0	1	${\frac {3}{2}}$	${\frac {11}{6}}$	${\frac {25}{12}}$	${\frac {137}{60}}$	${\frac {49}{20}}$	${\frac {363}{140}}$	${\frac {761}{280}}$	${\frac {7129}{2520}}$	${\frac {7381}{2520}}$
Valeur approchée de Hn	0	1	1,5	1,8	2,1	2,3	2,5	2,6	2,7	2,8	2,9

Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de n = 1, les suites d'entiers  A001008 et  A002805 de l'OEIS.

La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, 7 129, … ( A067657) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … ( A056903).

Comportement asymptotique

Les nombres harmoniques $H_{n}$ en rouge et leur limite asymptotique $\gamma +\ln(x)$ en bleu.

La suite des nombres harmoniques croît lentement.

La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{4}}}\right),$

où $\gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :

$H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}+O\left({\frac {1}{n^{2p+2}}}\right),$

où les $B_{2k}$ sont les nombres de Bernoulli.

Propriétés

Autres expressions

$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]$, où $\left[{\begin{matrix}n+1\\2\end{matrix}}\right]$ est un nombre de Stirling de première espèce.

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}$.

Euler a donné la représentation intégrale suivante :

$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,\mathrm {d} x$,

en utilisant l'identité

${\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}$,

ce qui fournit un prolongement méromorphe $z\mapsto H_{z}$. En fait,

$H_{z}=\sum _{k\geq 1}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+z}}\right)=\psi (z+1)+\gamma$,

où ψ est la fonction digamma.

Propriétés arithmétiques

On a les propriétés suivantes concernant la forme irréductible ${a_{n} \over b_{n}}$ du rationnel H_n :

• Pour $n\geqslant 2$, $b_{n}$ est un diviseur du PPCM des entiers $2,3,\cdots ,n$.
• Pour $n\geqslant 2$, $a_{n}$ est impair et $b_{n}$ est pair, donc (en omettant H₀ = 0) le seul nombre harmonique entier est H₁ = 1 ; d'après le théorème de Kürschák, H₁ est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.
• Plus précisément, $b_{n}$ est divisible par $2^{\lfloor \log _{2}n\rfloor }$ où $\left\lfloor .\right\rfloor$ désigne la partie entière; en particulier $b_{2^{n}}$ est divisible par $2^{n}$.
• Pour tout nombre premier $p\geqslant 5$, $a_{p-1}$ est divisible par p² et $a_{p^{2}-1}$ est divisible par $p$ : voir « Théorème de Wolstenholme ».
• Le postulat de Bertrand permet de démontrer que les trois seuls nombres harmoniques décimaux (cas où les seuls premiers divisant $b_{n}$ sont 2 et 5) sont H₁ = 1, H₂ = 1,5 et H₆ = 2,45.
• Étant donné un nombre premier $p$ :
  • On conjecture que l'ensemble $J_{p}$ des indices $\geqslant 1$ des numérateurs $a_{n}$ qui sont divisibles par $p$ est fini, et ceci a été démontré pour $p=2,3,5,7$.
  • On a $J_{2}=\varnothing ,J_{3}=\{2,7,22\},J_{5}=\{4,20,24\},J_{7}=\{6,42,48,\cdots ,102728\}$ (13 éléments). ; voir la suite A229493 de l'OEIS.
  • On montre que $b_{n}$ est non multiple de $p$ ssi $\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor$ appartient à $J_{p}$, ce qui montre que si $J_{p}$ est fini, alors $b_{n}$ est multiple de $p$ à partir d'un certain rang, égal à $p(\max(J_{p})+1)$ ; par exemple, $b_{n}$ est multiple de 3 à partir de $n=69$ , $b_{n}$ est multiple de 5 à partir de $n=125$, et $b_{n}$ est multiple de 7 à partir de $n=719103$.
  • Prouver la conjecture ci-dessus montrerait que les nombres harmoniques "décimaux en base $b$" (quotients d'un entier par une puissance de $b$) seraient toujours en nombre fini, puisqu'à partir d'un certain rang $b_{n}$ serait multiple d'un nombre premier n'intervenant pas dans la décomposition en produits de facteurs premiers de $b$.

Sommes et séries numériques impliquant les nombres harmoniques

On a :

$\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n$

$\sum _{k=1}^{n}{\binom {k}{m}}H_{k}={\binom {n+1}{m+1}}\left(H_{n+1}-{\frac {1}{m+1}}\right)$

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {H_{k}}{k}}={\frac {1}{2}}\left((H_{n})^{2}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)$

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {H_{k}}{k+1}}={\frac {1}{2}}\left((H_{n+1})^{2}-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k^{2}}}\right)$

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}H_{k}={\binom {2n}{n}}(2H_{n}-H_{2n})$

Plusieurs séries numériques font apparaitre les nombres harmoniques. Parmi les plus connues, on a :

$\forall k\in \{2;3;...\},\,\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {H_{n}}{n^{k}}}=\left(1+{\frac {k}{2}}\right)\zeta (k+1)-{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{k-2}\zeta (k-n)\zeta (n+1)$ (Euler)

Donald Knuth établit l'égalité suivante: pour toute fonction admettant un développement en série entière ${\textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}}$, alors :

$\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}H_{n}x^{n}=\int _{0}^{1}{\frac {f(t)-f(xt)}{1-t}}\mathrm {d} t$

On peut en déduire la série génératrice des nombres harmoniques :

$\sum _{n=1}^{+\infty }H_{n}x^{n}=-{\frac {\ln(1-x)}{1-x}}$

Généralisation

On définit le n-ième nombre harmonique généralisé H_n,r d'exposant r comme la n-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant r :

$H_{n,r}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{r}}}$.

Pour tout réel r > 1, cette suite converge vers la valeur en r de la fonction zêta de Riemann :

$\forall r>1\quad \lim _{n\to \infty }H_{n,r}=\zeta (r)$.

D'autres notations existent, comme H^(r)
_n, prêtant à confusion avec les nombres hyperharmoniques.

Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.

Exemples d'utilisation

Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans plusieurs problèmes de mathématiques récréatives, comme le problème d'empilage de blocs, le problème de la traversée du désert et le problème de la fourmi sur un élastique, ainsi que dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.