Ovale de Descartes

Exemple d'ovale complet et ses trois foyers l'ovale intérieur a pour équation (au choix) 4F1M +2 F2M = 5F1F2 5F1M + 2F3M = 4F1F3 -5F2M + 4 F3M = 2F2F3 l'ovale extérieur a pour équation (au choix) 4F1M – 2F2M = 5F1F2 5F1M – 2F3M = 4F1F3 5F2M – 4 F3M = 2F2F3

En géométrie plane, un(e) ovale de Descartes est l'ensemble des points M vérifiant une équation de la forme bF₁M + aF₂M = cF₁F₂, où a, b et c sont trois réels non nuls et F₁, F₂ deux points donnés appelés foyers.

Pour chaque ovale non dégénéré, de foyers F₁ et F₂, il existe un troisième foyer F₃ et de nouveaux paramètres qui font de la courbe un ovale de foyers F₁, F₃. C'est la raison pour laquelle on parle des trois foyers d'un ovale.

L'ensemble des points M tels que |bF₁M ± aF₂M| = |cF₁F₂| est appelé ovale complet et regroupe deux courbes du type précédent. Un ovale complet est un cas particulier de courbe quartique.

Le nom «ovale de Descartes» fait référence au mathématicien René Descartes qui fut le premier à les étudier dans des problèmes de réfraction.

Origine

René Descartes fait allusion à ces courbes dans sa Dioptrique mais les étudie plus profondément dans sa Géométrie. Il ne les présente pas directement par leur équation bifocale mais à l'aide d'une construction. Sa motivation est d'ordre pratique : il s'agit de rechercher des courbes de stigmatisme parfait. C'est-à-dire des courbes séparant deux milieux d'indices différents telles que tous les rayons issus d'un point particulier du premier milieu, convergent par réfraction sur un point particulier du second milieu.

Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation bF₁M+ aF₂M = cF₁F₂ où 0 < a < c < b sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons issus de F₂ et rencontrant l'ovale vont se réfracter en F₁.

Descartes mobilise, dans cette étude, sa nouvelle connaissance de la loi de réfraction ainsi que ses techniques de tracé de tangentes à des courbes. Il conclut par la présentation de lunettes permettant à l'aide de la combinaison de deux ovales d'assurer un stigmatisme absolu.

Il propose également un moyen mécanique de construction de telles ovales pour des coefficients b et a entiers naturels lorsque c=(a+b)/2, avec une méthode s'apparentant à la méthode du jardinier.

La courbe est également étudiée par Isaac Newton, Adolphe Quételet qui étudie les deux branches de la courbe et en donne l'équation polaire, par Michel Chasles. Arthur Cayley, Hieronymus Georg Zeuthen et Hammond en développent des méthodes mécaniques de construction.

Cas particuliers

On considère la courbe d'équation bipolaire bF₁M + aF₂M = cF₁F₂. On peut, sans perte de généralité, supposer a + b > 0. Si c < min(a,b), la courbe est vide.

Lorsque 0 < a = b < c, l'ensemble des points M est une ellipse, le troisième foyer est envoyé à l'infini. On considère en général qu'il s'agit d'un ovale dégénéré.

Lorsque a + b = 0, l'ensemble des points M est une demi-hyperbole. Le troisième foyer est envoyé à l'infini. Il s'agit aussi d'un cas dégénéré.

Lorsque a = ±c, le troisième foyer est confondu avec F₁ et l'ovale complet est un limaçon de Pascal.

Équations de l'ovale complet

L'équation |bMF₁ ± aMF₂| = |cF₁F₂| peut encore s'écrire sous la forme quartique suivante : $\left(b^{2}MF_{1}^{2}-a^{2}MF_{2}^{2}+c^{2}F_{1}F_{2}^{2}\right)^{2}=4b^{2}c^{2}F_{1}F_{2}^{2}\times MF_{1}^{2}$

Équations cartésiennes

Dans le cas d'un ovale non dégénéré, en prenant pour origine O le barycentre de F₁ et F₂ affectés des coefficient b² et –a² et pour ${\vec {i}}$ le vecteur tel que F₁ a pour abscisse α = a² . Alors F₂ a pour abscisse β = b² . En posant γ = c², l'équation de l'ovale devient : $(x^{2}+y^{2}-\sigma _{2})^{2}+8\sigma _{3}x-4\sigma _{1}\sigma _{3}=0$ où σ₁, σ₂ et σ₃ sont les fonctions symétriques des réels α, β et γ : $\sigma _{1}=\alpha +\beta +\gamma ,\quad \sigma _{2}=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ,\quad \sigma _{3}=\alpha \beta \gamma$

Le caractère symétrique des rôles joués par les réels α, β et γ permet de dire que la même équation cartésienne sera obtenue pour l'ovale de foyers F₁ et F₃(γ, 0) et d'équation |cMF₁ ± aMF₃| = |bF₁F₃| ainsi que pour l'ovale de foyers F₂ et F₃ et d'équation |cMF₂ ± bMF₃| = |aF₁F₃|.

On peut aussi décider de prendre pour origine, le milieu du segment [F₁F₂] ou un des foyers pour obtenir des équations alternatives.

Équation polaire

Dans le repère de centre F₁ et dont l'axe principal est orienté vers F₂, si l'on note d=F₁F₂, l'ovale complet d'équation |bMF₁ ± aMF₂| = |cF₁F₂| a pour équation polaire :

$(b^{2}-a^{2})\rho ^{2}-2\rho d(a^{2}\cos \theta +bc)+(c^{2}-a^{2})d^{2}=0$

Puisque le produit des deux racines de cette équation est indépendant de θ, l'ovale complet est invariant par inversion de centre F₁ et de rapport ${\frac {(c^{2}-a^{2})d^{2}}{(b^{2}-a^{2})}}$.

Propriétés géométriques

On considère l'ovale d'équation |bF₁M ± aF₂M| = |cF₁F₂|.

Troisième foyer

Si l'ovale n'est pas dégénéré, le troisième foyer F₃ est le barycentre des points F₁ et F₂ affectés des coefficient b² - c² et c² - a², et les deux autres équations de l'ovale sont |cF₂M ± bF₃M| = |aF₂F₃| et |aF₃M ± cF₁M| = |bF₃F₂|, voir à théorème de Stewart.

Sommets

Les 4 sommets de l'ovale complet sont les barycentres des points F₁ et F₂ affectés des coefficients (b - c, a + c), (b - c, - a + c), (b + c, a - c), (b + c, -a -c).

Tangente et normale

Propriété de réfraction de l'ovale intérieur : le rayon issu de F₁ se réfracte pour passer par F₂.

La normale à l'ovale d'équation bF₁M + aF₂M = cF₁F₂ au point M a pour vecteur directeur : $b{\frac {\overrightarrow {F_{1}M}}{F_{1}M}}+a{\frac {\overrightarrow {F_{2}M}}{F_{2}M}}$

Ainsi, si on appelle θ₁ l'angle que fait F₁M avec la normale et θ₂ l'angle que fait F₂M avec la normale, on a l'égalité : ${\frac {\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {b}{a}}$.

Pour 0< b < a, on retrouve là, la loi de Snell-Descartes. Si l'ovale sépare deux milieux, l'un d'indice b contenant F₁ et l'autre d'indice a contenant F₂ et si M est le premier point de rencontre de la demi-droite [F₁M) avec l'ovale, alors le rayon F₁M) se réfracte en MF₂

Construction à l'aide de deux cercles

Ovale d'équation 4F₁M ± 3F₂M = ± 2F₁F₂ construit grâce au point C, barycentre des points F₁ et F₂ affectés des coefficients -3 et 4, et aux cercles de centre F₁ et F₂ et de rayons respectifs ³⁄₂F₁F₂ et ⁴⁄₃F₁F₂.

Michel Chasles propose une construction d'ovale complet à l'aide de deux cercles de centres F₁ et F₂ et d'un point C situé sur la droite (F₁F₂). On fait pivoter une droite autour de C de telle sorte qu'elle rencontre le premier cercle en deux points M₁ et N₁ et le second cercle en M₂ et N₂. Les points de rencontre des droites (F₁M₁) et (F₁N₁) avec les droites (F₂M₂) et (F₂N₂) dessinent alors un ovale complet quand la droite pivote autour de C.

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Projection d'une courbe gauche

Projection orthogonale de l'intersection du cône de sommet S₁ avec le cône de sommet S₂ sur un plan perpendiculaire aux axes des cônes est un ovale de foyers S₁ et S₂.

Un ovale de Descartes est le projeté vertical dans un plan horizontal de l'intersection de deux cônes de révolution d'axes verticaux différents. Les foyers sont alors les projetés des sommets des deux cônes. Cette interprétation permet de retrouver de façon relativement simple certaines propriétés géométriques des ovales

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Caustique secondaire par réfraction

Ovale de Descartes construit comme caustique secondaire du cercle de centre O et passant par P.

Si l'ovale complet a pour équation |bMF₁ ± aMF₂| = |cF₁F₂| et si les point O et P sont définis comme les barycentres de F₁ et F₂ affectés des coefficient b² et –a² pour O, et a et b pour P, l'ovale est alors la caustique secondaire par réfraction de rapport n = |a/c| du cercle (Γ) de centre O, passant par P, par rapport au foyer F₁. C'est donc l'enveloppe des cercles (Γ_M) de centres M situés sur (Γ) et de rayons F₁M/n.

Chaque cercle (Γ_M) est tangent à l'ovale en deux points T_M et T'_M toujours alignés avec le troisième foyer de l'ovale.

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Bibliographie et sources

• André Warusfel, L’œuvre mathématique de Descartes dans La Géométrie : de la résolution des équations algébriques à la naissance de la géométrie analytique, 2010 (lire en ligne)
• Robert Ferreol et Jacques Mandonnet, « Ovale de Descartes », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2012 (consulté le 17 mai 2015)
• Évelyne Barbin et René Guitart, « Algèbre des fonctions elliptiques et géométrie des ovales de Descartes », Revue d'histoire des mathématiques, n^o 7,‎ 2001, p. 161-205 (lire en ligne)
• Évelyne Barbin et René Guitart, « La pulsation entre les conceptions optiques, algébriques, articulées et projectives, des ovales cartésiennes », dans Actes de la septième université d’été interdisciplinaire sur l’histoire des mathématiques (Nantes, juillet 1997), 1998 (lire en ligne)
• Paul Baudoin, Les ovales de Descartes et le limaçon de Pascal, Vuibert, 1938
• M. Dufour, « Sur les ovales de Descartes », l'enseignement mathématique, Commission internationale de l'enseignement mathématique, vol. 28, n^o 1,‎ 1929 (lire en ligne)
• Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M; Hayez, 1837 (lire en ligne)
• René Descartes, La Géométrie, Leyde, Jean Maire, 1637