Propriétés métriques des droites et des plans

En géométrie euclidienne, c'est-à-dire dans le plan et l'espace muni d'une distance et d'un produit scalaire, les droites et les plans possèdent des propriétés métriques permettant de les caractériser grâce à un point et un vecteur, dit normal. On peut aussi calculer la distance qui les sépare d'un point donné ou bien calculer celle qui sépare deux droites ou deux plans. On peut aussi calculer l'angle formé par deux droites ou deux plans.

Dans cet article, on a muni le plan ou l'espace d'un repère orthonormal dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées. Toute droite du plan y possède une équation du type ux + vy + h = 0 où (u, v) est différent de (0 , 0) et tout plan de l'espace possède une équation de la forme ux + vy + wz + h = 0 où (u, v, w) est différent de (0, 0, 0).

La droite dans le plan euclidien

Droite, pente et vecteur directeur

Si la droite (D) d'équation ux + vy + h = 0 n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées y, donc si v n'est pas nul, alors elle possède une équation sous la forme

$y=ax+b$

avec

$a=-{\frac {u}{v}},\,b=-{\frac {h}{v}}$

La pente (ou coefficient directeur) d'une droite est le réel a.

Si l'on appelle α l'angle entre l'axe des abscisses x et la droite (D), α peut se déduire par :

$a=\tan(\alpha )\Leftrightarrow \alpha =\arctan(a).$

Le vecteur ${\vec {d}}(-v,u)$ est un vecteur directeur de (D), Le vecteur ${\vec {d}}'(1,a)$ est un autre vecteur directeur.

Vecteur normal à une droite

Soit $M(x,y)$ un point de la droite (D) dont une équation dans un repère orthonormal est donnée par :

$(1)\qquad ux+vy+h=0$

et $M_{0}(x_{0},y_{0})$ un point spécifique de (D), on a :

$(2)\qquad ux_{0}+vy_{0}+h=0$

En retranchant (2) à (1) on obtient :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0$

En notant ${\vec {\mathrm {N} }}$, le vecteur de coordonnées (u, v), on exprime (1) comme suit :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0$

La droite d'équation ux + vy + h = 0 est donc orthogonale au vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}$. Le vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}$ est appelé un vecteur normal à la droite (D).

Si la droite (D) n'est pas parallèle à l'axe y, elle peut être donnée par une équation de type :

$y=ax+b$

Le vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}(-a,1)$ est un vecteur normal à (D).

Droite passant par un point et orthogonale à un vecteur non nul donné

Soit un point $M(x,y)$ et un vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}(u,v)$ non nul. Le point M appartient à la droite (D), passant par $M_{0}(x_{0},y_{0})$ et orthogonale à ${\vec {\mathrm {N} }}$, si et seulement si :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0$

La droite D, passant par $M_{0}(x_{0},y_{0})$ et orthogonale à ${\vec {\mathrm {N} }}$, a donc pour équation :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})=0\,$

Distance algébrique d'un point à une droite

Soit H le point projeté de $M(x,y)$ sur D, qui est donc tel que ${\overrightarrow {HM}}$ est orthogonal à (D).

La droite perpendiculaire à D et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}(u,v)$, on montre que la distance algébrique entre M et (D) est donnée par :

$d_{\mathrm {a} }(H,M)={\frac {ux+vy+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$

En valeur absolue :

$\|{\overrightarrow {HM}}\|={\frac {|ux+vy+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}$

Équation normale d'une droite

Dans le repère $(\mathrm {O} ,{\vec {i}},{\vec {j}})$, notons ${\vec {\mathrm {N} }}(\cos \varphi ,\sin \varphi )$ un vecteur unitaire normal à la droite (D), orienté de O vers (D), la valeur φ représente alors l'angle$({\vec {i}},{\vec {\mathrm {N} }})$. On note d'autre part $p$ la distance entre l'origine O du repère et la droite D.

L'équation (1) s'écrit :

$x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0$

Angles de deux droites

Soit D et D' deux droites d'équations

$(D):ux+vy+h=0\,$

$(D'):u'x+v'y+h'=0\,$

L'angle formé par les deux droites est connu par sa tangente :

$\tan(D,D')=\tan({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} '}})={\frac {uv'-u'v}{uu'+vv'}}$

Intersection de deux droites

Soit les droites (D₁) et (D₂) d'équations cartésiennes respectives :

$u_{1}x+v_{1}y+h_{1}=0,\quad u_{2}x+v_{2}y+h_{2}=0\,$

alors :

• si ${\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}$ : les droites sont confondues ;
• si ${\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}\neq {\frac {h_{2}}{h_{1}}}$ : les droites sont strictement parallèles ;
• si ${\frac {u_{2}}{u_{1}}}\neq {\frac {v_{2}}{v_{1}}}$ : les droites sont sécantes et les coordonnées du point d'intersection sont une solution du système formé par (1) et (2).

Faisceau défini par deux droites

Le faisceau est l'ensemble des droites d'équation :

$\alpha D_{1}+\beta D_{2}=0$

En posant $\lambda ={\frac {\beta }{\alpha }}$ ;

$D_{1}+\lambda D_{2}=0$.

On a alors trois cas :

• si D₁ et D₂ se coupent en un point unique A, le faisceau $D_{1}+\lambda D_{2}=0$ est l'ensemble des droites passant par A.
• si D₁ et D₂ sont strictement parallèles, le faisceau $D_{1}+\lambda D_{2}=0$ est l'ensemble des droites strictement parallèles à D₁.

Conditions pour que trois droites distinctes soient concourantes ou parallèles

Les droites d'équations :

$\mathrm {D} _{1}:u_{1}x+v_{1}y+h_{1}=0\,$,

$\mathrm {D} _{2}:u_{2}x+v_{2}y+h_{2}=0\,$, et

$\mathrm {D} _{3}:u_{3}x+v_{3}y+h_{3}=0\,$

sont concourantes ou parallèles si :

${\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&h_{1}\\u_{2}&v_{2}&h_{2}\\u_{3}&v_{3}&h_{3}\end{vmatrix}}=0$

La droite dans l'espace euclidien

Distance d'un point à une droite quelconque de l'espace

Cas où la droite est définie par l'intersection de deux plans

Dans l'espace, on étudie la droite définie par l'intersection de deux plans d'équations :

$(P_{1}):u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,$

$(P_{2}):u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,$

Le plan (Q) perpendiculaire à (P₁) appartient au faisceau de plans $P_{1}+\lambda P_{2}=0$.

(Q) sera perpendiculaire à (P₁) pour $\lambda ={\frac {-(u_{1}^{2}+v_{1}^{2}+w_{1}^{2})}{u_{1}u_{2}+v_{1}v_{2}+w_{1}w_{2}}}$

Soient H₁, H_Q et H les projections orthogonales du point M respectivement sur (P₁), (Q) et (D), on en déduit $MH^{2}=MH_{1}^{2}+MH_{Q}^{2}$.

On calculera MH₁ et MH_Q comme détaillé plus bas.

Cas où la droite est définie par un point et un vecteur directeur non nul

La distance MH est donnée par

$MH={\frac {\|{\overrightarrow {MM_{0}}}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}\|}{\|{\vec {\mathrm {V} }}\|}}$

Droites orthogonales à un plan

Le plan étant défini par l'équation ux + vy + wz + h = 0, les droites perpendiculaires au plan sont toutes les droites ayant comme vecteur directeur ${\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)$. Une droite D passant par le point $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et perpendiculaire à $(P):ux+vy+wz+h=0$ a pour équations :

${\frac {x-x_{0}}{u}}={\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}$

dans le cas où aucun des réels, u, v, w, n'est nul.

Si un seul des réels est nul, par exemple u= 0, le système devient :

$x=x_{0}\qquad {\frac {y-y_{0}}{v}}={\frac {z-z_{0}}{w}}$

Si deux réels sont nuls, par exemple u=v=0, le système devient :

$x=x_{0}\qquad y=y_{0}$

Distance entre deux droites quelconques de l'espace

Soient la droite (D₀) passant par $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et de direction le vecteur ${\vec {\mathrm {V} }}_{0}(a_{0},b_{0},c_{0})$ et (D₁) la droite passant par $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ et de direction ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1})$

Si les vecteurs ${\vec {\mathrm {V} }}_{0}$ et ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ sont indépendants, le volume du solide construit sur ${\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ est égal à |k|. Ce réel se calcule grâce au produit mixte :

$k=({\overrightarrow {M_{0}M_{1}}},{\vec {\mathrm {V} }}_{0},{\vec {\mathrm {V} }}_{1})$

L'aire de la base du solide est donnée par

$\|{\vec {\mathrm {W} }}\|$ tel que ${\vec {\mathrm {W} }}={\vec {\mathrm {V} }}_{0}\wedge {\vec {\mathrm {V} }}_{1}$

La distance entre les deux droites est alors égale à $d={\frac {|k|}{\|{\vec {\mathrm {W} }}\|}}$

Si les vecteurs sont colinéaires alors les deux droites sont parallèles et la distance qui les sépare correspond à la distance qui sépare le point M₁ de la droite D₀.

Le plan dans l'espace euclidien

Vecteur normal à un plan

Soit $M(x,y,z)$ un point du plan (P) dont l'équation dans un repère orthonormé est donnée par :

$(1\mathrm {bis} )ux+vy+wz+h=0$

Pour $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ un point spécifique de P on obtient :

$(2\mathrm {bis} )ux_{0}+vy_{0}+wz_{0}+h=0$

En retranchant (2bis) à (1bis) on obtient :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0$

En notant ${\vec {\mathrm {N} }}$, le vecteur de coordonnées (u, v, w), on exprime (1bis) comme suit :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0$

Le plan P d'équation ux + vy + wz + h = 0 est donc orthogonal au vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)$ et ce vecteur est appelé un vecteur normal au plan P.

Si le coefficient w n'est pas nul, alors le plan ne contient pas de droite parallèle à l'axe z et l'équation du plan peut s'écrire :

$z=ax+by+c$

avec a = -u/w, b = -v/w et c = -h/w. Le vecteur de composantes (-a, -b, 1) est un vecteur normal au plan.

Plan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul donné

Soit un point $M(x,y,z)$ et un vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)\,$ non nul. Le point M appartient au plan P, passant par $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et orthogonal à ${\vec {\mathrm {N} }}$, si et seulement si :

${\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\overrightarrow {M_{0}M}}=0$

Le plan P, passant par $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et orthogonal à ${\vec {\mathrm {N} }}$, a donc pour équation :

$u(x-x_{0})+v(y-y_{0})+w(z-z_{0})=0\,$

Distance algébrique d'un point à un plan

Soit H le projeté de $M(x,y,z)$ sur (P) avec ${\overrightarrow {HM}}$ orthogonal à (P).

La droite perpendiculaire à (P) et passant par M étant orientée suivant la direction du vecteur ${\vec {\mathrm {N} }}(u,v,w)$, on montre que la distance algébrique entre M et (P) est donnée par :

$d_{\mathrm {a} }(H,M)={\frac {ux+vy+wz+h}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}$

En valeur absolue :

$\|{\overrightarrow {HM}}\|={\frac {|ux+vy+wz+h|}{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}}$

Angles de deux plans

Soient (P) et (P') deux plans d'équations

$(P):ux+vy+wz+h=0\,$ $(P'):u'x+v'y+w'z+h'=0.$

L'angle géométrique (P, P') est déterminé à l'aide de l'angle des vecteurs normaux $({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')$

$\cos(P,P')=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {|{\vec {\mathrm {N} }}\cdot {\vec {\mathrm {N} }}'|}{\|{\vec {\mathrm {N} }}\|\|{\vec {\mathrm {N} }}'\|}}={\frac {|uu'+vv'+ww'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}$ $\sin(P,P')=|\sin({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {\|{\vec {\mathrm {N} }}\wedge {\vec {\mathrm {N} }}'\|}{\|{\vec {\mathrm {N} }}\|\|{\vec {\mathrm {N} }}'\|}}={\frac {\sqrt {(vw'-v'w)^{2}+(wu'-uw')^{2}+(uv'-vu')^{2}}}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}+w'^{2}}}}}$

Du point de vue de l'application numérique, la forme avec le cosinus est plus précise lorsque l'angle est proche de π/2 + kπ, et la forme avec le sinus est plus précise lorsque l'angle est proche de 0 + kπ.

Cas particulier : angle de plus grande pente

L'angle de plus grande pente est l'angle le plus grand formé entre un plan quelconque et le plan horizontal. De façon imagée on peut définir l'angle de plus grande pente comme l'angle formé entre la trajectoire (rectiligne) d'une bille circulant librement sur ce plan quelconque et le plan horizontal.

Étant donné l'équation d'un plan horizontal :

$(P'):u'x+v'y+h'=0\,$

L'angle de plus grande pente est donné par :

$\cos(P,P')=|\cos({\vec {\mathrm {N} }},{\vec {\mathrm {N} }}')|={\frac {|uu'+vv'|}{{\sqrt {u^{2}+v^{2}+w^{2}}}\times {\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}}$

Plans perpendiculaires

Les plans (P) et (P') sont perpendiculaires si les vecteurs normaux ${\vec {\mathrm {N} }}$ et ${\vec {\mathrm {N} }}'$ sont orthogonaux, ce qui implique

$uu'+vv'+ww'=0.$

Intersection de deux plans

Soit les plans (P₁) et (P₂) d'équations cartésiennes respectives :

$u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0\,$

$u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0\,$

Alors :

• si ${\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {w_{2}}{w_{1}}}={\frac {h_{2}}{h_{1}}}$ : les plans sont confondus ;
• si ${\frac {u_{2}}{u_{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {w_{2}}{w_{1}}}\neq {\frac {h_{2}}{h_{1}}}$ : les plans sont strictement parallèles ;

En dehors des cas précédents, les deux plans sont sécants. Leur droite commune a pour équation les équations des deux plans.

Faisceau de plans

Le faisceau de plans défini par les plans P₁ et P₂ est l'ensemble des plans solution de l'équation :

$\alpha P_{1}+\beta P_{2}=0$

En posant $\lambda ={\frac {\beta }{\alpha }}$ ;

$P_{1}+\lambda P_{2}=0$ (avec la condition P₂ = 0 alors λ correspond à l'infini).

• si (P₁) et (P₂) se coupent en une droite (D, le faisceau $P_{1}+\lambda P_{2}=0$ est l'ensemble des plans passant par (D).
• si (P₁) et (P₂) sont strictement parallèles, le faisceau $P_{1}+\lambda P_{2}=0$ est l'ensemble des plans strictement parallèles à (P₁).

Condition pour que trois plans aient une droite commune ou soient parallèles

Soit les plans d'équation :

$(P_{1}):u_{1}x+v_{1}y+w_{1}z+h_{1}=0$

$(P_{2}):u_{2}x+v_{2}y+w_{2}z+h_{2}=0$

$(P_{3}):u_{3}x+v_{3}y+w_{3}z+h_{3}=0$

S'il existe α, β, γ non tous nuls tels que :

$\alpha P_{1}+\beta P_{2}+\gamma P_{3}=0$ pour tous x, y et z

Cette relation exprime que (P₁) et (P₂) sont les plans de base du faisceau contenant (P₃).

Équation de plan et déterminant

Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires

Soient un point $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et deux vecteurs ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {V} }}_{2}$ non colinéaires. Un point M(x, y, z) appartient au plan (P) passant par $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ et de directions ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}$ et ${\vec {\mathrm {V} }}_{2}$ si et seulement s'il existe deux réels λ et μ tels que ${\overrightarrow {M_{0}M}}=\lambda {\vec {\mathrm {V} }}_{1}+\mu {\vec {\mathrm {V} }}_{2}$. Cette égalité exprime que ${\overrightarrow {M_{0}M}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1},{\vec {\mathrm {V} }}_{2}$ sont coplanaires.

Ce qui donne, en représentant le produit mixte de ces trois vecteurs sous la forme d'un déterminant :

$\det({\overrightarrow {M_{0}M}},{\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a_{1},b_{1},c_{1}),{\vec {\mathrm {V} }}_{2}(a_{2},b_{2},c_{2}))=0$

Son équation est :

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&a_{1}&a_{2}\\y-y_{0}&b_{1}&b_{2}\\z-z_{0}&c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}=(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})(x-x_{0})+(c_{1}a_{2}-a_{1}c_{2})(y-y_{0})+(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})(z-z_{0})=0$

que l'on peut écrire sous la forme $ux+vy+wz+h=0$

Plan défini par deux points et un vecteur

Soient deux points $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ et un vecteur ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a,b,c)$ non colinéaire à ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$.

Le point M appartient au plan passant par $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ et de direction ${\vec {\mathrm {V} }}_{1}(a,b,c)$ si et seulement si les trois vecteurs :${\overrightarrow {M_{1}M}},{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}},{\vec {\mathrm {V} }}$ sont coplanaires, donc :

$\det({\overrightarrow {M_{1}M}},{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}},{\vec {\mathrm {V} }})=0$

Son équation est :

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&a\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&b\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&c\end{vmatrix}}=0$

Plan défini par trois points non alignés

Soient $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3})$, trois points non alignés.

Par analogie avec ce qui précède, l'équation du plan passant par ces trois points est :

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{2}\\y-y_{1}&y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{2}\\z-z_{1}&z_{2}-z_{1}&z_{3}-z_{2}\end{vmatrix}}=0$

Voir aussi

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Bibliographie

• P.C. Aïtcin, P. Louquet et A. Vogt, Géométrie : applications de l'algèbre linéaire et de l'analyse à la géométrie, Armand Colin, coll. « Du cours aux applications »
• Encyclopædia Universalis, corpus 8 : « Géométrie différentielle classique »
• François De Marçay, « Droites et plans dans l'espace », sur département de Mathématiques d'Orsay, université Paris-Saclay. 
• Mathieu Mansuy, « Espaces affines euclidiens :paramétrage et équations dans l'espace (Master 1, Université de Champagne-Ardennes) », 2013

Articles connexes

• Déterminant (mathématiques)
• Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
• Dérivation vectorielle
• Plan (mathématiques)
• Équation de droite
• Surface (géométrie analytique)