Formé au VC Saint-Louis R3F[1],[2], Quentin Bezza évolue à l'ASPTT Mulhouse dans la catégorie junior (moins de 19 ans). Il intègre ensuite le VC Unité Schwenheim en 2017. Deux ans plus tard, il s'impose à plusieurs reprises en première catégorie. Il est notamment sacré double champion du Grand Est du contre-la-montre, chez les élites et les espoirs (moins de 23 ans).
En 2020, il intègre l'AC Bisontine. Bon rouleur, il se distingue en devenant champion de Bourgogne-Franche-Comté et vice-champion de France du contre-la-montre espoirs[3]. L'année suivante, il confirme ses qualités de rouleur en s'adjugeant les championnats régionaux du Grand Est et d'Auvergne-Rhône-Alpes du contre-la-montre, avec le club Charvieu-Chavagneux IC. Il s'impose par ailleurs sur le prologue du Tour des Landes. Dans le même temps, il termine ses études de commerce en obtenant un diplôme de l'EM Strasbourg Business School.
Lors de la saison 2022, il s'illustre de nouveau au niveau amateur en remportant le classement général du Saint-Brieuc Agglo Tour. Il gagne aussi l'épreuve chronométrée du Tour du Beaujolais[4] ainsi qu'une étape du Tour du Pays Roannais[5]. Malgré ses performances, il ne décroche pas de contrat professionnel. Quentin Bezza décide alors de rejoindre le SCO Dijon-Materiel-velo.com en 2023[6]. À la fin du mois de mai, il décroche un succès sur la deuxième étape du Tour de la Mirabelle, disputé sur un parcours très escarpé. Il s'agit de sa première victoire obtenue sur une course inscrite inscrite au calendrier de l'Union cycliste internationale[7].