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=== Relation avec la base du logarithme naturel ===
Euler relie le nombre {{math|e}} et la base du logarithme népérien en la valeur en 1 de la [[fonction exponentielle]]<ref>Leonhard Euler, [http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E101capitel7.8.pdf ''Introductio in analysin infinitorum'', volume 1 chapitre 7]</ref>, qui est la seule fonction égale à sa [[dérivée]] et valant 1 en 0. Cette fonction admettant une décomposition en [[série entière]], Euler obtient le développement de {{math|e}} comme série des inverses des [[factorielle]]s des entiers naturels. Il a en effet {{citation|l'intuition absolument géniale d'écrire l'exponentielle de base ''a'' quelconque comme un polynôme de l'exposant}}{{sfn|Lehning|2013|p=208}} :
{{retrait|<math>a^x = A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \cdots</math>}}
Par la suite, il calcule de telle façon que les coefficients soient seulement fonction de B. En posant x = 0, il obtient A = 1. Puis, il calcule{{sfn|Lehning|2013|p=209}} :
{{retrait|<math>a^{2x} = 1 + B(2x) + C(2x)^2 + D(2x)^3 + E(2x)^4 + \cdots </math>}}
{{retrait|<math>a^{2x} = 1 + 2Bx + 4Cx^2 + 8Dx^3 + 16Ex^4 + \cdots </math>}}
mais puisque <math>a^{2x} = {a^x}^2</math>, il pose également
{{retrait|<math>{a^x}^2 = (A + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \cdots)^2</math>}}
donc,
{{retrait|<math>1 + 2Bx + 4Cx^2 + 8Dx^3 + 16Ex^4 + \cdots = (1 + Bx + Cx^2 + Dx^3 + Ex^4 + \cdots)^2</math>}}
Il multiplie le terme à droite de façon à obtenir les résultats de même puissance à gauche et à droite : <math>2B = 2B</math>, <math>4C = B^2 + 2C</math> (d'où C = <math>\dfrac{B^2}{2}</math>), <math>8D = 2D + 2BC</math> (d'où D = <math>\dfrac{B^3}{6}</math>){{etc.}}
Il parvient donc à cette équation{{sfn|Lehning|2013|p=209}} :
{{retrait|<math>a^x = 1 + Bx + \dfrac{B^2}{2}x^2 + \dfrac{B^3}{6}x^3 + \dfrac{B^4}{24}x^4 + \cdots</math>}}
En posant B = 1 (la valeur la plus simple) et en observant que 1, 2, 6, 24 sont les valeurs successives de la [[factorielle]], il obtient ce résultat{{sfn|Lehning|2013|p=209}} :
{{retrait|<math> \mathrm e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{k!}+ \cdots</math>}}
dont une valeur approchée avait déjà été calculée par [[Isaac Newton]] en 1669<ref name="funcwolfram" />.
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