« Combinaison linéaire » : différence entre les versions
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== Définitions ==
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Une « relation de [[dépendance linéaire]] » est une combinaison linéaire égale au vecteur nul. Une famille de vecteurs est [[Famille liée|liée]] si elle possède au moins une relation de dépendance linéaire « non [[trivial]]e », c'est-à-dire à coefficients non tous nuls.
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*Soient ''K ''le corps ℝ des [[nombre réel|nombres réels]] et ''E ''l'[[espace vectoriel euclidien]] ℝ{{3}}.<br />Considérons les vecteurs ''e''{{ind|1}} = (1, 0, 0), ''e''{{ind|2}} = (0, 1, 0) et ''e''{{ind|3}} = (0, 0, 1).<br />Alors, tout vecteur (''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, ''a''{{ind|3}}) de ℝ{{3}} est une combinaison linéaire de ''e''{{ind|1}}, ''e''{{ind|2}} et ''e''{{ind|3}}. En effet, (''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, ''a''{{ind|3}}) = ''a''{{ind|1}}(1, 0, 0) + ''a''{{ind|2}}(0, 1, 0) + ''a''{{ind|3}}(0, 0, 1) = ''a''{{ind|1}}''e''{{ind|1}} + ''a''{{ind|2}}''e''{{ind|2}} + ''a''{{ind|3}}''e''{{ind|3}}.▼
*Soient ''K'' le corps ℂ des [[Nombre complexe|nombres complexes]] et ''E'' l'espace des fonctions de ℝ dans ℂ. Les [[formules d'Euler]] expriment les fonctions {{math|''f'' : ''x'' ↦ e{{exp|i''x''}}}} et {{math|''g'' : ''x'' ↦ e{{exp|–i''x''}}}} comme combinaisons linéaires des fonctions [[cosinus]] et [[Sinus (mathématiques)|sinus]] : {{math|1=''f'' = cos + i sin, ''g'' = cos – i sin}} et inversement : {{math|1=cos = (1/2) ''f'' + (1/2)''g'', sin = (–i/2) ''f'' + (i/2)''g''}}. Par contre, les [[Fonction constante|fonctions constantes]] non [[Fonction nulle|nulles]] ne sont pas combinaisons linéaires de {{math|''f''}} et {{math|''g''}}, autrement dit : les fonctions {{math|1}}, {{math|''f''}} et {{math|''g''}} sont linéairement indépendantes<ref>Pour une généralisation, voir [[Indépendance linéaire#Exemple 3]].</ref>.
▲Alors, tout vecteur (''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, ''a''{{ind|3}}) de ℝ{{3}} est une combinaison linéaire de ''e''{{ind|1}}, ''e''{{ind|2}} et ''e''{{ind|3}}. En effet, (''a''{{ind|1}}, ''a''{{ind|2}}, ''a''{{ind|3}}) = ''a''{{ind|1}}(1, 0, 0) + ''a''{{ind|2}}(0, 1, 0) + ''a''{{ind|3}}(0, 0, 1) = ''a''{{ind|1}}''e''{{ind|1}} + ''a''{{ind|2}}''e''{{ind|2}} + ''a''{{ind|3}}''e''{{ind|3}}.
== Sous-espace vectoriel engendré ==
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==Notes et références==
{{Traduction/Référence|en|Linear combination|38047938|type=note}}
{{Références}}
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