« Corps valué » : différence entre les versions
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Je corrige une grosse confusion entre valeur absolue et valuation. En espace vectoriel valué est muni d'une valuation, un corps valué est muni d'une valeur absolue. |
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En [[mathématiques]], un '''corps valué''' est un corps ''K'' muni d'une [[valeur absolue]] <math>x \mapsto |x|</math> <ref>{{Bourbaki-Topologie}} (chap. IX, §3, p. 28)</ref>. Celle-ci détermine sur ''K'' une structure d'[[espace métrique]] définie par la distance invariante <math>d(x,y)=|x-y|</math>, et ''K'', muni de la [[espace métrisable|topologie métrisable]] ainsi définie, est un [[corps topologique]]. Cette topologie est [[Topologie discrète|discrète]] si, et seulement si la valeur absolue est ''impropre'', c'est-à-dire définie par <math>|0|=0</math> et <math>|x|=1</math> si <math>x \neq 0</math>. (Dans ce cas, si ''E'' est un espace vectoriel à gauche sur ''K'', la topologie discrète de ''E'' est compatible avec sa structure d'espace vectoriel et fait donc de ''E'' un [[espace vectoriel topologique]] ; il n'en est pas ainsi si ''K'' est non discret et ''E'' n'est pas réduit à <math>\{0\}</math>.)
{{Article détaillé|Valuation|Valeur absolue|Théorème d'Ostrowski}}
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