« Résidu quadratique » : différence entre les versions

Modulo un entier <{{math>|''n'' > 0</math>}}, la classe de <math>{{mvar|x^}}{{2</math>}} ne dépend que de celle de <math>{{mvar|x</math>}}, donc les résidus quadratiques sont les restes obtenus dans la division euclidienne de <math>{{mvar|x^}}{{2</math>}} par <math>{{mvar|n</math>}} en faisant varier <math>{{mvar|x</math>}} dans <math>\left\{0,1,\dots,n-1\right\}</math>, ou dans n'importe quel ensemble de <math>{{mvar|n</math>}} entiers consécutifs, comme <math>\left\{\left\lfloor\frac{-n}2\right\rfloor+1,\left\lfloor\frac{-n}2\right\rfloor+2,\dots,\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\right\}</math> ({{c.-à-d.}} <math>\left\{-\frac n2+1,\dots,\frac n2\right\}</math> si {{mvar|n}} est pair et <math>\left\{-\frac{n-1}2,\dots,\frac{n-1}2\right\}</math> si <math>{{mvar|n</math>}} est impair).

La [[loi de réciprocité quadratique]] permet de calculer (–1/''p''), (2/''p'') et, si ''q'' est un autre nombre premier impair, (''q''/''p'') en fonction de (''p''/''q''). Elle fournit par exemple, pour un entier ''n'' donné, un critère sur le nombre premier ''p'' en termes de classes de congruence modulo 4''n'', qui détermine si ''n'' est un résidu quadratique modulo ''p''. Le [[théorème de la progression arithmétique]] permet<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=Steve Wright|titre=Quadratic Residues and Non-Residues: Selected Topics|collection=Lecture Notes in Mathematics|numéro dans collection=2171|éditeur=Springer|year=2016|url={{Google Livres|rxp_DQAAQBAJ|page=88}}|arxiv=1408.0235}}, théorèmes 4.2 et 4.3, et {{Article|titre=Patterns of quadratic residues and nonresidues for infinitely many primes|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J|J. Number Theory]]|vol=123|issue=1|year=2007|p.=120-132|doi=10.1016/j.jnt.2006.06.003}}. Pour une généralisation simultanée de ces deux théorèmes, voir {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Exercices/Résidus quadratiques#Exercice 4-16|cet ''exercice'' corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=}}</ref> d'en déduire que si ''n'' n'est pas un [[carré parfait]], il existe une infinité de nombres premiers modulo lesquels ''n'' n'est pas un résidu quadratique<ref>Pour une preuve ''sans'' le théorème de la progression arithmétique, voir (pour ''n'' ∈ ℕ) {{Harvsp|Ireland|Rosen|1990|p=57-58}} (chap. 5, § 2, th. 3) ou {{Note autre projet|Wikiversité|Introduction à la théorie des nombres/Devoir/Principe local-global pour les carrés|ce ''devoir'' corrigé de la leçon « Introduction à la théorie des nombres »|début=(pour ''n'' ∈ ℤ)}}</ref>{{,}}<ref name=boyer>{{Ouvrage|auteur=Pascal Boyer|titre=Petit compagnon des nombres et de leurs applications|éditeur=Calvage et Mounet|pages=648|année=2019|isbn=978-2-916352-75-6|partie=Arithmétique de ℤ|numéro chapitre=I.3.2|titre chapitre=Résidus quadratiques : applications|page=47-49}}.</ref>{{,}}<ref>Sur des problèmes connexes, voir « [[Théorème de Grunwald-Wang]] » et {{Lien web|lang=en|url=https://mathoverflow.net/questions/135820|titre=Does there exist a non-square number which is the quadratic residue of every prime?|site=[[MathOverflow]]}}.</ref>, et que pour tout ensemble fini <math>S\subset\Z</math>, il existe une infinité<ref>Plus précisément, la [[densité asymptotique]] relative ''D'' (dans l'ensemble des nombres premiers) de l'ensemble infini des solutions <math>p</math> est non nulle et s'exprime simplement : on se ramène facilement (en ôtant de ''S'' les éléments redondants) au cas où aucun produit d'éléments de ''S'' n'est un [[Carré parfait|carré]] à part le [[produit vide]], et l'on démontre qu'alors, ''D'' = 2{{exp|–{{!}}S{{!}}}}, à l'aide de la [[Théorème de la progression arithmétique#Version quantitative|version quantitative du théorème de la progression arithmétique]] : voir {{Harvsp|Wright|2016}} (th. 4.9) ou {{Article|lang=en|auteur={{Lien|Ramachandran Balasubramanian|texte=R. Balasubramanian}}|auteur2=F. Luca|auteur3=R. Thangadurai|titre=On the exact degree of <math>\Q(\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2},\ldots,\sqrt{a_\ell})</math> over <math>\Q</math>|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=138|year=2010|p.=2283-2288|doi=10.1090/S0002-9939-10-10331-1}}, ou encore la preuve (bien plus simple) de l'''exercice'' corrigé sur [[Wikiversité]] déjà signalé.</ref> de nombres premiers <math>p</math> tels que chaque élément de <math>S</math> est un carré <math>\bmod p</math>.

Soit {{mvar|p}} un nombre premier impair. Le plus petit entier {{mvar|n}} qui n'est pas un résidu quadratique modulo {{mvar|p}} vérifie <math>n < 1 + \sqrt p</math><ref name = "boyer"/> et même, si <math>p\not\equiv1\pmod8</math>, <math>n < p^{\frac25} + 12p^{\frac15}+33</math><ref name = "boyer"/>.

Plus généralement, on [[conjecture]]<ref name = "boyer"/> que pour tout <math>\varepsilon > 0</math>, pour tout nombre premier {{mvar|p}} assez grand, cet entier {{mvar|n}} est inférieur à <math>p^\varepsilon</math>.